初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质课时练习

这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质课时练习，共21页。试卷主要包含了3 角的平分线的性质等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）
A．3B．4C．6D．无法确定
2．如图：OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，CD=5㎝，则CE的长度为（ ）
A．2㎝B．3㎝C．4㎝D．5㎝
3．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．18
4．如图，平分.于，于，则与的大小关系（ ）．
A．不能确定B．C．D．
5．如图，是的角平分线，于，若，，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（ ）
A．2B．7C．9D．14
7．数学课上，探究角的平分线的作法时，小宇用直尺和圆规作∠AOB的平分线，方法如下：
如图，（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
（3）画射线OC．射线OC即为所求． 其中的道理是，作出△OMC≌△ONC，根据全等三角形的性质，得到∠AOC=∠BOC，进而得到OC是∠AOB的平分线． 其中，△OMC≌△ONC的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
8．如图，在和中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（ ）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
9．如图，的面积为，垂直于的平分线于，则的面积（ ）
A．B．C．D．
10．如图,AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠C=35°,则∠D的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．145°
11．如图，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以E，F为圆心，适当长（大于的一半）为
半径画弧，两弧交于点M；
第三步：作射线交于点D；
第四步：过点D作于点P．
下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，进行如下操作：
①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；
③作射线BM交AC于点D，
则∠BDC的度数为（ ）.
A．100°B．65°C．75°D．105°
二、填空题
13．作图：
（1）如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中：
①画出△ABC关于直线l轴对称的△DEF（其中D、E、F是A、B、C的对应点）②直接写出△DEF的面积 平方单位．

（2）如图2，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、AD的距离相等，并且点P到点B、C的距离也相等．（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
14．如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是 ．
15．如图，中，，是边上的中线，的平分线交于点，于点，若，则的长度为 ．
16．如图，在ΔABC中，，平分，于点，如果，那么等于 ．
17．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有 （填序号）

18．如图，的三边，，的长分别为20，24，12，点是三个内角平分线的交点，则 ．

19．如图，在中，，，是的平分线，于点E，若，，则的周长为 ．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
三、解答题
21．【探究发现I】如图1，若是的角平分线．可得到结论：．
图1
小艳的解法如下：过点D作于点M，于点N．
∵是的角平分线，
∴________=________．
∴________．
过点A作于点H，
∴________．
∴．
【探究发现II】如图2，在中，，、的平分线、交于点M．
图2
（1）∵、分别平分、，
∴∠________=∠________，∠________=∠________．
∵，
∴可列方程得：________，化简得：________，
∴________=________°；
（2）作平分．
∵________°，
∴∠________=∠________=∠________=∠________=________°．
从而由________原理可证明得到：
△________≌△________，△________≌△________，
∴________=________，________=________，________=________，________=________，
∴结论①：________+________=________；
结论②：．
【综合应用】利用【探究发现I】、【探究发现II】中的结论解决下列问题．
如图3，在△ABC中，，、的平分线BD、CE交于点M，若．
图3
①求的值；
②直接写出：的值为________．
22．(1)如图，已知直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD，若∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数．
(2)计算题
①－＋－ ②4（x﹣2）2-25=0
23．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC 绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线 y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
(1)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；
(2)试证明旋转过程中，△MNO的边MN 的高为定值；
(3)折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化， 说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．
24．如图，O为直线上一点，，平分，．

(1)求的度数；
(2)请通过计算说明是否平分．
参考答案：
1．A
【详解】试题分析：如图，过点P作PF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得PF=PE=3，即点P到AB的距离是3．故答案选A．
2．D
【详解】解：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，CD=5cm
∴CE=CD=5cm．
3．B
【详解】解：作，如图所示：
由题意可知：平分，
∵，，
∴
∴
4．D
【详解】证明：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴,∠OCP=∠ODP=90°．
在与中，

∴
∴OC＝OD，
5．C
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
6．B
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DE=AD=2，
∴△BDC的面积=BC•DE=×7×2=7．
7．A
【详解】根据角平分线的作法可知，OM=ON，CM=CN，
又∵OC是公共边，
∴△OMC≌△ONC的根据是“SSS”，
8．A
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，，则结论①③正确；
如图，设与交于点，

