初中浙教版2.6 直角三角形精品课后复习题

这是一份初中浙教版2.6 直角三角形精品课后复习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF/​/BC，∠B=∠EDF=90∘，∠A=45∘，∠F=60∘，则∠CED的度数是( )
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘
2.如图，直线AB/​/CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC=35∘，则∠BCD的度数为( )
A. 65∘B. 55∘C. 45∘D. 35∘
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，BD⊥CD于点D，AE⊥CD于点E，AE=7，BD=2，则DE的长是 ( )
A. 7B. 5C. 3D. 2
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=52°，则∠A等于( )
A. 58°B. 48°C. 38°D. 28°
5.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，O为BC的中点，连接OD，OE，则∠DOE的度数为 ( )
A. 40°B. 45°C. 60°D. 65°
6.直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于( )
A. 4B. 4 5C. 4或4 5D. 4或2 5
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，AD是斜边BC上的中线．将△ACD沿AD翻折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于 ( )
A. 120°B. 108°C. 72°D. 36°
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，若CD=3，则AB=( )
A. 1B. 3.5C. 4D. 6
9.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D为边AC上一动点，O为BD的中点，DE⊥AB，垂足为E，连接OE，CO，延长CO交AB于点F，设∠BAC=α，则 ( )
A. ∠EOF=32αB. ∠EOF=2α
C. ∠EOF=180°−αD. ∠EOF=180°−2α
10.如图，在△ABC中，∠A=34°.分别以点A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E.过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F.若BD=CE，则∠BFC的度数为( )
A. 102°B. 107°C. 108°D. 124°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.
(1)如图①，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B=42°，则∠EPF的度数为 ．
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD.若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 ．
12.如图，在△ABC中，BD，CE分别为边AC，AB上的高．如果M是BC的中点，∠A=70°，那么∠EMD= ．
13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，D是直线AB上的一个动点，连接CD，将△CDB沿着CD翻折得到△CDE，当△CDE的三边与△ABC的三边有一组边垂直时，∠CDB= ______°.
14.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为_____．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知，在△ABC中，∠BAC=2∠B，E是AB上一点，AE=AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F．
(1)如图1，若∠BCE=30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若AD=4，求BC的长．
16.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DC // AB，AC平分∠BAD，∠DAB=30°.求证：AD=2BC．
17.(本小题8分)
经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．
(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB交AB于点D，求证：△ABC是“钻石三角形”．
(2)如图②，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，则Rt△ABC “钻石三角形”(填“是”或“不是”)；若是，则其“钻石分割线”必过顶点 (填“A”或“B”或“C”).若不是，请说明理由．
(3)在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，连接CM、CE，∠A=50°，∠ACE=30°.求证：CE=CM．
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P，Q分别是边AC，BC上的动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E.若点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C后停止运动；点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，点P，Q同时出发，设点P，Q运动的时间是t秒(t>0).当t为何值时，△APD和△QBE全等？
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=∠B，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF.求证：DE=DF．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】∵∠B=90∘，∠A=45∘，
∴∠ACB=45∘．
∵∠EDF=90∘，∠F=60∘，
∴∠DEF=30∘．
∵EF/​/BC，
∴∠EDC=∠DEF=30∘，
∴∠CED=∠ACB−∠EDC=45∘−30∘=15∘．
故选A
2.【答案】B
【解析】∵AC⊥CB，∴∠ACB=90∘，
∴∠ABC=90∘−∠BAC=90∘−35∘=55∘，
∵直线AB/​/CD，
∴∠BCD=∠ABC=55∘，
故选B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，直角三角形的概念及其性质等知识点．
根据题意证出ΔAEC≅ΔCDB，然后再进行解答即可．
【解答】
解：∵∠AC=90°，
∴∠ACE+∠DCB=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
在△AEC和△CDB中
∠CAE=∠DCB∠AEC=∠D=90°AC=BC，
∴ΔAEC≅ΔCDB，
∴AE=DC=7，CE=BD=2，
∴DE=CD−CE=5．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠B=52°，
∴∠A=38°．
故选：C．
根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数．
此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
5.【答案】C
【解析】提示：因为CE⊥AB，BD⊥AC，所以∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠BDC=90°.因为∠A=60°，所以∠ABD=∠ACE=30°，所以∠OCE+∠OBD=180°−∠A−∠ABD−∠ACE=60°.因为O是BC的中点，所以OE=OC=12BC，OD=OB=12BC，所以∠OEC=∠OCE，∠OBD=∠ODB，所以∠BOE=2∠OCE，∠COD=2∠OBD.所以∠BOE+∠COD=2∠OCE+2∠OBD=2(∠OCE+∠OBD)=2×60°=120°，所以∠DOE=60°．
6.【答案】D
【解析】【分析】先根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求其斜边上的中线，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．
【解答】解：①当4和8均为直角边时，斜边=4 5，则斜边上的中线=2 5；
②当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线=4．
故选：D．
【点评】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的综合运用．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
7.【答案】B
【解析】因为AD是斜边BC上的中线，所以AD=BD=CD，所以∠BAD=∠B=36°，所以∠ADC=∠B+∠BAD=72°.根据折叠的性质，得∠ADF=∠ADC=72°.所以∠BED=∠BAD+∠ADF=36°+72°=108°．
8.【答案】D
【解析】【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点．CD=3，
∴AB=2CD=2×3=6，
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】提示：设∠ABD=β，则∠ODC=∠ABD+∠A=β+α.因为DE⊥AB，所以∠BED=90°，所以∠BDE=90°−β.因为O为BD的中点，所以OE=12BD=OD，所以∠OED=∠ODE=90°−β.同理，得OC=OD，所以∠OCD=∠ODC=α+β.所以∠EOD=180°−2(90°−β)=2β，∠COD=180°−2(α+β)=180°−2α−2β.所以∠EOF=180°−∠EOD−∠COD=180°−2β−(180°−2α−2β)=2α．
10.【答案】B
【解析】略
11.【答案】【小题1】
96°
【小题2】
32°

