2023-2024学年安徽省马鞍山市和县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省马鞍山市和县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 13B. 9C. 33D. 1.5
2.下列计算中，正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 6 2−4 2=2
C. 3 3×2 2=5 6D. 27÷ 3=3
3.下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
4.下列各组数是三角形的三边长，能组成直角三角形的是( )
A. 13，14，15B. 3，3，5C. 4，5，6D. 5，12，13
5.在▱ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠D的度数等于( )
A. 60∘B. 120∘C. 30∘D. 150∘
6.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )
A. 10−1B. 10C. 10+1D. 2− 10
7.在一次中学生汉字听写大赛中，某中学代表队6名同学的笔试成绩分别为75，85，91，85，95，85.关于这6名学生成绩，下列说法正确的是( )
A. 平均数是87B. 中位数是88C. 众数是85D. 方差是230
8.如图，△ABC中，AB=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
9.同一平面直角坐标系中，一次函数y1=mx+n与y2=nx+m(m,n为常数)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，边长为3的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM=PC，则AM的长为( )
A. 3( 3−1)
B. 3(3 3−2)
C. 6( 3−1)
D. 6(3 3−2)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.要使式子 x−2024有意义，则x的取值范围是______.
12.有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为x−=160cm，甲队身高方差s甲2=2.0，乙队身高方差s乙2=0.2，两队身高比较整齐的是______队.(填“甲”或“乙”)
13.如图，一束光线从点A(−3,7)出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n2)，则4m−n的值是______.
14.如图，在边长为9的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=ED=152.
(1)△ADE的面积为______；
(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1) 3× 6+ 12；
(2)( 3+ 5)2+( 3−1)( 3+1).
16.(本小题8分)
已知y是x的一次函数，当x=2时，y=1；当x=3时，y=−3.
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)若点(−2,a)、(32,b)是该函数图象上的两点，试比较a、b的大小.
17.(本小题8分)
观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式： 1+13=2 13；第2个等式： 2+14=3 14；第3个等式： 3+15=4 15；….
(1)请直接写出第4个等式：______(不用化简)；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式给予证明；
(3)利用(2)的结论计算： 2024+12026× 2026− 2023+12025× 2025.
18.(本小题8分)
如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1.
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)判断线段BC和CD的位置关系，并说明理由.
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)若AB=10，BC=16，求四边形AEBD的周长.
20.(本小题10分)
某校八年级学生开展“不忘初心，奋进新时代”主题读书活动，为了解主题活动开展的情况，随机抽取了一部分学生在活动中读书的数量进行了统计，绘制了统计图：
解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空m=______；
(2)所抽取的数据中，众数是______；中位数______；
(3)该校八年级学生有1200名，请你估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为多少？
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l的表达式为y=2x−6，点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，直线AB与直线l相交于点P.
(1)求直线AB的表达式；
(2)求点P的坐标；
(3)若直线l上存在一点C，使得△APC的面积是△APO的面积的2倍，直接写出点C的坐标．
22.(本小题12分)
某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
23.(本小题14分)
问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动(每个小组的矩形纸片规格相同)，已知矩形纸片宽AD=6.
动手实践：
(1)如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD.试判断四边形AEFD的形状，并加以证明；
(2)如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ，再次过点A折叠使点D落在折痕PQ上的点N处，得到折痕AM，连结MN，展平后得到四边形ANMD，请求出四边形ANMD的面积；
深度探究：
(3)如图3，C小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD，EF上取点G，H，将四边形AEFD沿GH折叠，使A点的对应点A′始终落在边DF上(点A′不与点D，F重合)，点E落在点E′处，A′E′与EF交于点T.
探究①当A′在DF上运动时，△FTA′的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
探究②直接写出四边形GAEH面积的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 13= 33，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 9=3，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 33是最简二次根式，符合题意；
D、 1.5= 32= 62，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C.
根据最简二次根式的定义判断即可得．
本题主要考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、 3, 2不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不合题意的；
B、6 2−4 2=2 2≠2，故该选项选项不合题意的；
C、3 3×2 2=6 6≠5 6，故该选项不合题意；
D、 27÷ 3= 9=3，故该选项合题意；
故选：D.
