2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练（含解析），共10页。试卷主要包含了已知F1，F2是椭圆G，直线5x＋4y－1＝0交椭圆C，已知点B是圆C，故选A等内容，欢迎下载使用。
1．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．eq \f(1,2)≤m＜9 B．9＜m＜10
C．1≤m＜9D．1＜m＜9
2．若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的交点有( )
A．1个 B．至多一个
C．2个 D．0个
3．已知F1，F2是椭圆G：eq \f(x2,52)＋eq \f(y2,42)＝1的左、右焦点，过F1作直线l交G于A，B两点，若|AB|＝eq \f(32,5)，则△F2AB的面积为( )
A．eq \f(24,5) B．eq \f(48,5)
C．eq \f(96,5) D．eq \f(16\r(41),5)
4．已知点P(x，y)是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为( )
A．eq \f(5\r(2)＋\r(26),2)B．eq \f(5\r(2)－\r(26),2)
C．5eq \r(2)＋eq \r(26)D．5eq \r(2)－eq \r(26)
5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－eq \f(5,8)，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(5,8)
C．eq \f(\r(7),4)D．eq \f(\r(6),4)
6．(多选)设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜eq \r(3))与椭圆交于A，B两点，则( )
A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝eq \f(\r(3),2)时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为eq \r(6)
7．已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若Seq \a\vs4\al(△ABF2)＝4，则弦长|AB|＝________．
8．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于eq \f(5,4)，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．
9． 已知直线y＝kx－1与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，则实数k的值为________．
10．已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1,0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)直线l：y＝2x＋m与E交于点M，N，且|MN|＝eq \f(12\r(30),19)，求m的值．
11．(多选)已知P是椭圆E：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1(m＞0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为eq \f(1,2)
C．曲线y＝lg3x－eq \f(1,2)经过E的一个焦点
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
12．已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△F1AB的周长是________，△F1AB内切圆面积的最大值是________．
13．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)左焦点为F1(－1,0)，经过点F1的直线l与圆F2：(x－1)2＋y2＝8相交于P，Q两点，M是线段PF2与C的公共点，且|MF1|＝|MP|．
(1)求椭圆C的方程；
(2)l与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求△ABF2的面积．
14．如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H．若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20 B．10
C．2eq \r(5) D．4eq \r(5)
15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(1)若椭圆C2：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，试判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
(2)写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的焦点在x轴上的椭圆Cb的标准方程．若在椭圆Cb上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围．
2025年高考数学一轮复习-直线与椭圆的位置关系【解析版】
1．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．eq \f(1,2)≤m＜9 B．9＜m＜10
C．1≤m＜9D．1＜m＜9
解析：C 直线y＝kx＋1恒过定点P(0,1)，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1，可得0＜m＜9 ①，由直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，可得P在椭圆上或椭圆内，即有eq \f(0,9)＋eq \f(1,m)≤1，解得m≥1 ②，由①②可得1≤m＜9．故选C．
2．若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的交点有( )
A．1个 B．至多一个
C．2个 D．0个
解析：C 因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，所以eq \f(9,\r(m2＋n2))＞3，即m2＋n2＜9，所以eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,16)≤eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,9)＜1，即点(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的交点有2个，故选C．
3．已知F1，F2是椭圆G：eq \f(x2,52)＋eq \f(y2,42)＝1的左、右焦点，过F1作直线l交G于A，B两点，若|AB|＝eq \f(32,5)，则△F2AB的面积为( )
A．eq \f(24,5) B．eq \f(48,5)
C．eq \f(96,5) D．eq \f(16\r(41),5)
解析：C 由G：eq \f(x2,52)＋eq \f(y2,42)＝1知c2＝52－42＝32，所以F1(－3，0)，把x＝－3代入椭圆方程可得y2＝eq \f(44,25)，故y＝±eq \f(16,5)，又|AB|＝eq \f(32,5)，所以AB⊥x轴，则Seq \a\vs4\al(△F2AB)＝eq \f(1,2)|AB|×2c＝eq \f(1,2)×eq \f(32,5)×6＝eq \f(96,5)，故选C．
4．已知点P(x，y)是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为( )
A．eq \f(5\r(2)＋\r(26),2)B．eq \f(5\r(2)－\r(26),2)
C．5eq \r(2)＋eq \r(26)D．5eq \r(2)－eq \r(26)
解析：A 设直线y＝x＋m与椭圆相切，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,y＝x＋m))得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝(18m)2－4×13(9m2－36)＝0，解得m＝±eq \r(13)，切线方程为y＝x＋eq \r(13)和y＝x－eq \r(13)，与l距离较远的是y＝x－eq \r(13)，∴所求最大距离为d＝eq \f(|－\r(13)－5|,\r(2))＝eq \f(5\r(2)＋\r(26),2)．故选A．
