2023-2024学年福建省龙岩市新罗区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市新罗区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列代数式中，为最简二次根式的是( )
A. 12B. 3C. 4D. 12
2.以下列数组为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 4，5，6C. 6，8，10D. 5，12，13
3.一组数据2，2，3，4，4，则这组数据的平均数是( )
A. 2B. 2.5C. 3D. 4
4.直线y=2x+n经过点(1,5)，则n=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.下列二次根式的运算正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 3+ 3=2 6
C. 5 3×2 3=10 3D. 6÷ 3= 2
6.如图，在▱ABCD中，若∠B+∠D=110∘，则∠A的度数为( )
A. 110∘
B. 55∘
C. 125∘
D. 70∘
7.如图，橡皮筋AB=12cm，固定它的端点A、B，把AB的中点C向上拉升8cm到点D，则该橡皮筋被拉长了( )
A. 8cm
B. 6cm
C. 4cm
D. 2cm
8.下列图象中，不可能是关于x的一次函数y=mx−(m−3)的图象的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以AB为边长在第一象限内作正方形ABCD，连接OC.若AB=4，则OC的最大值是( )
A. 2+2 5
B. 2+2 3
C. 4 2
D. 8
10.如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y=2x和第一象限内的▱ABCD(BC//x轴，S▱ABCD=5).直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移(平移距离设为m)，对应生成的直线被▱ABCD的两边所截得的线段长设为n.若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是( )
A. 1B. 52C. 2D. 32
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.使二次根式 x+3有意义的x的取值范围是______.
12.某校九年级进行了3次体育中考模拟测试，在男生1000米项目中，甲、乙、丙三位同学3次模拟测试的平均成绩都是3分55秒，三位同学成绩的方差分别是S甲2=0.04，S乙2=0.09，S丙2=0.093.则甲、乙、丙三位同学中，成绩最稳定的是______(填甲、乙或丙).
13.将直线y=−3x向上平移2个单位，所得直线的函数解析式是______.
14.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩形A1B1CD1的位置，旋转角为θ(0∘<θ<90∘).若∠1=120∘，则θ=______ ∘.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为______.
16.如图，在正方形ABCD中，AD=6，点E在CD边上，过点E作EF//AD，EF交AC，AB分别于点G，F.若点M，N分别是AG，BE的中点，DE=2，则MN的长是______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(1) 18− 32+ 2；
(2)(4 2+13 6)× 3.
18.(本小题8分)
如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE、DF.求证：BE=DF.
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，求∠D的度数.
20.(本小题8分)
已知y+2与2x−1成正比例，当x=1时，y=−1.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若直线y=ax+b(a<0)与(1)的函数图象交于点P(2,1)，则关于x的不等式ax+b≥2x−3的解集为______.
21.(本小题8分)
如图，AB//CD，点E，F分别在AB，CD上，EG平分∠AEF交CD于点G，FH平分∠EFD交AB于点H.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)当∠AEF=______ ∘时，四边形EGFH是菱形.
22.(本小题10分)
某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用2辆).A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元.若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人.一个车载座位只能坐一人.
(1)求每辆A、B型车的车载座位数；
(2)若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍.请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金.
23.(本小题10分)
某中学为全面普及安全知识和提高急救技能，特邀请某医疗培训团队到校开展急救培训系列活动.活动结束后，在该校七、八年级开展一次急救知识竞赛.竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分.王老师从七八年级各抽取20名学生的竞赛成绩，整理并绘制成如下统计图表.请根据所提供的信息，解答下列问题：
(1)根据以上信息可以得到：m=______，n=______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七、八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)若该校七年级有700人，八年级有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀.请你估算：在该校七、八年级参加本次急救知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生总人数.
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(b≠0)的图象经过A(−1,0)，B(0,2)，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC=5OA，连接BC，CD，已知S△ADC=2S△ABC.
(1)求直线AB的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)分别在线段AD，CD上取点M，N，使得MN//x轴；在x轴上取一点P，连接MN，MP，NP.探究：是否存在点M，使得∠MPN=90∘，且PM=PN？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
25.(本小题14分)
在正方形ABCD中，AB=4，点O为对角线AC的中点，动点E在射线CA上，连接EB，过点E作EF⊥BE交射线DA于点F.当点E与A重合时，AF=4；当点E与0重合时，AF=0(点F与A重合).
