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    人教版八年级上册数学同步练习卷 13.3.2 等边三角形

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    初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形课时作业

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    这是一份初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形课时作业,共18页。

    一、单选题
    1.如图,三点在同一直线上,都是等边三角形,与交于点,与交于点,与交于点,连接,①;②平分;③;④;⑤,下列结论中正确的个数为( )
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    2.下列条件中,不能判断是等边三角形的是( ).
    A.,B.,
    C.D.
    3.下列命题的逆命题不成立的是( )
    A.等边对等角
    B.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
    C.全等三角形的对应角相等
    D.三个角都是60°的三角形是等边三角形
    4.如图,若为等腰直角三角形,,P为CD上一动点,的最大值是()
    A.3B.4C.5D.6
    5.如图,,,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( )
    A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相交或者平行
    6.如图,等边的边长为,分别是上的点,将沿直线折叠,点落在点处,且点在外部,则阴影部分图形的周长是( )
    A.B.C.D.
    7.如图,在等边△ABC中,O是三个内角平分线的交点,OD∥AB,OE∥AC,则图中除△ABC外等腰三角形的个数是()
    A.7B.6C.5D.4
    8.下列定理中,逆定理不存在的是( )
    A.等边三角形的三个内角都等于
    B.在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角相等
    C.同位角相等,两直线平行
    D.全等三角形的面积相等
    9.下列条件不能得到等边三角形的是( )
    A.有一个内角是60°的锐角三角形B.有一个内角是60°的等腰三角形
    C.顶角和底角相等的等腰三角形D.腰和底边相等的等腰三角形
    10.如图,为线段上一动点(不与点,重合),在同侧分别作等边三角形和等边三角形,与交于点,与交于点,与交于点,连接.下列六个结论:①;②;③;④;⑤;⑥是等边三角形.其中正确结论的个数是( ).

    A.3个B.4个C.5个D.6个
    11.下列命题中:
    ①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等;
    ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
    ③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等;
    ④有一个角是60°的三角形是等边三角形;
    ⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线.
    正确命题的个数是( )
    A.2B.3C.4D.5
    12.如图,ΔABC是等边三角形,是上的高,,图中与(除外)相等的线段共有( )条
    A.B.C.D.
    二、填空题
    13.在中,,若添加一个条件使是等边三角形,则添加的条件可以是 .(写出一个即可)
    14.如图,在中,,,交于点,,则的长是 .
    15.将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”,例如圆的直径就是它的“面径”.已知等边三角形的边长为2,则它的“面径”长m的范围是 .
    16.如图,点C是线段上一点,、是等边三角形.与交于点E,与交于点F,与交于点D.下列结论:①;②是等边三角形;③;④平分;⑤.其中正确的是 .(填所有正确结论的序号)
    17.如图,等边三角形中,是的中点,于,,交于,,则的周长为 .
    18.如图,在面积为4的等边△ABC的BC边上有一点D,连接AD,以AD为边作等边△ADE,连接BE.则四边形AEBD的面积是 .
    19.如图,已知等边△ABC中,AD⊥BC,AD=2若点P在线段AD上运动,当AP+BP的值最小时,AP的长为 ;

    20.如图,D,E分别是等边三角形ABC的边AB,AC上的点,且,BE与CD相交于点P,则的度数为 .
    三、解答题
    21.如图,在中,,点分别在边、上,,连结、.
    (1)若,求证:.
    (2)若,求、的大小.
    (3)若,则的大小为__________度(用含的代数式表示).
    22.如图,P是上一点,于点D,于点E.F,G分别是上的点..

