高中数学压轴题小题专项训练专题44圆锥曲线与三角形四心问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题44圆锥曲线与三角形四心问题含解析答案，共79页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆，为的左、右焦点，为上一点，且的内心为，若的面积为，则的值为（ ）
A．B．3C．D．6
2．已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线：，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，为平面上一点，为的重心，则的面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且与轴不垂直，在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．与大小不确定
8．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则所在直线的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．3
9．已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．与的取值有关
10．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线：（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A．B．C．D．3
14．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率( )
A．B．C．D．2
15．设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
16．已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为( )
A．B．
C．D．
18．已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（ ）
A．1B．C．D．
19．已知双曲线 的右焦点为，以坐标原点为圆心、为 半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（ ）
A．B．
C．D．
20．已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．如图，，等边的边长为2，M为BC中点，G为的重心，B，C分别在射线OP，OQ上运动，记M的轨迹为，G的轨迹为，则（ ）
A．为部分圆，为部分椭圆
B．为部分圆，为线段
C．为部分椭圆，为线段
D．为部分椭圆，也为部分椭圆
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A．B．C．D．
23．若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则
D．不存在点，使得取得最小值
24．设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
25．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（ ）
A．点的中点在轴上
B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上
C．当的垂心在抛物线上时，
D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形
26．设，为椭圆C：的两个焦点，P为C上一点且，I为的内心，则下列正确的是（ ）
A．内切圆半径为1
B．
C．若点，，则
D．若直线l与椭圆C交于M，N两点，则存在以为线段MN的中点，且直线l的方程为
27．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
28．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两个动点，且三点不共线，抛物线在两点处的切线分别为在上的射影点分别为，则（ ）
A．点关于的对称点在上B．点在上
C．点为的外心D．
29．已知椭圆：的左右焦点为，，若为椭圆上一动点，记的内心为，外心为，重心为，且内切圆的半径为，外接圆的半径为，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．为定值D．的最小值为2
30．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当轴时，B．离心率
C．D．点I的横坐标为定值a
31．已知分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的半径为R，内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，G为的重心，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．r为定值B．
C．的最大值为D．直线IG的倾斜角不变
32．已知点为抛物线的准线与轴的交点，分别为上不同两点（其中在第一象限），为抛物线的焦点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则中点横坐标的最小值为4
B．若三点共线，且，则直线的斜率为
C．若三点共线，且，则直线的斜率为
D．若三点共线，且的外接圆与的交点为（异于），则的重心在轴上
33．设分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，的内心为，则下列结论正确的是（ ）
A．若为正三角形，则双曲线的离心率为
B．若直线交双曲线的左支于点，则
C．若为垂足，则
D．的内心一定在直线上
34．已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率是
C．的最小值为D．的值为
35．双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A．点、均在直线上B．直线的方程为
C．D．
三、填空题
36．椭圆C：1的焦距为 ，直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆的下顶点为A，左焦点恰好是△AMN的重心，则直线l的方程是 ．
37．在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设经过点的直线交椭圆于，两点，点．设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，则实数的值 ．
38．已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点， 直线交椭圆于两点，当为的垂心时，则的面积为 ．
39．已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为 .
40．F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为 .
41．已知分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限.记直线的斜率分别为，当取得最小值时，的垂心到轴的距离为 ．
42．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合．设抛物线C：的焦点为F，过点的直线交C于A，B两点，且，若C在A，B处的切线交于点P，Q为的外心，则的面积为 ．
43．已知直线交椭圆 于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是 ．
44．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为 ．
45．已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则 ．
46．,分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，满足，若的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为 .
47．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当 时，外心的横坐标最大．
48．已知双曲线的左、右焦点分别为，、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线的标准方程为 ；若直线与双曲线的右支交于两点，设的内心为，则与的面积的比值的取值范围是 .
49．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为
50．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．则椭圆C的方程为 ；
51．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上结论正确的是 .
52．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ．
53．若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为 ．
54．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为 ．
55．已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点P处的切线，若三角形的内心为点M，直线与直线交于N点，则点横坐标之差为 ．
56．已知抛物线，焦点，在准线上的投影为，抛物线上有一点，的重心为，则直线的斜率最大值是 ．此时，若圆与直线相切， ．
57．抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则 ．
58．已知内接于抛物线，其中O为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则的外接圆方程为 .
59．已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为的垂心，则直线的方程为 .
60．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，点B为的内心，直线PB交x轴于点A，且，则双曲线C的渐近线方程为 ．
61．已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．D
【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式即可求的值.