(1)如图1，当点E在线段AO上时，求证：EF=BE；
(2)如图2，当点E在线段AC上时，请补全图形，探究线段AB，AE，AF之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若点P、C在直线AB的异侧，且AP=4 2，动点E沿着PC从点P向点C运动，请直接写出伴随动点F的运动路径的长为______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、被开方数是分数，所以 12不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、 3是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以 4不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以 12不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B.
满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，符合题意；
C、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，不符合题意，
故选：B.
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c(c最大)满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：这组数据的平均数是：2+2+3+4+45=3.
故选：C.
根据算术平均数的定义解答即可．
本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
4.【答案】C
【解析】解：∵直线y=2x+n经过点(1,5)，
∴2×1+n=5，
解得n=3，
故选：C.
把点的坐标代入函数解析式求出n值即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，把点的坐标代入函数解析式求出k是解题的关键，熟记一次函数的性质也很重要．
5.【答案】D
【解析】解：A、 (−3)2=3，计算错误，不符合题意；
B、 3+ 3=2 3，计算错误，不符合题意；
C、5 3×2 3=30，计算错误，不符合题意；
D、 6÷ 3= 2，计算正确，符合题意；
故选：D.
根据二次根式的合并和乘除以及性质判断即可．
此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的合并和乘除以及性质解答．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCE是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180∘，
∵∠B+∠D=110∘，
∴2∠B=110∘，
∴∠B=55∘，
∴∠A=180∘−∠B=180∘−55∘=125∘，
故选：C.
由四边形ABCE是平行四边形根据平行四边形的对角相等得∠B=∠D，由∠B+∠D=110∘，可求得∠B的度数，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠A的度数即可．
此题考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，根据平行四边形的对角相等求得∠B的度数是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵点C是AB的中点，CD⊥AB，
∴AC=12AB=6cm，AD=BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD= AC2+CD2= 62+82=10(cm)，
∴AD+BD−AB=20−12=8(cm)，
∴该橡皮筋被拉长了8cm，
故选：A.
利用勾股定理求出AD的长，进而得出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A.由函数图象可知m>0−m−3>0，解得0B.由函数图象可知m>0−m−3=0，解得m=3；
C.由函数图象可知m<0−m−3<0，解得m<0，m>3，无解；
D.由函数图象可知m<0−m−3>0，解得m<0.
故选C.
分别根据四个答案中函数的图象求出m的取值范围即可．
此题比较复杂，解答此题的关键是根据各选项列出方程组，求出无解的一组．
9.【答案】A
【解析】解：取AB的中点E，
由正方形ABCD，AB=4，
得OE=12AB=2=BE，
由∠ABC=90∘，
得CE= 42+22=2 5，
得OC≤OE+EC=2+2 5.
故选：A.
取AB的中点E，由正方形ABCD，AB=4，得OE=2=BE，由∠ABC=90∘，得CE的长，即可得得OC≤OE+EC.
本题主要考查了正方形性质，解题关键是应用三角形三边关系．
10.【答案】B
【解析】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y=x的平行线，交AD于E，如图1所示，
由图象和题意可得，
AE=4−2=2，DE=7−4=3，
∴AD=2+3=5，
∵平行四边形ABCD的面积为5，
∴BM=1，
∵直线BE平行直线y=2x，
∴EM=12BM=12，
∴BE= 12+(12)2= 52.
故选：B.
根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长，然后根据平行四边形的面积求得AD边上的BM，然后解等腰直角三角形即可求得BE，得到a的值．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】x≥−3
【解析】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得x≥−3.
故答案为：x≥−3.
二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】甲
【解析】解：∵s甲2=0.04，s乙2=0.09，s丙2=0.093，
∴s甲 2∴甲、乙、丙三同学中成绩最稳定的是甲．
故答案为：甲．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13.【答案】y=−3x+2
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=−3x向上平移2个单位，所得直线的函数解析式是y=−3x+2，
故答案为：y=−3x+2.
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】30
【解析】解：由矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩形A1B1CD1的位置，旋转角为θ，∠1=120∘，
得∠DOB1=∠1=120∘，
得∠DCB1=360−90−90−120=60∘，
得θ=90−∠DCB1=30∘.
故答案为：30∘.
由矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩形A1B1CD1的位置，旋转角为θ，∠1=120∘，得∠DOB1=∠1=120∘，得∠DCB1=360−90−90−120=60∘，即可得θ=90−∠DCB1=30∘.