    (1)求证:是的平分线;
    (2)若,,.求的长.
    23.已知,,是的三边长.
    (1)若,,满足,试判断的形状;
    (2)化简:.
    24.在中,,,,点在的延长线上,点在边上,且,若,求的长.(提示:过点作,垂足为.)
    参考答案:
    1.C
    【详解】解:①和为等边三角形,
    ,,

    ,故①正确;
    由(1)中的全等得,

    ,故⑤正确;
    ∴,
    都是等边三角形,
    ,则为等边三角形,

    ,,

    ,故④错误;




    ,故③正确;
    作,,如图所示:


    平分,故②正确;
    2.D
    【详解】解:A选项:∵AB=AC.∠B=60°.
    ∴△ABC是等边三角形,故A选项不符合题意;
    B选项:∵∠B=∠A,∴AC=BC,
    ∵AB=AC,∴AB=AC=BC,
    ∴△ABC是等边三角形,故B选项不符合题意;
    C选项:∵∠A=∠B=60°,∠C=180°−∠A−∠B=60°,
    ∴∠A=∠B=∠C,∴AB=AC=BC,
    ∴△ABC是等边三角形,故C选项不符合题意;
    D选项:∵∠A+∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
    ∴∠C=60°,不能判断△ABC是等边三角形,故D选项符合题意,
    3.C
    【详解】解:A、等边对等角的逆命题为:等角对等边,成立,不符合题意;
    B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题为:
    到线段两端的距离的点在线段垂直平分线上,成立,不符合题意;
    C、全等三角形的对应角相等的逆命题为:
    对应角相等的三角形为全等三角形,不成立,符合题意;
    D、三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题为:
    等边三角形的三个角都是,成立,不符合题意;
    4.C
    【详解】解:作A关于的对称点A,连接交于P,则点P就是使的值最大的点.此时, 连接,如下图:
    ∵为等腰直角三角形,,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴是等边三角形,
    ∴,
    即:的最大值是5.
    5.A
    【详解】解:∵∠AOB=60°,OA=OB,
    ∴OAB是等边三角形,
    ∴OA=AB,∠OAB=∠ABO=60°
    ①当点C在线段OB上时,如图1,
    ∵是等边三角形,
    ∴AC=AD,∠CAD=60°,
    ∴∠OAB=∠CAD,
    ∴∠OAC=∠BAD,
    在AOC和ABD中,,
    ∴(SAS),
    ∴∠ABD=∠AOC=60°,
    ∴∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB,
    ∴,
    ②当点C在OB的延长线上时,如图2,
    ∵是等边三角形,
    ∴AC=AD,∠CAD=60°,
    ∴∠OAB=∠CAD,
    ∴∠OAC=∠BAD,
    在AOC和ABD中,,
    ∴(SAS),
    ∴∠ABD=∠AOC=60°,
    ∴∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB,
    ∴,
    6.A
    【详解】因为等边三角形的边长为,
    所以,
    因为沿直线折叠,点落在点处,
    所以,,
    所以阴影部分图形的周长为:
    .
    7.B
    【详解】试题分析:根据已知条件易证△AOB、△AOC、△BOC,△BOD、△COE、△ODE均为等腰三角形.故答案选B.
    8.D
    【详解】A. 等边三角形的三个内角都等于,逆定理为:三个内角都等于的三角形是等边三角形,此定理存在,不符合题意,
    B. 在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角相等,逆定理为:在一个三角形中,如果两角相等,那么它们所对的边相等,此定理存在,不符合题意,
    C. 同位角相等,两直线平行,逆定理为:两直线平行,同位角相等,此定理存在,不符合题意,
    D. 全等三角形的面积相等,逆定理为:面积相等的三角形是全等三角形,此定理不存在,符合题意,
    9.A
    【详解】解:因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形,
    所以A选项符合题意,B选项不符合题意;
    因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形,
    所以C不符合题意;
    因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形,
    10.C
    【详解】解:∵等边和等边,
    ∴,,,
    ∴,即,
    在与中,

