2023-2024学年山东省临沂市费县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市费县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.2B. 12C. 6D. 12
2.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 18− 12= 6
C. 2 3×3 3=6 3D. 5 2÷ 2=5
3.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
其中的两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的( )
A. 平均数B. 中位数和众数C. 平均数和中位数D. 方差
4.一次函数y=5x−4的图象不经过( )
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
5.如图，过四边形ABCD的各顶点作对角线BD，AC的平行线围成四边形EFGH，若四边形EFGH是菱形，则原四边形一定是( )
A. 菱形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 对角线相等的四边形
6.如图，已知▱ABCD的顶点A(0,3)，B(−2,0)，C(3,0)，若将▱ABCD沿y轴向下平移，使边AB的中点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为( )
A. (6,3)B. (5,32)C. (4,3)D. (6,32)
7.一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0))的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是( )
A. y随x的增大而减小B. 当x=3时，y的值为−8
C. 图象不经过第三象限D. 图象与x轴的交点在x轴负半轴上
8.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在DC，BC上，BF=CE，连接AE，DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，若HG= 5，则BF的长为( )
A. 7
B. 2 7
C. 2
D. 3
9.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=6，∠BAC=30∘，P为边AC上的一动点，以PA，PB为边作▱APBQ，则线段PQ长的最小值是( )
A. 3
B. 2 33
C. 33
D. 3
10.定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，∵∠A=∠B=90∘，BC=CD，∴四边形ABCD是邻等四边形.如图2，在6×5的方格纸中，A、B、C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，点D在图中的格点上，符合条件的点D有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.要使 (x−1)2在实数范围内有意义，x的取值范围是______.
12.一组数据1，3，2，5，4的方差为______.
13.将直线y=3x向右平移1个单位长度，平移后直线的解析式为______.
14.若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为__________.
15.甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多______m.
16.已知一次函数y1=mx+n和y2=ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab>0；②a+b三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)| 3−2|+ 12− 13；
(2)( 5+2)( 5−2)−(2 3−1)2.
18.(本小题8分)
请根据表格所给信息，完成下列问题：
(1)直接写出线段AB与AD之间的数量关系______；
(2)根据“创新”小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高.
19.(本小题10分)
“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连.秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒.”这首《二十四节气歌》，我们从小就会背了.二十四节气也在2016年被列入人类非物质文化遗产名录，这既可以看作是现代人对古人智慧的一种肯定，同时也具有极强的文化价值与意义.某中学在七、八年级各200名学生中开展了二十四节气知识竞赛活动，并从中各随机抽取了10名学生的成绩.
【收集数据】
七年级10名学生的成绩：80，86，99，96，90，99，100，82，89，99；
八年级10名学生测试成绩中90≤x<95的成绩如下：94，94，93.
【整理数据】
【分析数据】
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______，c=______；
(2)若学生成绩大于或等于90分，即为优秀，请根据抽样调查数据，估计两个年级参赛学生中成绩优秀的共有多少人？
(3)通过以上分析，你认为哪个年级学生对二十四节气知识掌握得更好？请说明理由.
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx+b经过点E(0,−8)，且与直线l2：y=−x+7交于点A(5,m).
(1)求点A的坐标及直线l1的解析式；
(2)过点C(a,0)作x轴的垂线，与直线l1，l2分别交于P，Q两点.当PQ=OE时，求a的值.
21.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，延长CB至D，使得BD=CB，过点A，D分别作AE//BD，DE//BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：
请你选择一位同学的说法，并进行证明.
22.(本小题12分)
已知A，B两地相距30km.甲8：00由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y(单位：km)与出发后所用时间x(单位：h)之间的关系如图所示；乙9：30由A地出发以40km/h的速度驾车前往B地.
(1)求甲的速度；
(2)请直接写出乙与B地的距离y(单位：km)与甲出发后所用时间x(单位：h)之间的函数关系式，并在图中画出函数图象；
(3)当乙在行驶途中与甲相距5km时，请求出x的值.
23.(本小题12分)
综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
【操作判断】
如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF.
(1)根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF=______ ∘；
②线段EF，BE，DF之间的数量关系为______.
【深入探究】
如图2，将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE，NF.同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时(点E不与点B，C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示.
(2)小明通过观察图形，得出AP=BE+DF.请判断其是否正确，并说明理由.
【拓展应用】
(3)若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段CE的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C.
最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解： 2与 5不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；
18− 12=3 2−2 3，故B错误，不符合题意；
2 3×3 3=6 9=18，故C错误，不符合题意；
5 2÷ 2=5，故D正确，符合题意；
故选：D.
