初中2.6 直角三角形优秀同步测试题

2.6直角三角形浙教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，在中，，，平分，点是的中点．若，则的长为  (    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，是的边上的中线，且，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D. 与的面积相等

3. 在中，，最短边，则最长边的长是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，为中点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是斜边上的高，将沿折叠，点恰好落在的中点处，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，直线，且于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点若中有两个角相等，则的度数为(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

10. 如图，在中，，点是的中点，将沿对折得，连接，连接交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，已知，，，，若；则______度．

12. 在中，，，，则斜边______．
13. 如图，已知中，，，沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为______．

14. 如图，在中，，为的中点，于点，，则的长度是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

15. 完成填空：
    如图，已知：在中，点是边上一点，过点作交于点，点为边上一点，连接、若，，求证：．
    证明：已知，
    ______两直线平行，内错角相等．
    已知，
    ____________等量代换．
    ____________同位角相等，两直线平行．
    ______两直线平行，同位角相等．
    又已知，
    等量代换．
    ______

16. 如图，在中，，点是边的中点，交于点，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图．
    在图中，过点作的垂线；
    在图中，过点作的平行线．
     

17. 定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
    如图，中，，平分．
    求证：为“奇妙三角形”
    若为“奇妙三角形”，且求证：是直角三角形；
    如图，中，平分，若为“奇妙三角形”，且，直接写出的度数．
     

18. 同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”
    请写出它的逆命题______；
    应用：若学校有一块三角形的绿地，，，求绿地的面积？

19. 已知，中，，，为中点，于，，求和的长．

20. 将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，．
    
    若，则的度数为______．
    若，则的度数为______．
    由猜想与的数量关系，并说明理由；
    当且点在直线的上方时，当这两块角尺有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值．
21. 已知：如图，在中，是边上的高，．

试说明；

如图，如果是角平分线，、相交于点那么与的大小相等吗？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出，求出的长度．由题意推出，然后在中，，即可推出的长度．
【解答】
解：，，
，
平分，
，
，
，
，
点是的中点，
，
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：是的边上的中线，且，
，故选项A正确，
，，
，
，
即，故选项C正确；
，
与是等底同高的两个三角形，
与的面积相等，故选项D正确；
无法判断的度数，故选项B错误；
故选：．
根据是的边上的中线，且，可以得到、和的关系，从而可以判断是否正确，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到的度数，从而可以得到的度数，即可判断是否正确，最后根据三角形面积的求法，可以判断是否正确；对于，由题目中的条件，无法判断角的度数，从而可以判断是否正确．
本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和是度、三角形的面积求法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

3.【答案】 

【解析】，
设，，，
，
解得，则，
，，
为直角三角形．
作出如图所示，取的中点，连结．

，
，为等边三角形，
，
，故选D．
 

4.【答案】 

【解析】解：点是的垂直平分线与边的交点，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，根据角的差可得，进而利用互余解答即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是根据角的差可得．
 

5.【答案】 

【解析】解：，为中点，，
，
由勾股定理得：，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．
先根据图形折叠的性质得出，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出，进而可判断出是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质即可得出结论．
【解答】
解：沿折叠，与重合，
则，
为中点，是直角三角形，
，
是等边三角形．
，
，
故选B．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质和直角三角形的性质，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；直角三角形中两锐角互余；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
过点作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，，可以得到，，由即可得出答案．
【解答】
解：过点作，

，
，
，，
在和中，，，
，，
，，
，
故的度数是，
故选D．  

8.【答案】 

【解析】，，
，
直线，
，
故选B．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
，，
设，则，，
由折叠可知：，，
当时，
，
，
，
解得不存在；
当时，
，
解得，
即；
当时，
，
，
，
解得，
即，
综上，或，
故选：．
由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解值，即可求解．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：

，点是的中点，
，
将沿对折得，
，
、、、在以为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
将沿对折得，
，
，
，，
在中，
，
，
故选：．
由，点是的中点，将沿对折得，可得，即知、、、在以为圆心，为半径的圆上，即可得，而，得，，在中，用勾股定理可得答案．
本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是证明，、、、在以为圆心，为半径的圆上．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据，，易证，于是，而，，可证，进而可求解．
本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：
在中，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
所以，
故答案为：．
根据含角的再见三角形性质求出，根据勾股定理得出方程，求出即可．
本题考查了含角的直角三角形性质和勾股定理，能根据含角的直角三角形性质得出是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，平分，
又，
可得

则．
故答案为．
本题给出了折叠要注意找准相等的量，题目利用折痕和角平分线的性质即可求得．
本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到是解决的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：为的中点，，
，
于点，，
，
故答案为：．
根据为的中点可求出的长，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半即可求出的长度．
本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

15.【答案】            垂直定义 

【解析】证明：已知，
两直线平行，内错角相等．
已知，
等量代换．
同位角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
又已知，
等量代换．
垂直定义．
故答案为：；；；；；；垂直定义．
根据平行证明，利用等量代换和平行线的判定证明，再根据平行线的性质得出解答即可．
本题主要考查平行线的性质和判定，掌握两直线平行的性质和判定是解题的关键，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
 

16.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

【解析】连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求；
延长交的延长线于点，连接，延长交于点，作直线即可，直线即为所求．
本题考查作图复杂作图，三角形的高，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】证明：平分，
．
在中，，
，
即，
为“奇妙三角形”．
证明：在中，，，
为“奇妙三角形”，或，
或，
当时，，是直角三角形．
当时，，是直角三角形．
由此证得，是直角三角形．
解：平分，
，
为“奇妙三角形”，
或，
当时，，
，
；
当时，，
，
；
综上得出：的度数为或． 

【解析】根据“奇妙三角形”的定义，在中，，即证明为“奇妙三角形”．
由三角形的内角和知，，由为“奇妙三角形”得出或两种情况，计算得或，从而证明是直角三角形．
由三角形的内角和知，，由为“奇妙三角形得出或两种情况，求得或．
本题是新定义题，能够找到“奇妙三角形”两个内角与满足，既能够判定“奇妙三角形”，又能利用其性质证明和计算角度．
 

18.【答案】在直角三角形中，如果一个锐角等于度，那么它所对的直角边等于斜边的一半 

【解析】解：逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，
故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
过点作交的延长线于点，

，，
，
，
，

根据逆命题的定义可求解；
过点作交的延长线于点，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求解，利用含角的直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查逆命题，含角的直角三角形性质的应用，构造含角的直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，，
；
为中点，
，
，
．
和的长分别为：，． 

【解析】根据含角的直角三角形性质求解的长，由中点的定义可求解的长，再利用斜边上的中线性质求出．
本题考查了角三角形斜边上的中线性质和含角的直角三角形的性质，能根据性质得出是解此题的关键．
 

20.【答案】；   ；
 猜想：
理由如下：
又

即；
、．
理由：当时，；
当时， 

【解析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
详解：，



故答案为：；
，


故答案为：；
根据以及，进行计算即可得出结论；
分种情况进行讨论：当时，当时，分别求得角度即可．
 

21.【答案】解：在中，是高，
，
，
，
， 
即；

相等．
理由是：是角平分线，
，
，，
，，
，
，
，
即．

【解析】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以求得的度数，从而可以解答本题；
根据题意和中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立．