【解析】1.
∵CE⊥BA，∠B=42°，∴∠BCE=48°.∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF=12AC=PC，PE=12AC=PC，∴∠PFC=∠PCF，∠PEC=∠PCE，∴∠EPF=2∠PCF+2∠PCE=2∠BCE=96°．
2.
∵∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，∴AE=BE=DE，∴∠BAE=∠ABE，∠DAE=∠ADE，∴∠BED=∠BAE+∠ABE+∠DAE+∠ADE=2∠BAD=116°．
∵DE=BE=12AC，∴∠EBD=∠EDB=12×180∘−116∘=32∘．
12.【答案】40°
【解析】略
13.【答案】30或45或60或75
【解析】解：当D点在线段AB上且CE⊥BC时，如图，
∴∠BCE=90°

由折叠可知：∠ECD=∠BCD=12∠ECB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CDB=∠BCD=45°；
当D点在线段AB上且DE⊥AC时，
由折叠的性质可得∠DCE=∠BCD=12(90°−30°)=30°，
∴∠CDB=90°−∠BCD=60°；
当点D在线段AB延长线上且AC⊥CE时，则∠BCE=90°−∠ACB=30°，
由折叠的性质可得∠BCD=∠ECD=12∠BCE=15°，
∴∠CDB=90°−∠BCD=75°；
当D点在线段AB延长线上且CD⊥AC时，如图，
∴∠ACD=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CDB=90°−30°=60°；
当D点在线段AB延长线上且CE⊥BC时，如图所示，
同理可得∠CDB=45°；
当D点在线段AB延长线上且DE⊥AC时，如图所示，
∴∠AED=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠ADE=90°−30°=60°；
∴由折叠的性质可得∠CDB=∠EDC=12∠ADE=30°；
综上所述，∠CDB的度数为30°或45°或60°或75°；
故答案为：30或45或60或75．
分当D点在线段AB上时，当点D在线段AB延长线上，两种情况当△CDE的三边与△ABC的三边有一组边垂直时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可．
本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键．
14.【答案】60°或10°
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．
当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】
解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC=90°时，
∵∠B=30°，
∴∠BCD=90°−30°=60°；
②如图2，当∠ACD=90°时，
∵∠A=50°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°−30°−50°=100°，
∴∠BCD=100°−90°=10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为60°或10°．
15.【答案】【小题1】
解：△ABC为直角三角形．理由如下：
∵AE=AC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠CDF=90°，∠BAC=2∠EAD=2∠CAD．
又∵∠BAC=2∠B，∴∠BAD=∠CAD=∠B．
∵∠BCE=30°，∠CDF=90°，∴∠AFC=90°−∠BCE=60°．
∴∠BAF=∠B=∠CAD=30°.∴∠BCA=90°．
∴△ABC为直角三角形．
【小题2】
如图，过点C作CG // AB交AD的延长线于点G．
则∠B=∠BCG，∠BAF=∠CAF=∠G，∴CA=CG．
又∵∠BAF=∠B，∴∠BCG=∠G．
∴CA=CG，FA=FB，FC=FG.∴AG=BC．
在△ACG中，CA=CG，AG⊥CD，
∴AG=2AD=2DG.∴BC=2AD=8．

【解析】1. 略
2. 略
16.【答案】证明：过D作DE⊥AB交AB于点E，
∵∠B=∠DEA=90°，
∴BC/​/DE，
∵DC/​/AB，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴BC=DE，
在Rt△ADE中，
∵∠DAB=30°，
∴AD=2DE，
∴AD=2BC．

【解析】本题主要考查直角三角形的性质，利用条件得出DE和BC的关系是解题的关键．过D作DE⊥AB交AB于点E，则可证得EBCD为平行四边形，可得DE=BC，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质可得出结论．
17.【答案】【小题1】
解：证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=12180∘−∠A=72∘.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=36∘.∴∠A=∠ACD.∴AD=CD.∴△ACD是等腰三角形．∵∠BDC=∠A+∠ACD=36°+36°=72°，∠B=72°，∴∠B=∠BDC.∴BC=CD.∴△BDC是等腰三角形．∴△ABC是“钻石三角形”．
【小题2】
是
B
【小题3】
∠B的度数为70°或40°或100°或10°．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
18.【答案】∵∠ACB=90°，M为边AB的中点，∴MC=MB，∴∠MCB=∠B.∵∠A=50°，∴∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°.∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM
【解析】略
19.【答案】解：∵PD⊥AB，QE⊥AB，∴∠ADP=∠QEB=90°.又∵∠C=90°，∴∠A+∠APD=∠A+∠B=90°.∴∠APD=∠B.∴当AP=QB时，△APD≌△QBE(AAS).①当0【解析】略
20.【答案】证明：连接CD.因为∠ACB=90°，D是AB的中点，所以CD=AD=DB=12AB，所以∠DCF=∠B.因为∠A=∠B，所以∠DCF=∠A，在△DAE和△DCF中，AD=CD,∠A=∠DCF,AE=CF,所以△DAE≌△DCF.所以DE=DF．
【解析】略