【详解】由题意得，的内心到轴的距离
等于内切圆的半径，即为的纵坐标，即为，
因为为上的一点，
所以,
即，
又因为，所以，
，
整理得，解得（舍）或，
所以，
所以，
所以，即，解得.
故选：D.
2．B
【解析】由双曲线的性质可得点，，设点，则，再由基本不等式可得，进而可得点，即可求得重心坐标.
【详解】由题意点，，
设点，
则，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，解得，所以点，
则重心坐标为即．
故选：B.
【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.
3．C
【分析】设出直线方程联立曲线可得与纵坐标有关韦达定理，由重心的性质可得，结合点到直线的距离公式与弦长公式可得的范围，即可得的面积的取值范围.
【详解】由：，则焦点坐标为，
设，、，
联立，得，，
则，，
由为的重心，则有，
点到直线的距离为，
则
，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助为的重心，得到，从而可通过计算的取值范围得到的面积的取值范围.
4．D
【解析】作出圆锥曲线的大致图像，利用抛物线的焦点到渐近线的距离等于到的距离，列方程即可求解.
【详解】作出双曲线与抛物线的大致图像，
如图：
双曲线的渐近线方程为：，即，
联立，解得或，
当时，则，
所以焦点到的距离为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，整理可得，
即，整理可得，
两边同除以可得，
，
又，即，解得.
故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查了考生的计算能力，属于中档题.
5．B
【分析】过点作，垂足为点，设线段交抛物线于点，求出点的坐标，设点，则，由已知可得出，求出的值，可得出点的坐标，利用抛物线的定义可求得的值.
【详解】过点作，垂足为点，设线段交抛物线于点，易知点，
将代入，可得，不妨取点，
设点，则，则，，
由已知可得，即，
因为点与点不重合，则，从而，则点，
因此，.
故选：B.
6．B
【分析】根据的椭圆上一点，且恒成立，不妨设点P为上顶点，再根据为为重心，由求解.
【详解】因为的椭圆上一点，且恒成立，
不妨设点P为上顶点，如图所示：
因为为为重心，
所以，
而，
即，
所以，
所以，
所以，
即，
解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
7．B
【分析】作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.
【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：

因为是的内心，设内切圆的半径为，
所以，所以，所以，
又因为是的重心，所以，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.
8．C
【分析】由已知可得直线的斜率，利用抛物线定义将用表示，再由，得出关系，再由为的重心，求出，即可求解.
【详解】由题意知，
带入得，
即．由为的重心，
则有，
即，即，所以，
因此有．故所在直线的斜率.
故选：C．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形重心公式，抛物线定义的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.
9．B
【详解】试题分析：因为，所以，所以，即，所以，故选B．
考点：1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．
10．A
【分析】由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．
【详解】椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），
∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为 G（，），
∵，则∥，∴I的纵坐标为，
又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，
∴=•|F1F2|•|y0|，
又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，
内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，
∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，
即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，
∴该椭圆的离心率，
故选：A．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
11．C
【解析】如图所示，过点作，垂足为点，计算，，得到，的方程为，联立方程得到，，根据重心公式计算得到答案.
【详解】如图所示，过点作，垂足为点，
因为，反射光线的倾斜角为，所以，，
可得，，即点，.
将点代入（）中，得，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为，直线的方程为.
设点，，联立消去得，
显然，故.
又因为，所以.
设的重心坐标为，
所以，，
所以的重心坐标为，
故选：C.
【点睛】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系、三角形的重心坐标公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12．D
【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得，即，同理可得，从而可得，再由，可得，设直线的倾斜角为，在和中，分别将,用表示代入即可求出直线的斜率，再结合直线与双曲线右支交于两点，即可求出，进而可求出离心率的取值范围.
【详解】不妨设直线的斜率大于0．如图:
连接．，，设的内切圆与三边分别切于点，，，则
，
所以，即，同理可得，所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
在中，，
又，所以，
即，解得，
所以，即直线的斜率为，
由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，
所以.
故选:D
【点睛】本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题.
13．C
【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.
【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.
故选：C.
14．C
【分析】联立方程，计算出A，B的坐标，为△OAB的垂心，∴ 计算得到答案.
【详解】双曲线的渐近线为.
由得.由得.
∵为△OAB的垂心，.
即，解得，∴，即可得.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，将垂心转化为斜率相乘为-1是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
15．C
【分析】根据，得到，，然后由等面积法由，结合，解得，再利用距离公式得到，进而得到A的坐标，代入双曲线方程求解即可.
【详解】如图所示：
因为，
所以，
所以，，
所以，
又，
解得，
设，，
所以，
.