本题主要考查了旋转的性质和矩形的性质，解题关键是旋转的性质．
15.【答案】154
【解析】解：连接CE，
由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=6.
设AE=CE=x，则DE=6−x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE2=CD2+DE2，
即x2=32+(6−x)2，
解得x=154，
∴AE的长为154.
故答案为：154.
连接CE，由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，可得AE=CE.由矩形的性质可得AB=CD=3，AD=BC=6.设AE=CE=x，则DE=6−x，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE2=CD2+DE2，代入求出x的值即可，
本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键．
16.【答案】 13
【解析】解：如图，连接FM、FC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//DC，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90∘.AD=BC=AB=6，
∵EF//AD//BC，
∴∠AFE=∠ABC=90∘，
∴∠BFE=90∘，
∴四边形AFED和BFEC都是矩形，
∴AF=DE=2BF=6−2=4，
∵N是BE的中点，
∴点F、N、C三点共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAG=45∘，
∴△AFG是等腰直角三角形．
∵M是AG的中点，
∴FM⊥AC，
∴∠FMC=90∘，
∵四边形BFEC是矩形，
∴FC=BE= BC2+CE2= 62+42=2 13，
又∵N是BE的中点，
∴N是FC的中点，
∴MN=12FC= 13，
故答案为： 13.
先证四边形AFED和BFEC都是矩形，由△AFG是等腰直角三角形，M是AG的中点，可得∠FMC=90∘.由“矩形的对角线相等且互相平分”可得FC=BE，且N是FC的中点．根据勾股定理求出 BE的长，即可求出MN的长．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，以及“直角三角形斜边中线等于斜边一半”，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17.【答案】解：(1) 18− 32+ 2
=3 2−4 2+ 2
=0；
(2)(4 2+13 6)× 3
=4 2× 3+13 6×3
=4 6− 2.
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)根据乘法分配律计算，然后化简即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF.
【解析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出结论．
本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．证明四边形BFDE是平行四边形是解题的关键．
19.【答案】解：连接AC，
∵∠B=90∘，AB=20，BC=15，
∴AC2=AB2+BC2=202+152=625，
∵CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=72+242=625=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠D=90∘.
【解析】连接AC，先根据勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状即可．
本题考查的是勾股定理及其逆定理，先根据题意判断出△ACD是直角三角形是解题的关键．
20.【答案】x<2
【解析】解：(1)设y+2=k(2x−1)，
把x=1，y=−1代入得−1+2=k×(2×1−1)，
解得k=1，
∴y关于x的函数解析式为y+2=2x−1，
即y=2x−3；
(2)把(2,1)代入y=ax+b得2a+b=1，
∴b=1−2a，
∵a<0，
∴b>1，
如图，
∵当x<2时，ax+b>2x−3，
∴关于x的不等式ax+b≥2x−3的解集为x<2.
故答案为：x<2.
(1)根据正比例函数的定义可设y+2=k(2x−1)，然后把已知的对应值代入求出k即可；
(2)把(2,1)代入y=ax+b得b=1−2a，则b>1，再画出两函数图象，观察函数图象，写出直线y=ax+b在直线y=2x−3所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用函数图象，通过比较函数值的大小确定不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
21.【答案】120
【解析】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF=12∠AEF，∠EFH=12∠EFD，
∴∠GEF=∠EFH，
∴EG//FH，
∵EH//GF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)解：当∠AEF=120∘时，四边形EGFH是菱形，
理由：∵AB//CD，
∴∠FGE=∠AEG，
∵∠FEG=∠AEG，
∴∠FEG=∠FGE，
∴FE=FG，
∵∠AEF=120∘，
∴∠FEG=12∠AEF=60∘，
∴△FEG是等边三角形，
∵四边形EGFH是平行四边形，FG=EG，
∴四边形EGFH是菱形，
故答案为：120.
(1)由AB//CD，得∠AEF=∠EFD，因为∠GEF=12∠AEF，∠EFH=12∠EFD，所以∠GEF=∠EFH，则EG//FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形；
(2)由AB//CD，得∠FGE=∠AEG，而∠FEG=∠AEG，所以∠FEG=∠FGE，则FE=FG，当∠AEF=120∘，则∠FEG=12∠AEF=60∘，可证明△FEG是等边三角形，所以FG=EG，则四边形EGFH是菱形，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明∠GEF=∠EFH是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，
根据题意得：
4x+3y=2903x+4y=270，
解得：x=50y=30，
答：每辆A型车坐满后载客50人，每辆B型车坐满后载客30人；
(2)设租用m辆A型车，共需租金为w元，
根据题意得：m≥2(15−m)m≥215−m≥2，
解得：10≤m≤13.