根据二次根式相关运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知，这组数据中1.55和1.60的人数和为15−(2+5+3+1)=4(人)，
所以这组数据的众数为1.65米，中位数为1.65米，平均数和方差无法确定，
故选：B.
由题意知先求出这组数据中1.55和1.60的人数和，继而依据众数和中位数的定义可得答案．
本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
4.【答案】C
【解析】【分析】
根据一次函数的性质，一次项系数大于0，则函数一定经过一，三象限，常数项−4<0，则一定与y轴负半轴相交，据此即可判断．
本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
【解答】
解：∵一次函数y=5x−4中，5>0，−4<0，
∴图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故选：C.
5.【答案】D
【解析】解：∵EH//BD，GF//BD，
∴EH//GF，
∵EF//AC，GH//AC，
∴EF//GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵GH//AC，EH//CG，
∴四边形HACG是平行四边形，
∴GH=AC，
同理GF=BD，
∴GH=GF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
故选：D.
推出四边形EFGH、HGCA、DGFB是平行四边形，推出GH=GF，则可求解．
此题主要考查平行四边形和菱形的判定．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A(0,3)，B(−2,0)，C(3,0)，
∴AD//x轴，AD=BC=3−(−2)=5，
∴D(5,3)，
∵E为边AB的中点，
∴E(−1,32)，
∵将▱ABCD沿y轴向下平移，点E恰好落在x轴上，
∴点D及点E都向下平移了32个单位长度，
∵3−32=32，
∴平移后点D的坐标为(5,32)，
故选：B.
由A(0,3)，B(−2,0)，C(3,0)，得AD//x轴，AD=BC=5，则D(5,3)，因为E为边AB的中点，所以E(−1,32)，即可由点D及点E都向下平移了32个单位长度，求得平移后点D的坐标为(5,32)，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、平移的性质、平行四边形的性质等知识，正确地求出点E的坐标是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
则−k+b=4b=1，
解得k=−3b=1，
∴一次函数的解析式为y=−3x+1，
A、∵k=−3，∴y随x的增大而减小，正确，不符合题意；
B、当x=3时，y=−3×3+1=−8，正确，不符合题意；
C、∵k=−3<0，b=1>0，∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，正确，不符合题意；
D、∵当y=0时，x=13，∴图象与x轴的交点在x轴正半轴上，原说法错误，符合题意．
故选：D.
先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点，熟知以上知识是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠C=90∘，AD=DC=BC，
∵BF=CE，
∴CF=DE，
在△ADE和△DCF中，
AD=DC∠ADE=∠CDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA=90∘，
∴∠CDF+∠DEA=90∘，
∴∠AGF=∠DGE=90∘，
∵点H为AF的中点，
∴GH=12AF，
∵GH= 5，
∴AF=2 5，
∵AB=4，
∴BF= AF2−AB2= (2 5)2−42=2，
故选：C.
先证明△ADE≌△DCF，进而得∠AGF=90∘，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF，用勾股定理求得BF即可．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形APBQ是平行四边形，
∴AO=BO=12AB=12×6=3，PO=QO，
当线段PQ长最小，则线段PO长的最小，
过点O作OP⊥AC于P，此时OP最小，
Rt△ABC中，∠ABC=90∘，
∵∠BAC=30∘，
∴OP=12AO=32，
∴PQ=2PO=3，
∴线段PQ长的最小值为3.
故选：D.
根据平行四边形的性质得到AO=BO=3，PO=QO，当线段PQ长最小，则线段PO长的最小，过点O作OP⊥AC于P，此时OP最小，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解；如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义，
可知，所有符合条件的点D共有3个，即图形中的D1，D2，D3，
故选：C.
根据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出条件的点D的位置即可．
本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键．
11.【答案】一切实数
【解析】解：由题意得，(x−1)2≥0，
又对于一切实数x都有(x−1)2≥0，
∴x的取值范围是一切实数．
故答案为：一切实数．
依据题意，根据二次根式有意义的条件可得(x−1)2≥0，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题时要熟练掌握并能根据题意，列出不等式是关键．
12.【答案】2
【解析】解：x−=(1+2+3+4+5)÷5=3，
S2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2.
故答案为：2.
根据方差公式计算即可．S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
13.【答案】y=3x−3
【解析】解：直线y=3x向右平移1个单位长度，平移后直线的解析式为y=3(x−1)，即y=3x−3.
故答案为：y=3x−3.
根据“左加右减”的法则解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．
14.【答案】10或2 7
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
由于直角三角形的斜边不能确定，故分8是斜边与直角边两种情况进行解答．
【解答】
解：分情况讨论：
①当6和8为两条直角边时，由勾股定理得第三边长为： 62+82=10；
②当8为斜边，6为直角边时，由勾股定理得第三边长为： 82−62=2 7，
故答案为：10或2 7.