据此相关运算法则，进行逐项分析，即可作答．
本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键．
3.【答案】B
【解析】解：由函数的定义，可知B选项中，一个x值，有两个y值与之对应，不符合函数定义，因此B选项中的曲线不能表示y是x的函数，故B符合题意．
故选：B.
根据函数的定义：对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数．再结合图象，可得到答案．
本题主要考查了函数的概念，理解函数的定义，一个x只能对应一个y，再结合函数图象解题是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵(14)2+(15)2≠(13)2，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵32+32≠52，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，符合题意．
故选：D.
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c(c最长)满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：在▱ABCD中，∠A+∠B=180∘，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠A=60∘，∠B=120∘，
∴∠D=∠B=120∘，
故选：B.
根据平行四边形邻角互补可求出∠B，再根据对角相等即可得出答案．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形邻角互补、对角相等的性质是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，BC=AD=1，
∴AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
∴AM=AC= 10.
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为： 10−1，
故选：A.
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，掌握计算方法是解题的关键．根据平均数、众数、中位数以及方差的定义进行计算即可．
【解答】
解：(75+85+91+85+95+85)÷6=86，故A错误；
按大小顺序排列95，91，85，85，85，75，中间两个数为85，故B错误；
出现了3次，次数最多，故众数是85，故C正确，
S2=16[(75−86)2+3×(85−86)2+(91−86)2+(95−86)2]=38.3，故D错误；
故选C.
8.【答案】A
【解析】解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90∘，
在△ADF和△ADC中，
∠CAD=∠FADAD=AD∠ADC=∠ADF=90∘，
∴△ADF≌△ADC(ASA)，
∴AF=AC，CD=FD，
∴BF=AB−AE=8−6=2cm，
又∵点E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=12BF=12×2=1cm.
故选：A.
延长CD交AB于F，利用“角边角”证明△ADF和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AC，CD=FD，再求出BF并判断出DE是△BCF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=12BF.
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由一次函数y1=mx+n图象可知m>0，n<0，由一次函数y2=nx+m可知n<0，m<0，矛盾，故A不合题意；
由一次函数y1=mx+n图象可知m>0，n>0，由一次函数y2=nx+m可知n<0，m>0，矛盾，故B不合题意；
由一次函数y1=mx+n图象可知m>0，n<0，由一次函数y2=nx+m可知n<0，m>0，一致，故C符合题意；
由一次函数y1=mx+n图象可知m<0，n>0，由一次函数y2=nx+m可知n<0，m<0，矛盾，故D不合题意；
故选：C.
利用一次函数的性质进行判断．
此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
10.【答案】A
【解析】解：解法一：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD边长为6，
∴A(0,3)，D(3,3)，C(3,0)，
由B(0,0)，D(3,3)可得直线BD解析式为y=x，
设M(m,m)，
由A(0,3)，M(m,m)得直线AM解析式为y=m−3mx+3，
在y=m−3mx+3中，令x=3得y=6m−9m，
∴P(3,6m−9m)，
∵PM=PC，
∴(m−3)2+(m−6m−9m)2=(6m−9m)2，
∴m2−6m+9+m2−2(6m−9)+(6m−9m)2=(6m−9m)2，
整理得2m2−18m+27=0，
解得m=9+3 32(不符合题意，舍去)或m=9−3 32，
∴M(9−3 32,9−3 32)，
∴AM= (9−3 32)2+(9−3 32−3)2=3( 3−1)，
解法二：
∵PM=PC，
∴∠PMC=∠PCM，
∴∠DPA=∠PMC+∠PCM=2∠PCM=2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD=90∘，
∴∠APD=60∘，∠PAD=30∘，
∴PD=AD 3=3 3= 3，∠CPM=120∘，
∴CP=CD−PD=3− 3，
在△PCM中，∠CPM=120∘，PM=PC，
∴CM= 3CP=3 3−3，
由正方形对称性知AM=CM=3( 3−1)；
解法三：
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AB=AD=CD=3，AB//CD，
由题意：设AM=m，PM=n，则PC=n，DP=3−n，
∵AB//CD，
∴DPAB=PMAM，
∴3−n3=nm，
化简得：mn=3m−3n，
由勾股定理可知：AD2+DP2=AP2，
∴32+(3−n)2=(m+n)2，
化简得：m2+2mn+6n=18，
将mn=3m−3n代入，得：m2+6m−6n+6n−18=0，
解得：m1=3 3−3，m2=−3 3−3(舍去)，
∴AM=3( 3−1)，
故选：A.