则w=600m+400(15−m)，
即w=200m+6000，
∵200>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w取得最小值，最小值为10×200+6000=8000(元)，此时15−m=50(辆).
答：当租用10辆A型车，5辆B型车时，租金最少，最少租金是8000元．
【解析】(1)根据“4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人”列方程组求解；
(2)先根据“A型车的数量不少于B型车的数量的2倍”和“每种型号的客车至少租用2辆”列不等式组求出租用A型车份范围，再列出租金的函数解析式，根据一次函数的性质求解．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，找到相等关系或不等关系是解题的关键．
23.【答案】8.59
【解析】解：(1)由七年级竞赛成绩统计图可得，
七年级C组的人数为：20−3−7−3=7(人)，
∴八年级B组的人数最多，
∴八年级的众数为n=9；
由七年级竞赛成绩统计图可得，
将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组，
∴中位数m=9+82=8.5，
补充统计图如下：
故答案为：8.5，9；
(2)八年级更好，理由如下：
七，八年级的平均分相同，但八年级中位数大于七年级中位数，说明八年级一半以上人不低于9分；八年级方差小于七年级方差，说明八年级的波动较小，所以八年级成绩更好．
(3)700×3+720+800×(10%+45%)=790(人)，
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有790人．
(1)首先根据题意求出七年级C组的人数，然后根据众数和中位数的概念求解，最后完成统计图的补充即可．
(2)根据平均数，中位数和方差的意义求解即可；
(3)用总人数乘优秀率即可得到人数．
本题考查了众数，中位数，方差，样本估计总体，熟练掌握统计图，三数的计算公式是解题关键．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(0,2)代入y=kx+b(k≠0)，
得−k+b=0b=2，
解得k=2b=2，
∴线段AB的表达式y=2x+2；
(2)已知OC=5OA，且点C在x轴正半轴上，
∴点C(5,0)，AC=OA+OC=5+1=6，
∴S△ABC=12AC⋅OB=12×6×2=6.
设点D的坐标为(m,2m+2)，如图，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，
则DH=2m+2，
∴S△ADC=12AC⋅DH=12×6×(2m+2)=2S△ABC=2×6=12.
即12×6×(2m+2)=12.
解得m=1，
∴点D的坐标为(1,4)；
(3)存在，点M的坐标为(−17,127).设直线CD的表达式为y=k′x+b′(k′≠0)，
将点D(1,4)，C(5,0)代入y=k′x+b′(k′≠0)，
得k′+b′=45k′+b′=0，
解得k′=−1b′=5，
∴直线CD的表达式y=−x+5.
已知点M在线段AD：y=2x+2上，设点M的坐标为(a,2a+2)，则−1≤a≤1，
∵MN//x轴，且点N在CD上，
∴将y=2a+2代入y=−x+5，
得，2a+2=−x+5，
解得x=3−2a.
∴点N的坐标为(3−2a,2a+2)，
当PM=PN，∠MPN=90∘时，
如图，过点P作PQ⊥x轴，交MN于点Q，
易得点Q为MN的中点，且PQ=MQ，点Q的坐标为(3−a2,2a+2)，
∴MQ=3−a2−a=3−3a2，
∵PQ=MQ，
∴3−3a2=2a+2，
解得a=−17，
∴2a+2=127，
∴点M的坐标为(−17,127).