所以，
解得，
所以，代入双曲线方程得：，
解得，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查双曲线的第一定义和焦半径公式以及内切圆的应用，离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.
16．B
【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，根据θ∈(60∘,90∘]，将表示为θ的三角函数可求得范围.
【详解】解：设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
17．A
【分析】根据内心及重心的性质，可知点距轴的距离为，再利用等面积法建立关于与的等式，再利用点在椭圆C上可求解.
【详解】设点距轴的距离为，因为，则点距轴的距离为，连接，则，
，
所以，所以，
所以椭圆方程为．
故选：A
18．D
【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，的重心的纵坐标，再表示出、的垂直平分线方程，从而求出，即可得解.
【详解】设，，显然，直线的方程为，
由整理得，显然，所以，，
所以，所以的重心的纵坐标，
又的外心既在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，
又的垂直平分线方程为
整理得，
同理可得的垂直平分线方程为，
则，解得，
即外心的纵坐标，所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．B
【分析】根据为垂心，且得到，利用渐近线的斜率为和得到，，然后利用余弦的二倍角公式列等式得到，构造函数，利用单调性和零点存在性定理确定的范围.
【详解】
连接交于，由题意知，，，，，，
在中，，，，所以，，
因为，，所以，
，，所以，整理得，即，整理得，
设，，则，对称轴为，所以在单调递增，又，所以当时，，即在上单调递增，又，，所以.
故选：B.
【点睛】方法点点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
20．A
【分析】根据圆的切线长相等的性质，结合双曲线定义可求得两内切圆与轴均相切于点，由∽可求得，结合双曲线渐近线斜率可确定直线倾斜角的范围，结合可求得的范围；由对勾函数单调性可确定所求面积之和的取值范围.
【详解】
由双曲线方程得：，，则，
设内切圆与三边相切于点，
，，，
，
又，，，
设，则，解得：，即；
同理可知：内切圆与轴相切于点；
分别为的角平分线，，
又，∽，则，
设内切圆半径分别为，
，，即，
，
双曲线的渐近线斜率，直线的倾斜角，
，则，
，解得：，
又在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线中三角形面积相关问题的求解，解题关键是能够利用相似三角形的知识求得两内切圆半径之间满足的等量关系，从而将所求面积之和转化为关于一个变量的函数的形式，利用函数单调性求得结果.
21．C
【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点的轨迹方程，由此得为部分椭圆；过点作与轴垂直的直线分别交于点，交于点，得等边，由平面几何可得是等边的外心，由此可得点的轨迹为轴在曲线内的一段线段.
【详解】以为原点，以的角平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示.
依题意得直线的方程为，直线的方程为.
设点，，由得（*），
设点，因为是的中点，所以即.
将其代入（*）得，即，故的轨迹为椭圆在内部的部分.
过点作与轴垂直的直线分别交于点，交于点，则显然也是等边三角形.
下面证明等边的重心即等边的外心.
设，则，又，且，所以，因此.
在和中，，又，所以，则，同理可证，即点是等边的外心，所以，点在轴上移动，故点的轨迹为轴在曲线内的一段线段.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键.
22．A
【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.
【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，

设点，，则，
因为为的重心，所以，
因为轴，所以点横坐标也为，，
因为为的角平分线，
则有，
又因为，所以可得，
又由角平分线的性质可得，，而
所以得，
所以，，
所以，即，
因为
即，解得，所以答案为A.
【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：
（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.
（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.
23．C
【分析】根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.
【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；
设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，
由双曲线的定义可得：，即，
又，解得，则的横坐标为，
由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；
由且，解得：，
∴，则，
∴，同理可得：，
设直线，直线，联立方程得，
设△的内切圆的半径为，则，解得，即，
∴，
由，可得，解得，故， C正确；
若与关于y轴对称，则且，而，
∴，故要使的最小，只需三点共线即可，
易知：，故存在使得取最小值，D错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值．
24．C
【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，
将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，
由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，
即可得斜率的取值范围，解出即可.
【详解】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标；
（2）根据中点坐标建立等式：，；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将，及代入等式中即可得出关系.
25．AC
【分析】设点，可得出，利用中点坐标公式可判断A选项；假设的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上，判断直线与抛物线的位置关系可判断B选项；设垂心为，其中，根据求出的值，再利用三角形的面积公式可判断C选项；利用C选项中的结论可判断D选项.
【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为，
设点，则点，所以，线段的中点为，A对；
对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形，
因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上，
，则直线的方程为，
联立可得，则，
所以，直线与抛物线相切，B错；
对于C选项，设点为第一象限内的点，
若的垂心在抛物线上时，设点，其中，
将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点，
由题意可知，、、三点共线，，，
由可得，整理可得，解得，
所以，，即点，所以，，，C对；
对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则，
此时，为直角三角形，D错.
