新疆乌鲁木齐市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份新疆乌鲁木齐市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数的虚部是( )
A.5B.C.5iD.
2．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监督局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽检54家，则粮食加工品店需要被抽检( )
A.40家B.45家C.50家D.55家
3．向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，12，14，则该组数据的分位数为( )
A.6.5B.7C.9D.12
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )
A.B.C.D.
6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
7．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是( )
A.B.C.D.
8．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ).
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有( )
A.B.
C.若，则D.若，则
10．人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则( )
A.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为20379元
11．如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F，M分别是，的中点，则下列结论中正确的是( )
A.B.当E为中点时，
C.三棱锥的体积为定值D.直线到平面的距离为
三、填空题
12．已知，则________.
13．已知向量，，且，则实数________.
14．某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高________m.
四、解答题
15．如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的半径为3cm，求该组合体的体积和表面积.（，）
16．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（1）求出m的值；
（2）求样本质量指标值的平均数和第75百分位数；
（3）若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间内的平均数和方差为77和21，据此估计在内的平均数和方差.
17．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①；②；③.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的值.
18．如图，P是平面外一点，四边形是矩形，平面，，.E是的中点.
（1）求证：平面
（2）求证：平面平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
19．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
（1）将复数表示成（，i为虚数单位）的形式；
（2）求的最大值；
（3）若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根.类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：复数的虚部是.
故选：B.
2．答案：A
解析：根据分层随机抽样定义和计算方法，可得粮食加工品店被抽检家.
故选：A.
3．答案：A
解析：由向量，，可得，且，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
4．答案：D
解析：因为，所以该组数据的分位数是第7个数12.
故选：D.
5．答案：C
解析：由正弦定理，则，
又，所以，所以，
所以.
故选：C
6．答案：D
解析：若，，则或，所以A错；，，，，或，所以B错；
若，，，则，所以C错；若，，，则n与两面的交线m平行，即，故D对.
故选：D.
7．答案：D
解析：对A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；
对B：由图可知，，，所以，
故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：D.
8．答案：C
解析：
连接，取的中点O，连接，，
因为E为棱的中点，所以，
即异面直线与所成角为或其补角，
在中，，，，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A中，在中，因为，可得，所以A正确；
对于B中，由，可得，所以B不正确；
对于C中，因为，由正弦定理得，所以，所以C正确；
对于D中，因为，可得，由正弦定理得，所以D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；
对于B，由题中折线图知，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；
对于C，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，
人均消费支出的极差为元，C正确；
对于D，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D错误.
故选：AC
11．答案：ABC
解析：连接，正方体中，且，四边形为平行四边形，则，
因为F，M分别是，的中点，所以，故正确;
连接，正方体中，.
当E为中点时，由于，所以，由于，所以，故B正确;
，在三棱锥中，底面积为定值，
棱锥的高等于是定值，三棱锥的体积为定值，则三棱锥体积为定值，故C正确;
连接，，由于，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，，平面，故平面平面，
平面，所以直线平面平行，
故直线到平面的距离，即为点B到平面的距离，设距离为h，
，故D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：由可得，，则.
故答案为：.
13．答案：
解析：，由得，解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为在中，，，，
所以，
由正弦定理得，即，解得，
在中，，所以，
故塔高.
故答案为：.
15．答案：体积为，表面积.
解析：该组合体的体积为：，
该组合体的表面积为：.
16．答案：（1）；
（2）76.5，85；
（3）74，51
解析：（1）由题意知，解得，
（2）样本质量指标值的平均数为，
前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，
故第75百分位数位于第4组，设其为t，
则，解得，
即第75百分位数为85.
（3）已知在区间内的平均数和方差为67和51，
在区间内的平均数和方差为77和21，
则在在内的平均数，
在在内的方差.
估计在内的平均数为74，方差为51.
17．答案：（1）所选条件见解析，；
（2）12
解析：（1）若选①：因为，
由正弦定理可得，
且，则，可得，
且，所以；
若选②：因为，由正弦定理可得，
且，则，可得，
且，所以；
若选③：因为，
则，可得
且，则，可得，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又，，
即，解得.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，连接OE.
四边形是矩形O为BD的中点，
又E是的中点..
又平面，平面，
平面；
（2）证明：平面，且四边形是矩形，
，，又，平面；
，平面；又平面，
平面平面；
（3）设AD的中点为H，连结EH、CH，
平面，，平面，
EC是平面的斜线，HC是EC在平面内的射影，
即为斜线EC和平面所成的角.
在矩形中，，，，
又，在中，，
与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）；
（2）2；
（3）11
解析：（1）由欧拉公式有
.
（2）由于，，故，
而当时，有.
故的最大值是.
（3）由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）.
所以.