2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第三节圆的方程

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第三节圆的方程，共12页。试卷主要包含了故选A，故选C等内容，欢迎下载使用。
1.掌握确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
【问题2】 所有的二元二次方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0都可以表示圆吗？
关键能力·题型剖析
题型一 圆的方程
例1 (1)若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y－3)2＝8
C．(x－3)2＋(y－6)2＝2
D．(x－3)2＋(y－6)2＝10
(2)[2024·江西吉安模拟]请写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程为________________．
题后师说
求圆的方程的两种方法
巩固训练1
(1)已知圆心为(－2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
(2)设圆C圆心在射线y＝x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－8x－6y＝0
B．x2＋y2－6x－8y＝0
C．x2＋y2＋8x＋6y＝0
D．x2＋y2＋6x＋8y＝0
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
题后师说
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
巩固训练2
(1)点P(1，0)，点Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x－)2＋y2＝1
B．x2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－)2＝1
D．(x－)2＋y2＝4
(2)[2024·湖南郴州模拟]已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为( )
A．(x－4)2＋(y－2)2＝16
B．(x－2)2＋(y－4)2＝11
C．(x－2)2＋(y－4)2＝16
D．(x－4)2＋(y－2)2＝11
题型三与圆有关的最值问题
角度一 利用几何意义求最值
例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求3x－y的最大值和最小值；
(2)求(x－3)2＋(y－1)2的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
题后师说
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
角度二 利用对称性求最值
例4已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1.圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B．－1
C．6－2 D．
题后师说
形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：
(1)减少动点的个数．
(2)“曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
角度三 建立函数关系求最值
例5已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
巩固训练3
(1)设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．6 B．25
C．26 D．36
(2)一束光线，从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是________．
1.圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2关于直线x－y＝0对称的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝2
2．已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，＋∞)
B．(－1，0)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
3．[2022·全国甲卷]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
4．[2022·全国乙卷]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．
第三节 圆的方程
问题思考·夯实技能
【问题1】 答案：圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径长．
圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径需要代数运算才能得出．
【问题2】 答案：不可以．只有二元二次方程的二次项系数A＝B≠0，D2＋E2－4AF>0才能表示圆．
关键能力·题型剖析
例1 解析：圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，
可得线段AB的中点为(3，4)，又kAB＝＝－1，
所以线段AB的中垂线的方程为y－4＝x－3，
即x－y＋1＝0，
由解得
即C(2，3)，圆C的半径r＝＝2，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.故选A.
解析：设O为直径的一个端点，O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2为圆的直径，
可知半径r＝，又若圆心(a，b)在直线y＝x上，且a2＋b2＝2，
解得a＝b＝1，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：A (2)(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)
巩固训练1 解析：根据题意知圆心为(－2，1)，半径为2，故圆的方程为：(x＋2)2＋(y－1)2＝4.故选B.
解析：因为圆心在射线y＝x(x≤0)上，故设圆心为(a，a)(a≤0)，
又半径为5，且经过坐标原点，所以 ＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，
即圆的圆心坐标为(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.故选C.
答案： B
答案：C
例2 解析：设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
又AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.故直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．故点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
巩固训练2 解析：设点M的坐标为M(x，y)，因为M点是线段PQ的中点，
可得Q(2x－1，2y)，点Q在圆上，
则(2x－1)2＋(2y)2＝4，即(x－)2＋y2＝1.故选A.
解析：因为AB中点为P，所以CP⊥AB，又|AB|＝6，所以|CP|＝ ＝4，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选C.
答案： A
答案：C
例3 解析：因为x2＋y2－4x－5＝0，即(x－2)2＋y2＝9，所以圆心为C(2，0)，半径r＝3，
令3x－y＝z，即3x－y－z＝0，则圆心到直线的距离d＝≤3，
所以6－3≤z≤6＋3，即3x－y的最大值为6＋3，最小值为6－3.
解析：(x－3)2＋(y－1)2表示圆上的点A(x，y)与点B(3，1)的距离的平方，
因为|BC|＝＝，
所以(r－|BC|)2≤|AB|2≤(r＋|BC|)2，即≤11＋6，
所以(x－3)2＋(y－1)2的最小值为11－6，最大值为11＋6.
解析：表示圆上的点A(x，y)与点D(－3，2)连线的斜率，
设过点D(－3，2)的直线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，
所以d＝≤3，即16k2＋20k－5≤0，解得≤k≤，
所以的最大值为，最小值为.
例4 解析：两圆的圆心均在第一象限，圆C1(2，3)，半径为1，圆C2(3，4)，半径为3.
作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5，
所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.故选A.
答案：A
例5 解析：＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
∵P(x，y)在圆上，
∴ ·＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，
∵2≤y≤4，∴·≤12.
答案：12
巩固训练3 解析： (x－5)2＋(y＋4)2表示圆C上的点到点(5，－4)的距离的平方，
∵圆C(x－2)2＋y2＝1的圆心C(2，0)，半径为1，
圆心C到点(5，－4)的距离为＝5，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(5＋1)2＝36.故选D.
解析：由圆C的方程可得圆心坐标C(3，3)，半径r＝1，设A点关于x轴对称点A′(－2，2)，连接A′C交x轴于Q点，交圆C于P点，则A′P为所求的最短距离，证明如下：
任取x轴上一点Q，则|AQ|＋|QP|＝|A′Q|＋|QP|≥|A′P|，
当且仅当A′，Q，P三点共线时取等号，
所以|A′P|＝|A′C|－r＝－1＝5－1.
答案： D (2)5－1
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1．解析：由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，可知圆心坐标为(1，2)，半径为，
因为点(1，2)关于直线y＝x的对称点为(2，1)，
所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2关于直线x－y＝0对称的圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝2，故选C.
答案：C
2．解析：因为点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，
所以解得a∈(－1，0)
故选C.
答案：C
3．解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a)．由点(3，0)，(0，1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝＝，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
4．解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)．(1)若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝ ＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组解得则半径r＝ ＝，所以圆的方程为＋＝.(4)若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组解得则半径r＝＝，所以圆的方程为＋(y－1)2＝.
答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13[或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－)2＋(y－)2＝或(x－)2＋(y－1)2＝]