故选：AC.
26．BC
【分析】利用等面积法求出内切圆半径，可判断选项A，利用圆的切线相关知识可判断B，
直接求出，值，得到两者关系，可判断C，利用点在椭圆外，所以不存在满足条件的直线，可判断D.
【详解】由椭圆C：，可知，，
所以，，
因为，所以，
对于选项A，由余弦定理可得，
即，
因为，，，
所以，所以，
所以
设内切圆半径为，
由，
所以，
又因为，
所以，故选项A错误；
对于选项B，如图：
设内切圆与三边的切点为，，，
则有，，，
因为，，
所以，
所以，
因为，，所以，
在直角中，由，
由选项A可知，，
所以，即，故选项B正确；
对于选项C，
由选项A可知，，
又因为，则，
因为，所以，
代入可得，
因为，，
当时，，，
由选项B可知，，
所以，故，
由，所以，故，
当时，，，
，，
由，所以，故，
综上，故选项C正确；
对于选项D，
因为在椭圆外，所以不存在以为线段MN的中点的直线，
故选项D不正确.
故选：BC.
27．ABD
【分析】设，分别与两条渐近线和轴联立求出的坐标，求出、、，再分类讨论重心、垂心和外心，并根据重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半列式求出的关系，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】设，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若为重心、为外心、为垂心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得不成立；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心，为垂心、为外心，则，
，化简得，此时双曲线的离心率；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得或，
此时双曲线的离心率或，
若为重心，为垂心、为外心，则，
所以，化简得或都不成立.
综上所述：或或或.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是得到的等量关系，求出三个交点坐标后，分类讨论重心、垂心和外心，根据重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半可得所要的等量关系..
28．AC
【分析】根据抛物线的光学性质及定义知，从而的垂直平分线为，的垂直平分线为，即可判断选项AC，再利用三点共线时，得到点在上和判断CD.
【详解】
如图：由抛物线定义知，，，根据抛物线的光学性质知：
从F发出的光线经抛物线的反射光线AD、BC与y轴平行，
又抛物线在两点处的切线分别为，
结合平行线性质及对顶角相等得，
即的垂直平分线为，的垂直平分线为，
所以，，所以点为的外心，故选项C正确；
点关于的对称点在上，故选项A正确；
假设三点共线，设，，直线AB方程为，
因为，即，所以，所以，，
所以的方程分别为，，
即，，
联立，所以，所以，
则
，所以，
说明三点共线时，点才落在，因为三点不共线，
所以点不在上，所以选项B错误；
当三点共线时，，
当时，直线AB方程为，直线FT方程为，此时，
当时，，此时，
故只有三点共线时，才有，因为三点不共线，所以与不垂直，故选项D错误.
故选：AC
【点睛】结论点睛：抛物线的切线相关结论：抛物线C：的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线相交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，则点G在抛物线的准线上，且GF⊥AB.
29．ACD
【分析】利用基本不等式求出的取值范围，再由余弦定理求出，即可判断A；利用分析可得，求出面积的最大值，可判断B；根据题意，由椭圆的定义，结合平面向量数量积的运算，即可判断C，利用正弦定理得到，即可得到，结合A ，即可判断D.
【详解】对于A：在椭圆中，，，则，即点、，
由椭圆的定义可得，，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以
，
又，所以，即的最大值为，故A正确；
对于B：，
当点为椭圆的短轴的顶点时，取最大值，
，即的最大值为，故B错误；
对于C：
如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，又，分别为的重心和内心．
则，，，
所以，
所以
，
即为定值，故C正确；
对于D：，所以，
又，所以，
则
，所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题解得的关键是由基本不等式求出的范围，对于C主要是数量积的定义及平面几何的相关知识.
30．BCD
【分析】当轴时，由，得；由可得求出离心率；设的内切圆半径为，由，，用的边长和表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出；由切线的性质面积和双曲线的定义可得I的横坐标．
【详解】当轴时，，
此时，所以A错误；
∵，∴，
整理得（为双曲线的离心率），
∵，∴，所以B正确.
设的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得，，
，，，
∵，
∴，
故，所以C正确.
设内切圆与、、的切点分别为M、N、T，
可得，.
由，
，
可得，可得T的坐标为，
即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；
故选BCD.

