2025高考数学一轮复习-41.2-直线与椭圆-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-41.2-直线与椭圆-专项训练【含答案】，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．椭圆x28+y22＝1与直线y＝k(x－1)的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法确定
2．在椭圆x29+y24＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最大，点M的坐标为( )
A．(－3，0) B．−95，−85
C．−2，−255 D．(－2，0)
3．已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4，0)，过点F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(3，－1)，则E的方程为( )
A．x245+y229＝1 B．x236+y220＝1
C．x232+y216＝1 D．x224+y28＝1
4．椭圆C：x24+y23＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是−2，−1，那么直线PA2斜率的取值范围是( )
A．38，34 B．12，34
C．12，1 D．34，1
5．已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
A．23 B．23
C．－23 D．－23
6．直线x－2y＋2＝0经过椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若FM＝3AM，则该椭圆的离心率为( )
A．17+58 B．17−54
C．17−52 D．17+59
7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200 m，且内、外椭圆的离心率均为32，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为－12，则内层椭圆的短轴长为( )
A．75 m B．502 m
C．50 m D．252 m
8．已知过椭圆C：x2＋y22＝1的上焦点F且斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线y＝2相交于M，N两点．若∠MON为锐角，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．−22，22
C．−∞，−22∪22，+∞
D．(－∞，－1)∪−22，22∪(1，＋∞)
二、多项选择题
9．已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则( )
A．直线AB的方程为y＝12(x－3)
B．a2＝2b2
C．椭圆的标准方程为x29+y23＝1
D．椭圆的离心率为22
10．在平面直角坐标系Oxy中，已知直线l：kx－y－k＝0，椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，则下列说法正确的有( )
A．l恒过点(1，0)
B．若l恒过C的焦点，则a2＋b2＝1
C．若对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，则a≥1
D．若a＜1，则一定存在实数k，使得l与C有且只有一个公共点
三、填空题
11．过椭圆C：x24+y23＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则1AF+1BF＝________．
12．已知椭圆x22＋y2＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝2x＋m对称，则实数m的取值范围是________．
四、解答题
13．已知动圆与圆C1：(x＋4)2＋y2＝1外切，同时与圆C2：(x－4)2＋y2＝81内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线；
(2)若直线l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线l的最大距离．
14．已知椭圆C：x216+y24＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点3，32平分．求：
(1)直线l的方程；
(2)△F1AB的面积．
参考答案
1．B [直线过定点M(1，0)且该定点在椭圆x28+y22＝1内，故直线与椭圆相交．故选B.]
2．B [如图所示：根据题意可知，当点M在第三象限且椭圆在点M处的切线与直线x＋2y－10＝0平行时，
点M到直线x＋2y－10＝0的距离取得最大值，可设切线方程为x＋2y＋m＝0(m＞0)，联立x+2y+m=0，4x2+9y2=36，
消去x整理可得25y2＋16my＋4m2－36＝0，
Δ＝162m2－100(4m2－36)＝0，因为m＞0，解得m＝5，
所以椭圆x29+y24＝1在点M处的切线方程为x＋2y＋5＝0，
因此，点M到直线x＋2y－10＝0的距离的最大值为5+1012+22＝35，
联立x+2y+5=0，x29+y24=1，
可得点M的坐标为−95，−85.故选B.]
3．D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2，
由已知有，x12a2+y12b2＝1，x22a2+y22b2＝1，
作差得x12a2−x22a2＝y22b2−y12b2，
则y12−y22x12−x22＝y1−y2y1+y2x1−x2x1+x2＝－13＝－b2a2，
所以a2＝3b2，又c＝4，a2＝b2＋c2＝3b2，解得b2＝8，a2＝24，
则E的方程为x224+y28＝1.
故选D.]
4．A [由题意，椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则y02＝344−x02，又由kPA1·kPA2＝y0x0+2·y0x0−2＝y02x02−4＝－34，可得kPA1＝−34kPA2，因为kPA1∈−2，−1，即−2≤−34kPA2≤－1，可得38≤kPA2≤34，所以直线PA2斜率的取值范围是38，34.故选A.]
5．C [将直线方程y＝x＋m与椭圆方程联立y=x+m，x23+y2=1，消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2，设F1到AB的距离为d1，F2到AB距离为d2，易知F1(－2，0)，F2(2，0)，则d1＝−2+m2，d2＝2+m2，S△F1ABS△F2AB＝−2+m22+m2＝−2+m2+m＝2，
解得m＝－23或－32(舍去)．故选C.]
6．C [对直线x－2y＋2＝0，令y＝0，解得x＝－2，令x＝0，解得y＝1,
故F(－2，0)，M(0，1)，则FM＝(2，1)，设A(x0，y0)，则AM＝(－x0，1－y0)，
而FM＝3AM，
则2=3−x0，1=31−y0，
解得x0=−23，y0=23，
则A−23，23，
又点A在椭圆上，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)，
由2a＝|AF|＋|AF′|＝−23+22+232+−23−22+232＝25+173，
则a＝5+173，椭圆的离心率e＝ca＝25+173＝17−52.故选C.]
7．B [内、外椭圆的离心率均为32，设内层椭圆的短半轴长为b，e＝ca＝1−b2a2＝32，所以a＝2b，则内层椭圆方程为x24b2+y2b2＝1，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，AC的方程为y＝－12(x＋100)，
代入内层椭圆方程可得：x2＋100x＋5 000－2b2＝0，
可得Δ＝10 000－4×(5 000－2b2)＝0，解得b2＝1 250.