    ∴,
    ∴,,故①正确;
    又∵,
    ∴,即,
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    又∵可知为等边三角形,故⑥正确;
    ∴,
    ∴,故②正确,
    ∵,
    ∴,故③正确,
    ∵,,
    ∴,
    即,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,故④错误;
    ∵,
    ∴,
    ∵等边,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,故⑤正确.
    11.A
    【详解】解:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等,是真命题;
    ②等腰三角形的高、中线、顶角的角平分线互相重合,原命题是假命题;
    ③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等,是真命题;
    ④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,原命题是假命题;
    ⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线,是假命题;
    12.D
    【详解】∵等边三角形ABC中,AD是BC上的高,AD⊥BC,
    ∴ BD= DC
    ∵DE//AC,
    ∴∠EDA=∠DAC=30°
    ∴∠EDA=∠DAE=30°
    ∴ED=EA,
    又DE//AC
    ∴∠EDB =∠C=60°,
    ∴∠EDB =∠B
    ∴△EDB为等边三角形,DE= DB=BE,
    ∴DE= DB=BE=EA=DC,
    所以图中与 BD ( BD 除外)相等的线段共有4条,
    13.(答案不唯一)
    【详解】解:∵在中,,

    ∴是等腰三角形,
    添加条件,
    ∴是等边三角形,
    14.6
    【详解】解:∵,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    15.
    【详解】试题分析:根据等边三角形的性质,最短的面径平行于三角形一边,最长的面径为等边三角形的高,然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径,根据等边三角形的性质求出高线,然后写出即可.
    试题解析:如图,EF∥BC时,EF为最短面径,
    此时,,
    即,
    解得EF=,
    等边三角形的高AD是最长的面径,
    AD=,
    所以,它的面径长m的范围是可以是<m<.
    16.①②④
    【详解】解:、是等边三角形,
    ,,,


    ,,故①正确;


    ,,


    是等边三角形,故②正确;




    不一定等于,
    不一定等于,
    不一定等于,

    不一定垂直于,故③错误;
    如图:过点C作于点G,于点H,







    平分,故④正确;

    不一定等于,
    不一定等于,故⑤错误,
    17.
    【详解】解:∵是等边三角形,
    ∴,,

    ∴,

    ∵是的中点,
    ∴,

    ∴,
    ∵,
    ∴,又
    ∴是等边三角形,
    ∴的周长为,
    18.4.
    【详解】解:∵△ABC与△ADE是等边三角形,
    ∴AE=AD,AB=AC,∠BAC=∠DAE=60°,
    ∴∠EAB=∠DAC,
    在△AEB与△ADC中,,
    ∴△AEB≌△ADC,
    ∴S△AEB=S△ADC,
    ∴四边形AEBD的面积=等边△ABC的面积=4.
    19..
    【详解】解:如图,
    作BE⊥AC于点E,交AD于点P,
    ∵△ABC是等边三角形,
    AD⊥BC,
    ∴∠DAC=30°
    ∴PE=AP
    当BP⊥AC时,AP+BP=PE+BP的值最小,
    此时,EP=PD
    而PE=AP
    ∴AP=.
    20.120°/120度
    【详解】解:∵是等边三角形,
    ∴,,
    又,



    ,,


    21.【详解】(1)证明:在中,,,则,



    在和中,


    (2)解:在中,,,则,

    是等边三角形,则,



    (3)解:,
    ,则,
    在中,,则,
    在中,,则,
    故答案为:.
    22.【详解】(1)证明:在和中,

    ∴,
    ∴,
    ∵于点D,于点E,
    ∴:是的平分线
    (2)解:∵平分,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,

    ∵,
    ∴.
    23.(1)等边三角形;(2).
    ()利用三角形的三边关系得到,,然后去绝对值符号后化简即可.
    【详解】(1)∵,
    ∴且,
    ∴,,
    ∴,
    ∴为等边三角形;
    (2)∵,,是的三边长,
    ∴,,
    ∴.
    24.2
    【详解】解:过点作,垂足为,

    ,又,,



    ,,


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