【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简运算能力和推理能力，属于中档题．
31．BCD
【分析】设，对于A：利用等面积法求得，即可判断；对于B：利用内切圆的性质结合椭圆定义分析判断；对于C：，结合解三角形的相关知识可得，，结合椭圆性质分析判断；对于D：根据题意可得，，结合角平分线的性质可得，即可得，再求点G的坐标即可判断.
【详解】由题意可知：，
则，
设，则，
对于选项A：因为的面积，
又因为，可得，
由于不是定值，所以不r为定值，故A错误；
对于选项B：因为，分别是，的角平分线，
由角平分线定理可得，
所以，故B正确；
对于选项C：设，
由正弦定理可得：，即
由余弦定理可得：
，
即，整理得，
则，解得，
可得，
又因为当在短轴的端点时，最大，最小，
此时，，
可得，则，
所以的最大值为，故C正确；
对于选项D：因为在椭圆上，
可得，即，
则，
又因为，可得，，
由选项B可知，则，
又因为，可得，
则，即，
由，可得点的坐标为，
由重心坐标公式可知点的坐标为，
即直线与x轴垂直，倾斜角为，是定值，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用:在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
32．ACD
【分析】对A根据抛物线定义结合梯形中位线性质即可判断；CD选项采用设线法联立抛物线方程得到得到韦达定理式，将B选项垂直转化为向量点乘为0，将C选项的斜之比转化为纵坐标之比，D选项设出该圆方程将其与抛物线方程联立得到一元三次方程，利用因式分解得到纵坐标之和为0即可判断.
【详解】依题意得，，所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为，
对于A选项，设线段的中点为，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
根据梯形中位线性质和抛物线定义可得，
当且仅当三点共线时，等号成立，而，则，
即中点横坐标的最小值为4，所以A选项正确；
对于B选项，直线斜率不为零，设直线的方程为，
由得，则，解得，
所以，因为，所以，
所以
，解得（满足，
所以直线的方程为或.
又在第一象限，则直线的斜率为，所以B选项不正确；
对于C选项，设直线的方程为，联立，
消去得，，
由题意得，则，所以，则，
又由题意，所以，直线的方程为，所以C选项正确；
对于D选项，设，因为四点共圆，
设该圆的方程为，联立
消去得，即，
所以即为关于的方程的3个根，
则，
因为，
由的系数对应相等得，，所以的重心的纵坐标为0，即重心在轴上，所以D选项正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是采用设线法联立抛物线方程得到韦达定理，然后利用解出直线中的参数，C选项的关键是将斜之比转化为纵坐标之比.
33．ABC
【分析】A：利用等边三角形性质以及双曲线定义得到关系式，则离心率可知；B：利用双曲线的对称性以及三角形的全等关系进行证明；C：根据角平分线的性质结合双曲线的定义求解出；D：利用切线性质以及双曲线的定义进行求解.
【详解】对于A：若为正三角形，则轴，
由得，所以，
由等边三角形性质可知：，所以，
所以，所以，所以，故A正确；
对于B：由双曲线的对称性可知，如下图，
又因为，所以与全等，
所以，所以，故B正确；
对于C：延长交延长线于，如下图所示，
由角平分线的性质可知，且，
所以与全等，所以，所以为中点，
又因为为中点，所以，故C正确；
对于D：设三个切点为，连接，如下图，
由切线性质可知：，
设，因为，
所以，所以，
所以的内心一定在直线上，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线性质的综合运用，涉及离心率、双曲线的对称性、焦点三角形的内切圆相关问题，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较大.其中CD选项在分析时，不仅要考虑内切圆的性质，同时需要考虑双曲线的定义，二者结合解决问题.
34．ACD
【分析】对于A，利用椭圆与抛物线的对称性得到，从而将代入抛物线方程得到，进而得以判断；对于B，将代入椭圆的方程得到，由此得以判断；对于C，利用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性质，结合比例的性质即可判断.
【详解】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，，
因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，
所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，，
因为四边形是菱形，所以的中点是的中点，
所以由中点坐标公式得，则，
将代入抛物线方程得，，
所以，则，所以，故A正确；
对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得，
化简得，则，故，所以，故B错误；
对于C，由选项B得，所以，则，
所以，不妨设，则，且，
所以，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，连接和，如图，
因为的内心为，所以为的平分线，则有，
同理：，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得，从而求得的值，由此得解.
35．ABD
【分析】由切线长定理和双曲线定义即可判断选项A；利用点到直线的距离公式可分别求出点，到直线的距离，再用两点间距离公式求出，从而可判断选项B；根据的关系可判断选项C；借助B的结果求出点的横坐标，进而可得选项D.