【解析】(1)利用待定系数法求直线AB的解析式；
(2)根据三角形面积公式得到D到AC的距离等于B点到AC的距离的2倍，即D点的纵坐标为4，然后利用直线AB的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标．
(3)先求出直线CD的表达式，再求出点N的坐标为(3−2a,2a+2)，结合∠MPN=90∘且PM=PN，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数图象与结合图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：过E作PQ//AB，交AD于P，交BC于Q，如图1，
则四边形ABQP是矩形，
当E在AO上，如图1，
∴∠GBE=∠BEQ，
∵EF⊥BE，
∴∠FEB=90∘，
又∵正方形ABCD，
∴∠BAD=90∘，
∴∠FAB=90∘，
又∵∠AGF=∠EGB，
∴∠F=90∘−∠AGF，
∠ABE=90∘−∠EGB，
∴∠F=∠ABE，
∴∠F=∠BEQ，又∠EPF=∠EQB=90∘，∠DAC=45∘，
∴∠PAE=∠PEA=45∘，PA=PE，
∵四边形ABQP是矩形，
∴BQ=PA=PE，
∴△FPE≌△EQB(AAS)，
∴EF=BE；
(2)解：AB= 2AE+AF或AB= 2AE−AF.理由如下：
过E作PQ//AB，交AD于P，交BC于Q，如图1、图2，
①当E在AO上，如图1，
∴∠GBE=∠BEQ，由(1)得∠F=∠GBE，
∴∠F=∠BEQ，又∠EPF=∠EQB=90∘，∠DAC=45∘，
∴∠PAE=∠PEA=45∘，PA=PE，AP2+PE2=AE2，则AP=PE= 22AE，
又∵矩形ABQP，
∴BQ=PA=PE，
∴△FPE≌△EQB(AAS)，
∴EQ=PF，AB=PE+EQ=PE+PF=PE+AP+AF，
在Rt△APE中，AP+PE= 2AE，
∴AB= 2AE+AF，
②当E在OC上，如图2，
∵∠EPF=∠EQB=90∘，∠DAC=∠ACB=45∘，
则EQ=CQ，PQ=BC，
∴PE=BQ，
∴∠FEP+∠BEQ=90∘，∠EBQ+∠BEQ=90∘，
∴∠FEP=∠EBQ，
∴△FPE≌△EQB(AAS)，
∴EQ=PF，
同上可知AP=PE 22AE，
∴AB=PE+EQ=PE+AP−AF，
∴AB= 2AE−AF；
(3)16.
【解析】(1)(2)见答案；
(3)解：连接BP，作BP⊥PQ，交AD于Q，当点E在点P时，点F与点Q重合，
过点E作EM，EN分别垂直AB，AD，交于点M，点N，过点E作EG⊥EC，交CB的延长线于G，连接FG，如图3，
由正方形的性质可得AB=BC=4，∠BAC=∠ACB=45∘=∠PAT=∠PAQ，则△ABC，△AEM，△AEN，△EGC为等腰直角三角形，
∴EM=EN，∠MEN=90∘=∠EMB=∠ENF，
∵BE⊥EF，则∠BEM+∠NEB=∠NEB+∠FEN，
∴∠BEM=∠FEN，
∴△BEM≌△FEN(ASA)，
∴EF=EB，
又∵△EGC为等腰直角三角形，
∴∠ECG=∠EGC=45∘，EG=EC，∠GEC=90∘，
则∠FEG+∠GEB=∠GEB+∠BEC，CG=EC，
∴∠FEG=∠BEC，
∴△FEG≌△BEC(SAS)，
∴∠FGE=∠ECG=45∘，FG=BC=CD，
∴∠FGC=90∘，
∴四边形FGCD是矩形，则FD=CG= 2EC，
∴当点E从点P运动到点C时，点F从点Q运动到点D，
当点E在点P时，EC=PC=AP+AC=4 2+4 2=8 2，
此时点F与点Q重合，FD=QD= 2EC=16，
∴伴随动点F的运动路径的长为16，
故答案为：16.
(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(2)过E作PQ//AB，分两种情况：①当E在AO上，②当E在OC上，利用正方形的性质，证明△FPE≌△EQB(AAS)，由线段的和差关系可求解；
(3)连接BP，作BP⊥PQ，交AD于Q，当点E在点P时，点F与点Q重合，过点E作EM，EN分别垂直AB，AD，交于点M，点N，过点E作EG⊥EC，交CB的延长线于G，连接FG，由正方形的性质可得AB=BC=a，∠BAC=∠ACB=45∘=∠PAT=∠PAQ，则△ABC，△AEM，△AEN，△EGC为等腰直角三角形，证明△BEM≌AFEN(ASA)，△FEG≌△BEC(SAS)，得四边形FGCD是矩形，则FD=CG= 2EC，可知当点E从点P运动到点C时，点F从点Q运动到点D，当点E在点P时，EC=PC=8 2，此时点F与点Q重合，FD=QD= 2EC=16.
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.5
m
8和9
0.85
八年级
8.5
9
n
0.75