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD边长为3，可知A(0,3)，D(3,3)，C(3,0)，直线BD解析式为y=x，设M(m,m)，可得直线AM解析式为y=m−3mx+3，即得P(3,6m−9m)，由PM=PC，得(m−3)2+(m−6m−9m)2=(6m−9m)2，解得m=9−3 32，故M(9−3 32,9−3 32)，从而求出AM=3( 3−1).
本题考查正方形性质及应用，勾股定理，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．
11.【答案】x≥2024
【解析】解：由题意可得x−2024≥0，
解得：x≥2024，
故答案为：x≥2024.
根据二次根式有意义的条件即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】乙
【解析】解：∵S甲2=2.0，S乙2=0.2，
∴S甲2>S乙2，
∴两队身高比较整齐的是乙队．
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13.【答案】−2
【解析】解：∵点A(−3,7)关于y轴的对称点为A′(3,7)，
∴反射光线所在直线过点B(0,1)和A′(3,7)，
设A′B的解析式为：y=kx+1，过点A′(3,7)，
∴7=3k+1，
∴k=2，
∴A′B的解析式为：y=2x+1，
∵反射后经过点C(m,n2)，
∴2m+1=n2，
∴4m−n=−2.
故答案为：−2.
点A(−3,7)关于y轴的对称点为A′(3,7)，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B(0,1)和A′(3,7)，求出A′B的解析式为：y=2x+1，再根据反射后经过点C(m,n2)，2m+1=n2，即可求出答案．
本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A′B的解析式．
14.【答案】9 277
【解析】解：(1)过E作EM⊥AD于M，
∵EA=ED=152.AD=9，
∴AM=DM=12AD=92，
∴EM= AE2−AM2=2，
∴△ADE的面积为12AD⋅EM=12×9×2=9；
故答案为：9；
(2)过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC//AD，
∴EP⊥BC，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=9，AB//EP，
∴EP=11，∠ABF=∠NEF，
∵F为BE的中点，
∴BF=EF，
在△ABF与△NEF中，
∠ABF=∠NEFBF=EF∠AFB=∠NFE，
∴△ABF≌△NEF(ASA)，
∴EN=AB=9，
∴MN=7，
∵PM//CD，
∴AN=NG，
∴GD=2MN=14，
∴AG= AD2+GD2= 277，
故答案为： 277.
(1)过E作EM⊥AD于M，根据等腰三角形的性质得到AM=DM=12AD=92，根据勾股定理得到EM= AE2−AM2=2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积；
(2)过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据正方形的性质得到EF⊥BC，推出四边形ABPM是矩形，得到PM=AB=9，AB//EP，根据全等三角形的性质得到EN=AB=9，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：(1) 3× 6+ 12
=3 2+ 22
=7 22；
(2)( 3+ 5)2+( 3−1)( 3+1)
=3+2 15+5+3−1
=10+2 15.
【解析】(1)先化简，再合并同类二次根式即可；
(2)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
16.【答案】解：(1)设一次函数的表达式为y=kx+b，
根据题意得2k+b=1 3k+b=−3 ，
解得k=−4b=9，
∴一次函数的表达式为y=−4x+9；
(2)当x=−2时，a=−4×(−2)+9=17；
当x=32时，b=−4×32+9=3，
∴a>b.
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数的表达式；
(2)利用一次函数的解析式计算自变量为−2和32所对应的函数值得到a、b的值，然后比较它们的大小．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
17.【答案】 4+16=5 16
【解析】解：(1)第4个等式为 4+16=5 16；
故答案为： 4+16=5 16；
(2)第n个等式为 n+1n+2=(n+1) 1n+2.