【详解】由双曲线得，
设的内切圆与分别切于点，
则,
所以，
又,所以,即圆与轴的切点是双曲线的右顶点，即在直线上，
同理可得圆与轴的切点也是双曲线的右顶点，即也在直线上，故选项A正确；
因为点在双曲线上，所以，
点到直线的距离，
点到直线的距离
所以，
又，
所以，即，
又因为为的平分线，
所以直线的方程为，故选项B正确；
设圆与切于点，连接，设，
因为,所以,所以，即，所以，
又，所以，即，所以，故选项C错误；
由B知的方程为，①
设，同理得的方程为，②
由①②得，③
因为，所以设的方程为，
因为在上，所以，代入③得
，所以在直线上，
所以到的距离为，
又到的距离为，
所以,故选项D正确；
故选：ABD.
36． 4 3x﹣2y+11＝0．
【分析】设直线 的方程为：，．根据左焦点恰好是△的重心，可得 , 化简利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．
【详解】由椭圆C：1，得.
所以焦距为：.
又，设直线的方程为：,
由椭圆的左焦点恰好是△的重心，可得.
则，
由有
所以
又M，N两点在直线l上，所以M，N两点的中点在直线l上.
则
所以，即
所以
直线的方程为：，即
故答案为：4，
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、三角形的重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
37．/0.2．
【分析】设直线的方程为，代入椭圆的方程，结合韦达定理表示出，再结合条件即可算得结果.
【详解】设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去，得
．
∵直线交椭圆于两点，∴，解得．
设，则有．
设中点为，则有，
∵，∴，即．
解得．
由，解得．
∵点为的外心，且，∴．
由消去，得，∴也是此方程的两个根．
∴
又∵，∴，解得．
∴．
故答案为:
38．
【分析】设直线方程为并代入椭圆方程，由，根据韦达定理求出参数，再结合三角形面积公式即可求出结果．
【详解】∵为的垂心，∴
又因为，∴，
设直线方程为，联立
得，
可得，即，且可得，
∵，∴，
即
解得或，
当时，三点共线（舍去），∴，此时，
，点到直线的距离．
∴．
故答案为：
39．16.
【分析】由已知可得两曲线焦点相同，设，利用椭圆和双曲线的定义求出，用利用两点间的距离公式求出点的横坐标，因为为中点，△ABC的外心在轴上，将，代入所求式，即可求解.
【详解】已知椭圆和双曲线
焦距相等所以焦点相同，设，
为两曲线在第二象限的交点，，
，，
设，，
，
，因为为中点，
△ABC的外心在轴上，，
【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.
40．
【分析】设为内切圆圆心，用、表示出，，根据列方程得出，的关系即可得出离心率．
【详解】解：，．
的外接圆半径为，
的内切圆的半径为．
设的内切圆的圆心为，过作轴的垂线，连接，，则，
设，，则，①
不妨设在第一象限，由双曲线的定义可知，②
由①②可得，，
，且，分别是，的角平分线，
，
又，，
，化简可得，故，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．
41．
【分析】易证，利用基本不等式求解取最小值时，进而得的方程为，与双曲线联立解得的坐标为由，得=0，向量坐标化解得y即可
【详解】易证，则，当且仅当，即时，等号成立，此时直线的方程为，与联立，得，解得或（舍去），则的坐标为，设的垂心的坐标为，由，得，解得，则到轴的距离为.
故答案为2
【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题
42．108
【分析】设直线l：，联立抛物线方程，韦达定理，由得，利用弦长公式求出，利用抛物线的光学性质及圆的性质知是等腰直角三角形，从而求出面积.
【详解】如图，
易知C的焦点为，显然当x轴时，AF不垂直于BF，设过点的直线l的斜率为k（）．则l：，将代入，得，即.设，，则，，又，，所以，所以，
即，
所以，即，解得，
所以，设PA，PB与x轴正方向的夹角分别为，
由抛物线的光学性质可知，，故，
且由圆的性质可知，所以是等腰直角三角形，其中，故.
故答案为：108.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.
43．
【分析】结合重心坐标公式推导出弦中点坐标，可设，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程
【详解】由题可知，，，设，
由重心坐标得，
所以弦的中点坐标为，即，
又在椭圆上，故，
作差得
将中点坐标代入得，所以直线的方程为：，
即
故答案为：
【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题
44．或
【分析】设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.
【详解】∵过点且斜率不为0，
∴可设的方程为，设，，
由得
∴，，
∴，
又∵，∴，即，
∴，
令，解得
∴直线的方程为或．
故答案为：或．
45．
【分析】设出A,B,F点的坐标，由重心坐标公式得到，，利用抛物线的定义得到，再利用弦长公式得到|AB|,进行整理即可得答案.