5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－eq \f(5,8)，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(5,8)
C．eq \f(\r(7),4)D．eq \f(\r(6),4)
解析：D 设内层椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成eq \f(x2,ma2)＋eq \f(y2,mb2)＝1(m＞1)，设切线AC的方程为y＝k1(x＋ma)，与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1联立得：(b2＋a2keq \\al(2,1))x2＋2ma3keq \\al(2,1)x＋m2a4keq \\al(2,1)－a2b2＝0，由Δ＝0, 则keq \\al(2,1)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(1,m2－1)，同理可得keq \\al(2,2)＝eq \f(b2,a2)·(m2－1)，∴keq \\al(2,1)·keq \\al(2,2)＝eq \f(b4,a4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,8)))2, 则eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,8)，因此，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(5,8))＝eq \f(\r(6),4)．故选D．
6．(多选)设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜eq \r(3))与椭圆交于A，B两点，则( )
A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝eq \f(\r(3),2)时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为eq \r(6)
解析：ACD 设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝eq \f(\r(3),2)与椭圆方程联立，可解得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，又∵F(eq \r(6)，0)，∴eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(BF,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6)＋\f(3\r(3),2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6)－\f(3\r(3),2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－eq \r(6)，1)，B(eq \r(6)，1)，∴S△ABF＝eq \f(1,2)×2eq \r(6)×1＝eq \r(6)，D正确．故选A、C、D．
7．已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若Seq \a\vs4\al(△ABF2)＝4，则弦长|AB|＝________．
解析：∵Seq \a\vs4\al(△ABF2)＝4，∴eq \f(1,2)×2c×|yA－yB|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|yA－yB|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|yA－yB|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)×4＝2eq \r(5)．
答案：2eq \r(5)
8．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于eq \f(5,4)，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),a2)＋\f(x\\al(2,1),b2)＝1，,\f(y\\al(2,2),a2)＋\f(x\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得b2(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＋a2(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＝0，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(a2,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,y1＋y2)))，即kMN＝－eq \f(a2,b2)·eq \f(1,kOP)，因为kMN＝－eq \f(5,4)，kOP＝eq \f(5,4)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(16,25)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(3,5)．
答案：eq \f(3,5)
9． 已知直线y＝kx－1与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，则实数k的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联立直线与椭圆方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y得(3＋4k2)x2－8kx－8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x1＋x2＝eq \f(8k,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(－8,3＋4k2)．因为eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，所以(－x1，－1－y1)＝3(x2，y2＋1)，所以x1＝－3x2，将其代入x1＋x2＝eq \f(8k,3＋4k2)，得x2＝eq \f(－4k,3＋4k2)．将x1＝－3x2，x2＝eq \f(－4k,3＋4k2)代入x1x2＝eq \f(－8,3＋4k2)，可得－3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4k,3＋4k2)))2＝eq \f(－8,3＋4k2)，解得k2＝eq \f(3,2)，所以k＝±eq \f(\r(6),2)．
答案：±eq \f(\r(6),2)
10．已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1,0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)直线l：y＝2x＋m与E交于点M，N，且|MN|＝eq \f(12\r(30),19)，求m的值．
解：(1)由条件可得|PC|＋|PF|＝|PC|＋|PB|＝|BC|＝4＞|FC|＝2，
所以动点P的轨迹E是以F，C为焦点的椭圆，设其方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
所以2a＝4,2c＝2，所以a＝2，c＝1，b＝eq \r(3)，
所以动点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝2x＋m))可得19x2＋16mx＋4m2－12＝0，
由Δ＝256m2－76(4m2－12)＞0，得m∈(－eq \r(19)，eq \r(19))，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－eq \f(16m,19)，x1x2＝eq \f(4m2－12,19)，
因为|MN|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(256m2,361)－\f(16m2－48,19))))＝eq \f(12\r(30),19)，解得m＝±1．
11．(多选)已知P是椭圆E：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1(m＞0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为eq \f(1,2)
C．曲线y＝lg3x－eq \f(1,2)经过E的一个焦点
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