，，
，即，
由对顶角相等得：，则结论②正确；
如图，过点作于点，作于点，

在和中，
，
，
，
平分，
，
假设平分，
，
在和中，
，
，
，
又，
，这与矛盾，则假设不成立，结论④错误；
综上，正确的结论是①②③，
9．C
【详解】解：∵垂直于的平分线于，
∴，，
在，中，
∵，
∴，
∴，，
如图所示，过点作与，
∴，
∵，
∴，
∴，
10．C
【详解】∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=35°，
∵CB平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=2×35°=70°，
∵AB∥CD，
∴∠D=180°-∠ABD=180°-70°=110°．
11．C
【详解】解：由作图方法可知平分，
设点D到的距离为h，
∵平分，，点D到的距离为h，
∴，
∴，
根据现有条件无法证明，
12．D
【详解】∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=∠C=50°，
由题意可得：BD平分∠ABC，
则∠ABD=∠CBD=25°，
∴∠BDC的度数为：∠A+∠ABD=105°．
13．（1）①见解析；②；
【详解】（1）

根据割补法得SABC=45-(14+43+15)=
(2) 作BAD的角平分线，作CD的垂直平分线，标出P
14．7
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴CD=CF，CE=CF，
∵AC=AC，BC=BC，
∴△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，
∴AF=AD=5，BF=BE=2，
∴AB=AF+BF=7．
15．
【详解】是边上的中线
平分
且
16．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴ED=EC，
∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm，
17．①②③
【详解】解： ∵，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴，，故②正确；
∵，
∴，故①正确；
∵若平分，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
又∵，
∴，故③正确；
如图，过点O作于点G，于点H，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，即．
假设成立，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分．
∵不确定平分，
∴不一定成立，故④错误．
故答案为：①②③．
18．
【详解】过点作于点，作于点，作于点，
，，是的三条角平分线，
，
的三边、、长分别为20，24，12，
： ：
=AB：：
：：
．
19．
【详解】解：∵是的平分线，，，
∴，
∴的周长为：
，
，
20．2
【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于DC＝2，
∴PD的最小值为2．
21．
【详解】探究发现I∶
证明：过点D作于点M，于点N．
∵是的角平分线，
∴．
∴．
过点A作于点H，
∴．
∴．
探究发现II∶
（1）∵、分别平分、，
∴，．
∵，
∴可列方程得：，化简得：，
∴；
（2）作平分．
∵，
∴．
从而由原理可证明得到：
，，
∴，，，，
∴结论①：；
结论②：．
综合应用∶
①∵，
设，则，
作平分，如图，
，，
∴．
②∵，，
∴，，
∵
∴．
22．（1）36°；（2）①1；②
【详解】（1）∵平分∠BOD，
∴∠1=∠2，
∵∠3:∠2=8:1，
∴∠3=8∠2.
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠2+∠2+8∠2=180°，
解得∠2=18°，
∴∠AOC=∠1+∠2=36°.
（2）①－＋－= ==1
②∵4（x﹣2）2-25=0
23．（1）22.5°；
【详解】（1）如图1中，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°，
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
∴AM=CN，
在△OAM与△OCN中，
，
∴△OAM≌△OCN（SAS），
∴∠AOM=∠CON，
∴∠AOM=∠CON=22.50，
∴MN∥AC时，旋转角为22.50；
（2）如图2中，过点O作OF⊥MN 于F，延长BA交y轴与E点，
则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM，
∴∠AOE=∠CON，
在△OAE与△OCN中，
，
∴△OAE≌△OCN（ASA），
∴OE=ON，AE=CN，
在△OME与△OMN中，
，
∴△OME≌△OMN（SAS），
∴∠OME=∠OMN，
∵MA⊥OA，MF⊥OF，
∴OA=OF=2，
∴在旋转过程中，高为定值；
（3）旋转过程中，p值不变化，
理由：∵△OME≌△OMN，
∴ME=MN，
∵AE=CN，
∴MN=ME﹣AM+AE=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4，
∴△MBN的周长p为定值．
24．(1)
【详解】（1）解：∵OD平分，且，
∴，
；
（2）∵，
，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．