所以b＝252.即内层椭圆的短轴长2b＝502 m．故选B.]
8．D [由题意可知，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C：x2＋y22＝1的上焦点为F(0，1)，
则直线l的方程为y＝kx＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y=kx+1，x2+y22=1，消去y，得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，
所以x1＋x2＝−2k2+k2，x1x2＝−12+k2.
由题设知，OA所在的直线方程为y＝y1x1x.
因为直线OA与直线y＝2相交于点M，
所以M2x1y1，2；
同理可得N2x2y2，2.
所以OM＝2x1y1，2，ON＝2x2y2，2.
因为∠MON为锐角，
所以OM·ON＞0，
所以OM·ON＝4x1x2y1y2＋4＝4x1x2kx1+1kx2+1＋4
＝4x1x2k2x1x2+kx1+x2+1＋4
＝4×−12+k2k2×−12+k2+k×−2k2+k2+1＋4，
＝2k2−1＋4＝4k2−2k2−1.
即4k2−2k2−1＞0，解得k2＜12或k2＞1，
所以－22＜k＜22，或k＞1，或k＜－1.
故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪−22，22∪(1，＋∞)．故选D.]
9．ABD [因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2+y2b2＝1，消去y，得a24+b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，
所以AB中点的横坐标为32a22a24+b2＝1，即a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝32，离心率为22，
所以椭圆E的方程为x218+y29＝1.故选ABD.]
10．ACD [方程kx－y－k＝0可化为y＝k(x－1)，
所以直线l恒过点(1，0)，A正确；
设椭圆的半焦距为c(c＞0)，则焦点F的坐标可能为(c，0)或(－c，0)，
若直线恒过点(－c，0)，则0＝k(－c－1)，
故c＝－1，矛盾，
若直线恒过点(c，0)，则0＝k(c－1)，故c＝1，所以a2－b2＝1，B错误；
联立x2a2+y2b2=1，y=kx−k，消y可得，(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0，
由对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，
可得方程(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0有2个不相等的实数解，
所以Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＞0，
所以k2(a2－1)＋b2＞0，
所以a≥1，C正确；
因为Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＝4a2b2[k2(a2－1)＋b2]，
所以a＜1时，则k2＝b21−a2，即k＝±b21−a2时，
可得Δ＝0，此时方程组有且只有一组解，
故l与C有且只有一个公共点，D正确．
故选ACD.]
11．43 [由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝3(x＋1)．
由y=3(x+1)，x24+y23=1，得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－85.
设A(0，3)，B−85，−335.
又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝65，
∴1AF+1BF＝43.]
12．−63，63 [∵椭圆x22＋y2＝1，∴x2＋2y2－2＝0，
设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝2x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)，
则x12+2y12＝2，①
x22+2y22＝2，②
①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即2x0·(x1－x2)＋2×2y0·(y1－y2)＝0，
∴kAB＝y1−y2x1−x2＝－12·x0y0＝－12.
∴y0＝x0，代入直线方程y＝2x＋m得x0＝－m，y0＝－m.
∵(x0，y0)在椭圆内部，
∴m2＋2(－m)2＜2，
解得－63＜m＜63，
即实数m的取值范围是−63，63.]
13．解：(1)设动圆M的半径为r.
由动圆M与圆C1外切可知：|MC1|＝r＋1，①
由动圆M与圆C2内切可知：|MC2|＝9－r，②
则①＋②可得：|MC1|＋|MC2|＝10＞|C1C2|＝8.
所以动圆M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(不含顶点(－5，0))．
动圆M圆心的轨迹Γ的方程为x225+y29＝1(x≠－5)．
(2)设与直线l平行的直线l0：4x－5y＋m＝0(m≠40)．
由x225+y29=1，4x−5y+m=0，得25x2＋8mx＋m2－225＝0.
Δ＝(8m)2－4×25×(m2－225)＝0.
当Δ＝0，即m＝±25时，直线与椭圆相切．
由图形(图略)可知，当m＝－25时，切点P到直线l的距离最大．
设最大距离为d，则d＝−25−4042+52＝654141.
所以曲线Γ上的点到直线l的最大距离为654141.
14．解：(1)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1216+y124=1，x2216+y224=1，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
因为弦AB被点3，32平分，
所以x1＋x2＝23，y1＋y2＝3，
所以直线l的斜率k＝y1−y2x1−x2＝－14·x1+x2y1+y2＝－12，
故直线l的方程为x＋2y－23＝0.
(2)法一(常规方法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立x+2y−23=0，x216+y24=1，得x2－23x－2＝0，
所以x1＋x2＝23，x1x2＝－2，
所以|AB|＝1+−122x1+x22−4x1x2＝52232−4×−2＝5，
由椭圆的方程可得，c2＝a2－b2＝16－4＝12，
所以c＝23，所以F1(－23，0)，
所以点F1(－23，0)到直线l：x＋2y－23＝0的距离d＝−23+0−2312+22＝4155，
所以S△F1AB＝12|AB|d＝12×5×4155＝215.
法二(面积拆分法)：联立x216+y24=1，x+2y−23=0，
得2y2－23y－1＝0，
所以y1＋y2＝3，y1y2＝－12，
所以|y1－y2|＝5，
又因为直线l过点F2(23，0)，
所以S△F1AB＝12|F1F2||y1－y2|＝12×43×5＝215