15.【答案】60
【解析】解：由图象可知，甲每天挖掘的长度为(300−210)÷(60−30)=3(m)，
∴乙每天挖掘的长度为210÷30−3=4(m)，
∵60×3−30×4=60(m)，
∴甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多60m；
故答案为：60.
求出甲每天挖掘的长度为3m，乙每天挖掘的长度为4m，再列式60×3−30×4，即可算得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．
16.【答案】①②③④
【解析】解：①∵y2=ax+b的图象过第二、三、四象限，
观察图象可知，a<0，b<0，
所以ab>0，
故①正确；
②将x=1分别代入y1和y2得，
y1=m+n，y2=a+b，
观察图象不难发现点(1,m+n)在点(1,a+b)的上方，
所以a+b故②正确；
③P(x1,y1)，Q(x2,y2)是直线y2=ax+b上不重合的两点，
由y1=ax+b的图象可知，当x1>x2时，y1当x1y2，则(x1−x2)(y1−y2)<0，
故③正确；
④观察图象发现，y1与y2交点的横坐标为−2，
∴当x=−2时，两者的函数值相等，
∴−2a+b=−2m+n，
∴2(a−m)=b−n，
故④正确；
故答案为：①②③④．
根据一次函数y=ax+b中的a，b与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，关键是熟练掌握用数形结合的思想解决问题．
17.【答案】解：(1)原式=2− 3+2 3− 33
=2+2 33；
(2)原式=5−4−(12−4 3+1)
=1−13+4 3
=−12+4 3.
【解析】(1)先取绝对值，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先算乘方，用平方差公式，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】AB+0.2=AD
【解析】解：(1)∵绳子垂到地面多出部分是0.2米，
∴AB+0.2=AD，
故答案为：AB+0.2=AD；
(2)设AB=x米，如图，过点D作DF⊥AB于点F，
则BF=DE=1.8米，DF=BE=8米，AF=AB−BF=(x−1.8)米，AD=(x+0.2)米，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
(x−1.8)2+82=(x+0.2)2，
解得：x=16.8，
答：学校旗杆的高为16.8米．
(1)根据题意可得出结论；
(2)设AB=x米，过点D作DF⊥AB于点F，则BF=DE=1.8米，DF=BE=8米，AF=AB−BF=(x−1.8)米，AD=(x+0.2)米，在Rt△ADF中，由勾股定理
得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用和平移的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
19.【答案】59293.5
【解析】解：(1)由题意可得，a=10−(2+2+1)=5.
平均数b=110×(80+86+99+96+90+99+100+82+89+99)=92.
八年级10名同学测试成绩中，前面两组共有4人，第三组3人，第三组成绩从小到大排列为93，94，94，
所以中位数c=12×(93+94)=93.5.
故答案为：5，92，93.5；
(2)200×1+510+200×3+310=240(人)，
故可估计两个年级参赛学生中成绩优秀的共有240人；
(3)八年级学生对二十四节气知识掌握得更好．理由如下：
八年级10名学生测试成绩的平均数、中位数均高于七年级，且方差小于七年级，说明八年级学生的测试成绩更好(答案不唯一).
(1)根据各组数据之和等于10即可求出a的值，根据平均数的定义可求出b的值，根据中位数的概念可求c的值；
(2)用各年级人数乘以对应的优秀学生占的比例，然后相加即可；
(3)根据平均数、中位数、方差的意义解答即可(答案不唯一，合理均可).
本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】E解：(1)∵直线l2：y=−x+7过点A(5,m)，
∴m=−5+7=2，
∴点A的坐标为(5,2).
将A(5,2)、E(0,−8)代入y=kx+b，
∴5k+b=2b=−8，解得k=2b=−8，
∴直线l1的解析式为y=2x−8；
(2)∵点C(a,0)，直线l2：y=−x+7，直线l1的解析式为y=2x−8，
∴P(a,2a−8)与Q(a,−a+7)，
∵PQ=OE，
∴|2a−8−(−a+7)|=8，
解得a=233或a=73.
【解析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，根据点A、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线l1的解析式；
(2)将x=a分别代入直线y=−x+7，y=2x−8，可得点P、Q的坐标，根据PQ=OE即可求解．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特点，熟练待定系数法是解题的关键．
21.【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接BE，
∵AE//BD，DE//BA，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE=BD，
∵BD=CB，
∴AE=CB，
又∵AE//BD，点D在CB的延长线上，
∴AE//CB，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵∠C=90∘，
∴四边形AEBC是矩形，
∴BE⊥CD；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接CE，BE，
由①可知四边形AEBC是矩形，
∴CE=AB，
∵四边形AEDB是平行四边形，
∴DE=AB，
∴CE=DE.
