2025届高考数学一轮复习专练8 函数的奇偶性与周期性（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的
是( )
A.y=x+f(x)B.y=xf(x)
C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)
【解析】选B.设g(x)=xf(x).
因为f(-x)=-f(x),
所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),
所以g(x)为偶函数.
2.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当01-ln x,整理得ln x>12,
解得x>e,故不等式的解集为(e,+∞).
答案:(e,+∞)
14.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023).
【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)x∈[2,4],则4-x∈[0,2],f(x)=f(x-4)=-f[-(x-4)]
=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)2]
=x2-6x+8,
所以x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=0.
15.(10分)(2023·鄂州三校联考)函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)