证明如下：
n+1n+2
= n(n+2)+1n+2
= n2+2n+1n+2
= (n+1)2n+2
=(n+1) 1n+2；
(3)原式=2025 12026× 2026−2024 12025× 2025
=2025 12026×2026−2024 12025×2025
=2025−2024
=1.
(1)根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第4个等式；
(2)利用前面规律写出第n个等式，然后根据二次根式的性质进行证明；
(3)根据(2)中的等式规律得到原式=2025 12026× 2026−2024 12025× 2025，然后根据二次根式的乘法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)四边形ABCD的面积为：
7×5−12×4×2−12×1×7−12×4×3−12×1×2−1×3
=35−4−3.5−6−1−3
=17.5；
(2)BC⊥CD，
理由：如图，连接BD，
∵BC2=42+22=20，CD2=22+12=5，BD2=32+42=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD=90∘，
即BC⊥CD.
【解析】(1)根据四边形ABCD的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可；
(2)根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AE//BC，BE//AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘.
∴平行四边形AEBD是矩形；
(2)解：∵AD是BC边的中线，BC=16，
∴BD=8，
由(1)可知，四边形AEBD是矩形，
∴AE=BD=8，AD=BE，
∵∠ADB=90∘，
∴AD= AB2−BD2= 102−82=6，
∴四边形AEBD的周长=2(AD+BD)=2×(6+8)=28.
【解析】(1)先证四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形的性质得∠ADB=90∘，即可得出结论；
(2)由矩形的性质得AE=BD=8，AD=BE，再由勾股定理得AD=6，即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】35 3本 3本
【解析】解：(1)读4本的人数有：1830%×20%=12(人)，
读3本的人数所占的百分比是1−5%−10%−30%−20%=35%，
补图如下：
故答案为：35；
(2)根据统计图可知众数为3本，
中位数：3+32=3(本)，
故答案为：3本，3本；
(3)根据题意得：
1200×(35%+20%+10%)=780(人)，
答：估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为有780人．
(1)根据2本的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以读4本人数所占的百分比求出读4本的人数；用整体1减去其它读书量所占的百分比求出读3本书所占的百分比，从而补全统计图；
(2)根据众数的定义求出本次所抽取的数据的众数即可；根据中位数的定义即可得出答案；
(3)用八年级的总人数乘以“读书量”不少于3本的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)设直线AB的表达式为y=kx+b.
由点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，
可知k+b=0b=2，
解得k=−2b=2，
所以直线AB的表达式为y=−2x+2.
(2)由题意，得y=−2x+2y=2x−6.，
解得x=2y=−2，
所以点P的坐标为(2,−2).
(3)C(3,0)或(1,−4).
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．
(1)利用待定系数法即可得到直线AB的表达式；
(2)通过解方程组即可得到点P的坐标；
(3)设点C的坐标为(x,2x−6)，依据△APC的面积是△APO的面积的2倍，即可得出x=1或3，进而得到C(3,0)或(1,−4).
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)直线l的表达式为y=2x−6，令y=0，则x=3，
∴直线l与x轴交于(3,0)，
设点C的坐标为(x,2x−6)，
∵△APC的面积是△APO的面积的2倍，
∴12×(3−1)×2x−6−−2=2×12×1×2，
解得x=1或3，
∴C(3,0)或(1,−4).
22.【答案】解：(1)设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
由题意，得60a+40b=152030a+50b=1360，解得a=12b=20，
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
(2)设第三次购进x千克甲种水果，则购进(200−x)千克乙种水果．
由题意，得12x+20(200−x)≤3360，解得x≥80.
设获得的利润为w元，
由题意，得w=(17−12)×(x−m)+(30−20)×(200−x−3m)=−5x−35m+2000，
∵−5<0，
∴w随x的增大而减小，
∴x=80时，w的值最大，最大值为−35m+1600，
由题意，得−35m+1600≥800，
解得m≤1607，
∴m的最大整数值为22.