【详解】设点A,B,焦点F(1,0),的重心坐标为,
由重心坐标公式可得,，即， ，
由抛物线的定义可得,
由点在抛物线上可得，作差，
化简得，
代入弦长公式得|AB|=，
则，
故答案为
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的定义和弦长公式以及三角形重心坐标公式的应用，属于中档题.
46．
【分析】根据判断出三角形为直角三角形.利用勾股定理和双曲线的定义列方程并化简，根据直角三角形内切圆半径公式求得内切圆半径，根据内切圆半径和外接圆半径的比列方程，解方程求得双曲线离心率.
【详解】∵，∴，即为直角三角形，∴，
，则，.所以内切圆半径
，外接圆半径，由题意，得，整理，得，∴双曲线的离心率.
【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.
47．
【分析】由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．
【详解】如图，

由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，
即在直线，也就是在直线上，
联立，得或，
的中点坐标为，
则的垂直平分线方程为，
把代入上式，得，
当的外心的横坐标取最大值时，必有，
令，则，
由，得（舍）或．
当时，，当时，.
当时，函数取极大值，亦为最大值．
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．
48．
【分析】设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，进而结合题意得，进而结合即可求得双曲线方程，再根据三角形内切圆的性质得为的内切圆与边的切点，进而将问题转化为，最后联立方程，求解弦长的范围即可得答案.
【详解】解：设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
由得，，
所以，，解得或（舍）
所以，，即，
因为，
所以，即双曲线的标准方程为；
由得，故直线过点，
所以，如图，设的内切圆与分别切于点，
则，，
由双曲线的定义得，
所以，即，
所以，点重合，即为的内切圆与边的切点，
所以，为的内切圆半径，
因为，
所以，
设，
联立方程得，
所以，且，即，
，即
所以，
所以，
故与的面积的比值的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合内切圆的性质得到为的内切圆与边的切点，进而根据面积公式求解即可.
49．
【详解】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.
50．
【分析】设，，由的垂心为，可得，则有，将坐标代入化简可求出，再由在椭圆上，代入椭圆方程结合，可可求出，从而可得椭圆方程.
【详解】设，．
由的垂心为，得．
所以，
化简得，解得．
由点在椭圆上，得，
结合，解得，．
所以椭圆的方程为．
故答案为：.
51．①③⑤
【分析】设直线方程，可求出三个交点，结合条件列出等式进而可得a,b的关系式，即可判断.
【详解】设直线l的方程为，
令x=0，可得y=t，设直线l与y轴的交点，
双曲线的渐近线方程为，
与直线y=x+t联立，可得，
由三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
当A，B，C依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=2b，；
当A，C，B依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=－2b不成立；
当B，A，C依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为b=3a，；
当C，A，B依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为b=－3a不成立；
当C，B，A依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=5b，；
当B，C，A依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=－5b不成立.
故答案为：①③⑤.
52．
【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解．
【详解】由题，，所以．
如图，
连接，设内切圆半径为，
则，即，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，熟悉离心率公式即可，第二问的关键是利用数形结合，由结合椭圆定义、三角形的面积公式即可顺利求解.
53．
【分析】利用代入法，根据三角形垂心的性质，结合平面向量数量积的性质和坐标表示公式进行求解即可.
【详解】把代入中，得，即，
假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，
设，显然直线的斜率为，
则直线的斜率为，设直线的方程是，
由，消去化简得：
，即∵的垂心为，
∴即
，或
当时，直线的方程是，过点，不合题意，舍去，
∴存在这样的直线，其方程是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据三角形垂心的性质，结合平面向量数量积的性质是解题的关键.
54．
【分析】由题知，则可设的方程为，后将直线方程与椭圆方程联立，利用及韦达定理可得答案.
【详解】易知，，直线的斜率为，因椭圆的右焦点恰好为的垂心，则，从而直线的斜率为2．
设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有，
消去y得：．
由，得，设，，
由韦达定理有：，．
右焦点恰好为的垂心，故．
又，则
.解得或．
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意；
当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．故直线的方程为．
故答案为：.
55．
【分析】由题意写出明确两曲线的焦点，可求得P点坐标，进而求出P点处的切线方程，利用圆的切线性质结合双曲线几何性质求出三角形内切圆圆心的横坐标，再表示出直线的方程，联立解得N点横坐标，即可求得答案.