【解析】选择小星的说法，先证四边形AEDB是平行四边形，推出AE=BD，再证明四边形AEBC是矩形，即可得出BE⊥CD；选择小红的说法，根据四边形AEBC是矩形，可得CE=AB，根据四边形AEDB是平行四边形，可得DE=AB，即可证明CE=DE，
本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是：掌握平行四边形和矩形的判定方法．
22.【答案】解：(1)根据“速度=路程÷时间”，得甲的速度为30÷3=10(km/h)，
∴甲的速度为10km/h.
(2)根据“乙与B地的距离=AB两地的距离-乙与A地的距离”写出乙出发后y与x的关系式，得y=30−40(x−1.5)=−40x+90，
当乙到达B地时，−40x+90=0，
解得x=2.25，即当x=2.25时乙到达B地，
∴当1.5∴乙的y与x之间的函数关系式为y=30(0≤x≤1.5)−40x+90(1.5(3)设甲的y与x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0).
将坐标(0,30)和(3,0)代入y=kx+b，
得b=303k+b=0，
解得k=−10b=30，
∴甲的y与x的函数关系式为y=−10x+30.
当1.5≤x≤2.25时，且两人相距5km时，得|−10x+30−(−40x+90)|=5，
解得x=116或136.
∴x的值为116或136.
【解析】(1)根据“速度=路程÷时间”计算即可；
(2)根据“乙与B地的距离=AB两地的距离-乙与A地的距离”写出乙出发后y与x的关系式，将y=0代入求出乙到达B地的时间，从而写出乙与B地的距离y与甲出发后所用时间x之间的函数关系式(写成分段函数)；
(3)利用待定系数法求出甲的函数关系式，当1.5≤x≤2.25时，且两人相距5km时，两者对应函数之差的绝对值为5，解关于x的方程即可．
本题考查一次函数的应用，理解题意，掌握路程、时间、速度之间的数量关系，利用待定系数法求函数表达式和解绝对值方程是解题的关键．
23.【答案】45EF=BE+DF
【解析】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠BAD=90∘，
由折叠的性质可知，∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45∘，
即∠EAF=45∘.
故答案为：45.
②由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，
∵EF=ME+MF，
∴EF=BE+DF.
故答案为：EF=BE+DF.
(2)结论AP=BE+D成立，理由如下：
将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90∘.
由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，∠AME=∠B=∠C=∠ENF=90∘，
∴∠ANF=∠AMF=90∘，
又∵∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE.
由(1)得∠EAF=45∘，
∴△ANF是等腰直角三角形．
∴AN=FN.
∴△ANP≌△FNE(ASA).
∴AP=EF.
∵EF=EM+FM=BE+DF，
∴AP=BE+DF.
(3)∵点N落在折痕AE上时，
∴∠BAE=∠MAE，∠CFE=∠NFE，∠AFD=∠AFM.
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN=45∘，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45∘+∠NFE.
∵∠AFD+∠AFM+∠CFE=180∘，
∴2×(45∘+∠NFE)+∠NFE=180∘，
∴∠NFE=30∘.
∵∠APN=∠FPM，∠ANF=∠AMF=90∘，
∴∠NAP=∠NFE=30∘，
∴∠BAE=30∘.
∴BE= 33AB= 3，
∴CE=3− 3.
(1)①由正方形的性质得∠C=∠BAD=90∘，再由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，即可求解；
②根据折叠的性质即可求解；
(2)根据正方形的性质和折叠的性质得到△ANF是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质和判定求解即可．
(3)当点N落在折痕AE上，证明△ANF是等腰直角三角形，进一步求得∠BAE=30∘，然后利用含30度的直角三角形解答即可．
本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．成绩/米
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
2
5
3
1
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
4
1
−2
−5
项目背景
测量实物图：
如图1，某校八年级数学“创新”小组，自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量.
项目方案
测量示意图：
测量过程：
步骤一：如图2，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度；
步骤二：如图3，小新同学将绳子末端放置头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点E处，用皮尺测出BE距离.
各项数据
测量项目
数据
绳子垂到地面多出部分
0.2米
小新直立位置距旗杆底端的水平距离
8米
小新身高
1.8米
成绩/分
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
七年级
2
2
1
a
八年级
2
2
3
3
班级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
b
99
93
52
八年级
93.5
94
c
50.3
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD.
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE=DE.