新疆维吾尔自治区部分名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份新疆维吾尔自治区部分名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足,则( )
A.B.C.D.
2．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则( )
A.B.C.D.
3．给出下列四个结论：
①经过两条相交直线,有且只有一个平面;
②经过两条平行直线,有且只有一个平面;
③经过三点,有且只有一个平面;
④经过一条直线和一个点,有且只有一个平面.
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
4．已知小王4次月考的数学成绩分别为125,116,120,131,则这些成绩的第75百分位数是( )
A.122.5B.125C.128D.131
5．从标有数字1,2,3,4的四张卡片中任取两张,这两张卡片上的数字相邻的概率是( )
A.B.C.D.
6．某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示,则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为( )
A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区
7．已知方程的根分别为,,则( )
A.0B.2C.D.
8．在正方体中,P为线段的中点,Q为线段上的动点,则与平面所成角的正弦值的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,,则的外接圆的半径为4
D.若,,则
10．在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“出现小于5的奇数点数”,事件B表示“出现不小于5的点数”,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.事件A或B至少有一个发生的概率为
11．如图1,一圆形纸片的圆心为O,半径为,以O为中心作正六边形,以正六边形的各边为底边作等腰三角形,使其顶角的顶点恰好落在圆O上.现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪,裁剪后的图形如图2所示,将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起,使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该正六棱台的高为,则下列结论正确的是( )
A.正六边形的边长为4B.该正六棱台的侧面积为
C.该正六棱台的外接球半径为D.该正六棱台的体积为
三、填空题
12．某中学高一年级有男生640人,女生480人.为了解该年级男､女学生的身高差异,应采用（从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112,则应抽取的女生人数为______________.
13．现用一枚甲型导弹和一枚乙型导弹各射击目标一次,则目标被击中的概率为,已知一枚甲型导弹击中目标的概率是,且甲､乙两种导弹是否击中目标互不影响,则一枚乙型导弹击中目标的概率是_______________.
14．已知点O是的内心,,,则面积的最大值为______________.
四、解答题
15．已知平面向量,,满足,,.
(1)若,求的值;
(2)若,求向量与夹角的大小.
16．为了了解一片林木的生长情况,某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长（单位:）,所得数据都在内,按,,,,分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
(3)若这片林木有10000棵树木,估计这片林木中底部周长在内的树木的数量.
17．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
（1）求;
（2）若,求的周长.
18．为普及防火救灾知识,某学校组织防火救灾知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手在第一轮比赛胜出后才能进入第二轮比赛.若其在两轮比赛中均胜出,则赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲,乙胜出的概率分别为,;在第二轮比赛中,甲､乙胜出的概率分别为,,甲,乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响,
(1)比较甲､乙两人谁赢得比赛的概率大;
(2)求甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率.
19．在四棱锥中，平面，，，，平面平面，M，N分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：.
（3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积.
参考答案
1．答案：B
解析：由,得,
即,
解得,
所以,
故选：B.
2．答案：D
解析：因为,所以.
由,得.
故选：D.
3．答案：B
解析：根据基本事实以及推论,易知①②正确.
若三点共线,则经过三点的平面有无数多个,故③错误.
若点在直线外,则确定一个平面,若点在直线上,则可有无数个平面,故④错误.
即正确的命题有2个,
故选：B.
4．答案：C
解析：将这些成绩从小到大排列为,,,.
因为,所以这些成绩的第75百分位数是.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意可知,样本空间,共6种,卡片数字相邻的有,,共3种,
所以所求概率.
故选：B.
6．答案：D
解析：由图可得,丁地区销量最稳定,所以丁地区销量的方差最小.
故选：D.
7．答案：A
解析：
.
故选：A.
8．答案：A
解析：取的中点H,连接,,设正方体的棱长为,
则在中,P为线段的中点,H为的中点,
所以为的中位线,所以.
又因为平面,所以平面,
则与平面所成的角为,则.
由,得,
所以要使与平面所成角的正弦值最小,则最小,
可知当Q与点B重合时,最大,此时,,
所以.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：对于A,若,则,显然不成立,所以,则,A正确.
对于B,因为,所以,由知,B正确.
对于C,设的外接圆的半径为r,由,解得,C错误.
对于D,因为,所以,由,得,D正确.
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：事件A表示“出现的点数为1,3”,事件B表示“出现的点数为5,6”,可知A,B互斥,所以,A错误.
事件表示“出现的点数为1,3”,所以,而,B正确.
由上知,,所以,C正确.
因为,所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：如图1,设以为底边的等腰三角形的中位线为,
连接,分别交,于点M,N,则M,N分别为,的中点,
设,则由中位线和正六边形性质得,,
所以,,①,
折叠后形成的正六棱台如图2所示,由正六边形性质,,
设上底面的中心为,连接,
则,
连接,则是正六棱台的高,即,
过点M作交于点G,
则由由正六棱台结构性质可知平面,故,
在中,②.
由①②得,解得,
所以正六棱台的上､下底面的边长分别为和,故A正确;
该正六棱台的侧面高为,
所以正六棱台侧面积为,故B正确;
由以及正六棱台和球的对称性可知正六棱台的外接球球心必在线段上,
连接,,,,则,均为外接球的半径,设为r,
由勾股定理得
所以,
又因为,
所以,解得,
则,所以,故C错误;
因为正六棱台上底面面积,下底面面积,
所以所求体积,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：分层随机;48
解析：因为男､女学生的身高存在明显差异,所以应采取分层随机抽样的方法抽取样本.若样本容量为112,则应抽取的女生人数为.
故答案为：分层随机,48.
13．答案：
解析：设一枚乙型导弹击中目标的概率是p,
由题意知,解得.
故答案为：
14．答案：
解析：因为点O是的内心,,
所以.
由余弦定理得,
所以,
则,
故的面积.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2).
解析：(1)根据题意可得,
解得.
(2)由,得.
因为,所以,
所以,
所以,
又,所以.
16．答案：(1)0.025
(2)102.5cm
(3)6000
解析：(1)由频率分布直方图可得,解得.
(2)设这片林木中树木底部周长的平均值为,
则
(3)由频率分布直方图可知这片林木中树木的底部周长在内的频率是,
则这片林木中底部周长在内的树木的数量的估计值是.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以.
又,所以,则,
因为,所以.
（2）因为,所以.
由余弦定理,得.
整理得,解得或（舍去）.
当时,的周长为;
故的周长为.
18．答案：(1)甲赢得比赛的概率大
(2)
解析：(1)设“甲在第一轮比赛中胜出”,“甲在第二轮比赛中胜出”,
“乙在第一轮比赛中胜出”,"乙在第二轮比赛中胜出”,
则“甲赢得比赛”,,
“乙赢得比赛”,.
因为,所以甲赢得比赛的概率大.
(2)设“甲赢得比赛”,“乙赢得比赛”,
由（1）知,,
所以甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率为
.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）48
解析：（1）如图，连接.
因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）如图，过A作交于H.
因平面平面，平面平面，平面，故平面.
因为平面，所以.
因为平面，平面，所以.
因为，所以平面，
又平面，所以.
（3）如图3，过C作交于F，过F作交于E，连接.
因平面，平面，则，
因，平面，故得平面.
因平面，则.
因为，，平面，所以平面.
又平面，则，则即为二面角的平面角，
依题意，.
设，则.因为，，所以.
由，得，即，则，.
又由，得，即，解得.
，因，则的面积为，
故.