【详解】由题意得，，为曲线的左、右焦点，
点P为曲线与曲线在第一象限的交点，即C、E有相同的焦点，
则，联立，消去，得，
又，可得，
对于椭圆，设为椭圆上一点，令，
则椭圆化为圆，则对应点即为，
由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为，
故可得椭圆在处的切线方程为，
故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限，
则，可得直线方程为①，
设三角形内切圆半径为，由等面积得，
，则 ②，
又P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图：
由圆的切线性质得，则，
即，即M点横坐标为1，
由，可得直线的方程为③ ，
联立①②③，化简可得，又，故.
故答案为：
56． /
【分析】设，由重心坐标公式可得，则，可知当时，可取得最大值，利用基本不等式可求得最大值为；由此可得直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得的值.
【详解】由题意得：，，
设，则，则；
当时，；当时，；
当时，（当且仅当，即时取等号），
直线的斜率最大值为；
直线，即；
由圆的方程知：圆心，半径，
圆心到直线距离，解得：.
故答案为：
57．
【分析】作出辅助线，由正弦定理得到，根据椭圆定义得到，从而求出焦点坐标为，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到在点的切线为：，求出，结合，得到是首项16，公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答案.
【详解】焦点在轴上，故椭圆的焦点在轴上，
故，
I是的内心，连接，则平分，
在中，由正弦定理得①，
在，由正弦定理得②，
其中，故，
又，
式子①与②相除得，故，
同理可得，
，
由椭圆定义可知，，
，即焦点坐标为，
所以抛物线方程为，
，故在处的切线方程为，
即，又，故，
所以在点的切线为：，
令，又，即，
所以是首项16，公比的等比数列，
．
故答案为：．
【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程；
当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.
58．
【分析】由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于﹣1即可求得直线MN的方程，即可求出点C的坐标，问题得以解决．
【详解】∵抛物线关于x轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点，
∴另两个顶点A，B关于x轴对称，即△ABO是等腰三角形，
作AO的中垂线MN，交x轴与C点，而Ox是AB的中垂线，
故C点即为△ABO的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，
设A（x1，2），B（x1，﹣2），连接BF，则BF⊥AO，
∵kBF，kAO，
∴kBF•kAO＝•1，
整理，得x1（x1﹣5）＝0，
则x1＝5，（x1＝0不合题意，舍去），
∵AO的中点为（，），且MN∥BF，
∴直线MN的方程为y（x），
当x1＝5代入得2x+4y﹣90，
∵C是MN与x轴的交点，
∴C（，0），
而△ABO的外接圆的半径OC，
于是得到三角形外接圆方程为（x）2+y2＝（）2，
△OAB的外接圆方程为：x2﹣9x+y2＝0，
故答案为x2﹣9x+y2＝0．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题
59．
【分析】设PQ直线y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
【详解】上顶点，右焦点F为垂心
因为＝﹣1，且FM⊥l，
所以k1＝1，
所以设PQ直线y＝x+m，
且设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由
消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0
△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．
y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．
又F为△MPQ的垂心，
∴PF⊥MQ，∴
又
∴
∴，
∴
经检验满足m2＜3
∴存在满足条件直线l方程为：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0
∵x﹣y+1＝0过M点 即MP重合 不构成三角形，
∴3x﹣3y﹣4＝0满足题意．
故答案为
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查垂心的几何性质，考查韦达定理的应用，属于中档题.
60．或
【分析】设内切圆与的三边分别相切于三点，过P作轴，根据双曲线定义和，求得点横坐标为，进而求得直线的方程为，得到，根据，求得，在中，利用余弦定理列出方程求得，得到，进而求得双曲线C的渐近线方程．
【详解】如图所示，设内切圆与的三边分别相切于三点，
过P作轴于M点，因为，，，
又由双曲线定义得，即，由，故，即点横坐标为，
因为直线的斜率为，所以，，
又因为，所以，故直线的方程为，令，可得，即，
因为，且，所以，故，
可得，，
在中，由余弦定理得，
即，化简得，
即，解得，或（舍去），所以，
故双曲线C的渐近线方程为或．
故答案为：或．
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线的几何性质问题的方法与策略：
1、涉及圆锥曲线的定义问题时：圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将距离进行等量转化，因此，涉及圆锥曲线上的点和曲线的焦点时，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化，这样就可以使问题简单化．
2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.
61．
【分析】①将点代入方程中求出，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围
【详解】①由双曲线C：过点，所以
所以方程为
②如图：
设的内切圆与分别切于，
所以，
所以，
又，所以，
又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，
设直线的倾斜角为.则，，
，
当时，，
当时，由题知，...
因为两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，
∴.且，，
综上所述，.
故①答案为：;
【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出，的内切圆与轴同时切于双曲线的右顶点,并将用直线的倾斜角表示出来是解题关键.