2025高考数学一轮复习-8.7-直线与椭圆、双曲线-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.7-直线与椭圆、双曲线-专项训练【含答案】，共6页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知斜率为k的直线l与椭圆C，已知椭圆G等内容，欢迎下载使用。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．
2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：x26+y23＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(n，m)．
(1)若n＝1，m＝－1，求k的值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P0，−13，且|AB|＝4|PM|，求直线l的方程．
3．已知椭圆G：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，且过点(3，1)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积．
4．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，过左焦点F(－3，0)作倾斜角为α的直线l交椭圆C于A，B两点．当直线l的倾斜角为π6时，|AF|＝7|BF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
参考答案
1．解：(1)由离心率为32得，ca＝32，①
由△A1A2B的面积为2得，ab＝2．②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③解得，a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
又A1(－2，0)，∴直线PA1的方程为y＝m6(x＋2)，与椭圆方程x24＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，
由－2＋x1＝−4m2m2+9得x1＝18−2m2m2+9，
代入直线PA1的方程得y1＝6mm2+9，
即M18−2m2m2+9，6mm2+9，
同理可得N2m2−2m2+1，−2mm2+1.
因为Q(1，0)，所以QM＝9−3m2m2+9，6mm2+9，QN＝m2−3m2+1，−2mm2+1，
由9−3m2m2+9·−2mm2+1＝m2−3m2+1·6mm2+9知，M，Q，N三点共线．
2．解：(1)由题设xA26+yA23=1，xB26+yB23=1，作差可得
xA2−xB26＋yA2−yB23＝(xA+xB)(xA−xB)6＋(yA+yB)(yA−yB)3＝0，
又xA＋xB＝2n＝2，yA＋yB＝2m＝－2，故xA−xB3＝2(yA−yB)3，所以k＝yA−yBxA−xB＝12.
(2)由题意，直线l斜率一定存在，直线l为y＝k(x－n)＋m，
若k＝0，直线l：y＝m且M(0，m)，－3＜m＜3，此时中垂线PM与y轴重合，
与题设中，垂直平分线与y轴交于P0，−13矛盾，不满足题意；
若k≠0，由(1)知：n(xA−xB)3＝－2m(yA−yB)3，则k＝yA−yBxA−xB＝－n2m，
则中垂线PM为y＋13＝2mnx，即6mx－3ny－n＝0，又M(n，m)在该直线上，
所以3mn－n＝0，得n＝0或m＝13，当n＝0时k＝0，不满足题意，故m＝13，
故k＝－3n2，即l：y＝13－32n(x－n)，与椭圆方程联立得x2＋213−32n(x−n)2＝6，
整理得
9(2＋9n2)x2－18n(2＋9n2)x＋81n4＋36n2－104＝0，
所以xA＋xB＝2n，xAxB＝81n4+36n2−1049(2+9n2)，
则|AB|＝1+k2·(xA+xB)2−4xAxB
＝4+9n2·104−18n218+81n2，而|PM|＝n2+49，
由|AB|＝4|PM|，得(4+9n2)(52−9n2)18+81n2＝8n2＋329，
解得n＝±23，所以l：y＝1±x.
综上，直线l的方程为y＝±x＋1.
3．解：(1)由题意可知ca=63，9a2+1b2=1，a2=b2+c2，解得a=23，b=2，c=22，
∴椭圆G的方程为x212+y24＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
联立方程y=x+m，x212+y24=1，
消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，①
Δ＝36m2－16(3m2－12)＞0，即－4＜m＜4.
∴xA＋xB＝－3m2，xAxB＝3m2−124，
∴yA＋yB＝xA＋xB＋2m＝－3m2＋2m＝m2.
设M为AB的中点，则M−3m4，m4，AB的中垂线的斜率k＝－1，
∴AB的中垂线的方程为y－m4＝－x+3m4，即x＋y＋m2＝0，
将P(－3，2)代入得m＝2，
∴直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0，
此时方程①为4x2＋12x＝0，解得xA＝－3，xB＝0，
∴yA＝－1，yB＝2，
∴A(－3，－1)，B(0，2)，
∴|AB|＝32，
又∵点P到直线l的距离d＝−3−2+22＝322，
∴△PAB的面积为12×|AB|×d＝12×32×322＝92.
4．解：(1)当直线l的倾斜角为π6时，k＝tan π6＝33，
又直线l过F(－3，0)，则直线l的方程为y＝33(x＋3)，即x＝3y－3，
联立x=3y−3，b2x2+a2y2=a2b2，消去x，得(a2＋3b2)y2－6b2y＋3b2－a2b2＝0，
则Δ＝36b4－4(3b2＋a2)(3b2－a2b2)＝4a2b2(a2＋3b2－3)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得y1＋y2＝6b23b2+a2，y1y2＝3b2−a2b23b2+a2，
因为|AF|＝7|BF|，所以y1＝－7y2，
将其代入y1＋y2＝6b23b2+a2，可得y2＝−b23b2+a2，y1＝7b23b2+a2，
所以−b23b2+a2·7b23b2+a2＝3b2−a2b23b2+a2，
整理得16b2＋3a2－3a2b2－a4＝0，
又b2＝a2－c2＝a2－3，
所以16(a2－3)＋3a2－3a2(a2－3)－a4＝0，
整理得a4－7a2＋12＝0，解得a2＝4或a2＝3(舍去)，
所以b2＝a2－3＝4－3＝1，故椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.
(2)由题意，显然直线l不平行于x轴，设直线l的方程为x＝ty－3，
联立x=ty−3，x2+4y2=4，消去x，得(t2＋4)y2－23ty－1＝0，
而Δ＝12t2＋4(t2＋4)＝16(t2＋1)＞0，
又A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝23tt2+4，y1y2＝−1t2+4，
则|y1－y2|＝y1+y22−4y1y2＝23tt2+42−−4t2+4＝4t2+1t2+4，
于是得S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝32·4t2+1t2+4＝23t2+1+3t2+1≤232t2+1·3t2+1＝1，
当且仅当t2+1＝3t2+1，即t＝±2时，等号成立，
所以当t＝±2时，△OAB的面积取得最大值1，
此时直线l的方程是x＝±2y－3，即y＝22x＋62或y＝－22x－62