【解析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组和不等式的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
(1)设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．构建方程组求解；
(2)设第三次购进x千克甲种水果，则购进(200−x)千克乙种水果．由题意，得12x+20(200−x)≤3360，解得x≥80.设获得的利润为w元，由题意，得w=(17−12)×(x−m)+(30−20)×(200−x−3m)=−5x−35m+2000，利用一次函数的性质求解．
23.【答案】解：(1)四边形AEFD是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠D=90∘，
由折叠得，
∠AEF=∠D=90∘，AD=DF，
∴四边形AEFD是矩形，
∴矩形AEFD是正方形；
(2)如图1，
由折叠得：AN=AD，∠DAM=∠NAM，PQ是AD的垂直平分线，
∴AN=DN，
∴AN=DN=AD，
∴∠DAN=60∘，
∴∠DAM=∠NAM=30∘，
∴DM= 33AD=3 3，
∴S△ADM=12AD⋅DM=12×6×3 3=9 3，
∴S四边形ANMD=2S△ADM=18 3；
(3)①如图2，
△FTA′的周长不会变化，理由如下：
连接AA′，作AR⊥A′T于R，连接AT，
由折叠得：AG=GA′，∠GA′T=∠DAE=90∘，
∴∠GAA′=∠GA′A，
设∠GAA′=∠GA′A=α，
∴∠AA′D=90∘−∠DAA′=90∘−α，
∠AA′R=90∘−∠AA′G=90∘−α，
∴∠AA′D=∠AA′R，
∴∠D=∠ARA′=90∘，AR=AR，
∴△DAA′≌△RAA′(AAS)，
∴AR=AD，RA′=DA′，
∵AD=AE，
∴AR=AE，
∵∠E=∠ART=90∘，AT=AT，
∴Rt△AET≌Rt△ART(HL)，
∴RT=ET，
∴TA′+FT+TA′=FA′+FT+(A′R+RT)=FA′+FT+(DA′+ET)=DF+EF=12，
即：△FTA′的周长是12，不会变化；
②如图3，
连接AH，HA′，AA′，设AG=GA′=x，EH=y，
∴DG=6−x，FH=6−y，AH2=AE2+EH2=y2+36，
∵∠D=90∘，
∴DA′= x2−(6−x)2= 12x−36，
∴FA′=6− 12x−36，
∴A′H=A′F2+FH2=[6− 12x−36]2+(6−y)2，
∵点A和点A′关于GH对称，
∴AH=A′H，
∴y2+36=[6− 12x−36]22+(6−y)2，
∴y=x− 12x−36，
∴S四边形GAEH=AG+EH2⋅AE=(x+y)2×6=3(2x− 12x−36)，
设 12x−36=t，
∴2x=t2+366，
∴S=3(t2+366−t)=(t−3)2+272，
∴当t=3时，S最小=272，
故四边形GAEH的面积最小值为：272.
【解析】(1)根据邻边相等的矩形证得结果；
(2)先判定△ADN是等边三角形，进而求得△ADM的面积，进一步求得结果；
(3)①连接AA′，作AR⊥A′T于R，连接AT，先证明△DAA′≌△RAA′，从而得出AR=AD，RA′=DA′，进而证明△AET≌△ART，从而RT=ET，进一步得出结论；
②连接AH，HA′，AA′，设AG=GA′=x，EH=y，可表示出AH2=AE2+EH2=y2+36，A′H=A′F2+FH2=[6− 12x−36]2+(6−y)2，根据点A和点A′关于GH对称得出AH=A′H，从而得出方程y2+36=[6− 12x−36]22+(6−y)2，表示出y=x− 12x−36，从而S四边形GAEH=AG+EH2⋅AE=(x+y)2×6=3(2x− 12x−36)，设 12x−36=t，从而得出S=3(t2+366−t)=(t−3)2+272，进一步得出结果．
本题考查了正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，二次函数及其性质等知识，解决问题的关键是换元法．进货批次
甲种水果质量
(单位：千克)
乙种水果质量
(单位：千克)
总费用
(单位：元)
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360