解析：ACD 设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，则N(－x1，－y1)，eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),m)＝1，eq \f(x\\al(2,1),4)＋eq \f(y\\al(2,1),m)＝1，所以yeq \\al(2,0)＝m－eq \f(mx\\al(2,0),4)，yeq \\al(2,1)＝m－eq \f(mx\\al(2,1),4)，k1k2＝eq \f(y0－y1,x0－x1)·eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝－eq \f(m,4)．于是|k1|＋|k2|≥2eq \r(|k1|·|k2|)＝2eq \r(|k1k2|)＝2eq \r(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)))))＝eq \r(m)，依题意，得eq \r(m)＝1，解得m＝1，故E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，A正确；离心率为eq \f(\r(3),2)，B错误；焦点坐标为(±eq \r(3)，0)，曲线y＝lg3x－eq \f(1,2)经过焦点(eq \r(3)，0)，C正确；又直线2x－y－2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选A、C、D．
12．已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△F1AB的周长是________，△F1AB内切圆面积的最大值是________．
解析：根据椭圆定义可知△F1AB的周长C＝4a＝4eq \r(2)；在△F1AB内，S＝eq \f(1,2)Cr＝2eq \r(2)r，问题转化为求△F1AB面积最大值，设AB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(m2＋2)y2＋2my－1＝0⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2m,m2＋2)，,y1y2＝－\f(1,m2＋2)，))于是S＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2m,m2＋2)))2＋\f(4,m2＋2))＝eq \f(2\r(2) \r(m2＋1),m2＋2)＝eq \f(2\r(2),\r(m2＋1)＋\f(1,\r(m2＋1)))≤eq \f(2\r(2),2\r(\r(m2＋1)·\f(1,\r(m2＋1))))＝eq \r(2)，则2eq \r(2)r≤eq \r(2)⇒r≤eq \f(1,2)⇒πr2≤eq \f(π,4)，等号在m＝0时取到．
答案：4eq \r(2) eq \f(π,4)
13．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)左焦点为F1(－1,0)，经过点F1的直线l与圆F2：(x－1)2＋y2＝8相交于P，Q两点，M是线段PF2与C的公共点，且|MF1|＝|MP|．
(1)求椭圆C的方程；
(2)l与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求△ABF2的面积．
解：(1)由圆F2：(x－1)2＋y2＝8可得|PF2|＝2eq \r(2)，因为|MF1|＝|MP|，
所以2a＝|MF1|＋|MF2|＝|MP|＋|MF2|＝|PF2|＝2eq \r(2)，即a＝eq \r(2)，又c＝1，故b＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为A为线段PQ的中点，则AF1⊥AF2，
所以eq \(AF1,\s\up7(―→))·eq \(AF2,\s\up7(―→))＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)－1＝0，又eq \f(x\\al(2,1),2)＋yeq \\al(2,1)＝1，
解得x1＝0，y1＝±1，
若y1＝1，则A(0,1)，直线l的方程为y＝x＋1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－\f(4,3)，,y2＝－\f(1,3)，))即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(1,3)))，
所以△ABF2的面积S＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(4,3)＝eq \f(4,3)，
若y1＝－1，同理可求得△ABF2的面积S＝eq \f(4,3)，
综上所述，△ABF2的面积为eq \f(4,3)．
14．如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H．若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20 B．10
C．2eq \r(5) D．4eq \r(5)
解析：D 由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,4)＝1，))得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(4,a)))，∴Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,a)))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2c，－\f(2,a)))．把点M的坐标代入椭圆方程得eq \f(4c2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,a)))2,4)＝1，化简得c2＝eq \f(a2－1,4)，又c2＝a2－4，∴eq \f(a2－1,4)＝a2－4，得a2＝5，∴a＝eq \r(5)．由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4eq \r(5)，故选D．
15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(1)若椭圆C2：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，试判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
(2)写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的焦点在x轴上的椭圆Cb的标准方程．若在椭圆Cb上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围．
解：(1)椭圆C2与C1相似．如图，在同一坐标系中作出C1，C2的图象．
∵椭圆C2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为4eq \r(3)的等腰三角形，而椭圆C1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为2eq \r(3)的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C2和C1相似，且相似比为2∶1．
(2)椭圆Cb的方程为eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)．
由题意，可设lMN：y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋t，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1，))
消去y，整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，
则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(4,5)t，y0＝eq \f(t,5)．
∵MN的中点在直线y＝x＋1上，
∴eq \f(t,5)＝eq \f(4,5)t＋1，解得t＝－eq \f(5,3)．
故直线lMN的方程为y＝－x－eq \f(5,3)．
若M，N存在，则方程5x2－8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))x＋4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))2－b2))＝0有两个不同的实数解，
∴Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,3)))2－4×5×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)－b2))＞0，
解得b＞eq \f(\r(5),3)．