高中数学压轴题小题专项训练专题29数列的综合问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题29数列的综合问题含解析答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的公差不为0，设，若，，，数列为等比数列，则下列选项中一定是数列中的项是（ ）
A．B．C．D．
3．设数列满足，令，则数列的前100项和为（ ）
A．B．C．D．
4．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时B．13小时C．17小时D．19小时
5．甲､乙两企业每年缴纳的地税逐年增加，并且甲企业的年增长数相同，乙企业的年增长率相同．若这两家企业在2003年和2009年所缴地税分别相同，则它们在2015年企业缴纳地税的情况是（ ）
A．甲多B．乙多C．一样多D．不能确定
6．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，，记集合，若集合M的子集个数为16，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，其前n项和为，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ）
A．当时，数列单调递减B．当时，数列单调递增
C．当时，数列单调递减D．当时，数列单调递增
二、填空题
9．等差数列中，，，等比数列中，，，则满足的最小正整数是 .
10．等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为 ．
11．已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则 .
12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记作数列，若数列的前n项和为，则 ．
13．数列的首项，且，令，则 ．
14．已知数列的前项和为，且，.设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前40项和为 .
15．将公差不为零的等差数列，，调整顺序后构成一个新的等比数列，，，其中，则该等比数列的公比为 ．
16．已知数列为公差不为零的等差数列，且中的项组成的数列恰为等比数列，其中，则 .
17．牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数的零点时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列的递推关系为：是曲线在点处的切线在轴上的截距，其中.
（1）若，并取，则的通项公式为 ；
（2）若取，且为单调递减的等比数列，则可能为 .
18．已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则 .
19．已知等比数列的首项，且，记的前项和为，前项积为，则当不等式成立时，的最大值为 ．
20．已知数列的通项公式是.在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列.那么 .按此进行下去，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，则 .
21．已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则 ．
22．结绳记事是人类最早跟数列打交道的一种朴素方式，人类所认识并应用于生活､生产的第一个数列便是自然数列.现有数列满足：第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记为数列的前项和，则 ；当时，若存在，使得，则的最小值为 .
参考答案：
1．D
【分析】根据，，成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为，，，
由题意得，
解得，
所以，
则，
则.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2．C
【分析】根据题意计算得到，，，依次判断每个选项是否满足得到答案.
【详解】根据题意知：，，，数列为等比数列，故，
故，化简得到，
故，.
，无整数解，排除；
，无整数解，排除；
，，满足；
，无整数解，排除；
故选：.
【点睛】，
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列知识的灵活运用.
3．B
【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得.
【详解】数列满足，
于是数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，
因此，显然的周期为4，
则
，
令，则有，数列是等差数列，
数列的前100项和，即数列的前25项和.
故选：B.
【点睛】思路点睛：呈周期性的数列求和问题，先按周期求出片段和，再借助等差数列等求和公式求解即得答案.
4．B
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a，
则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为，
故选：B.
5．B
【分析】由题意可知甲､乙两企业每年缴纳的地税分别构成等差数列和等比数列,不妨设两家企业都从2001年开始缴税,则有,,再以此判断的大小关系即可.
【详解】记甲､乙两企业每年缴纳的地税分别构成数列,
则为等差数列,其公差,为等比数列,其公比,
不妨设两家企业都从2001年开始缴税,
则根据题意有:,,
即,
所以,
所以
即,
故选:B.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列在实际问题中的应用,解题关键是识别题中的数列模型,需要学生具备一定的计算和分析能力.
6．C
【分析】由已知求出，，然后研究的单调性求解即可．
【详解】解：设等差数列的公差为d，
因为等差数列的前n项和为
所以 ，即，
又，所以，
又数列满足，所以数列为等比数列，公比，首项为，
所以，得，
所以，设，令，得，
即，，又集合M的子集个数为16，
所以M只有4个元素，
即不等式只有4个解，
又，
所以，
故选：C．
7．D
【分析】由数列递推式，整理构造出等差数列，求得通项，再利用错位相减法求得，最后代入不等式求解即得.
【详解】因为，
所以．
两边同乘得，，
又因为，即，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则．
则，
，
两式相减得，，
，
所以，
则由可得，，
解得，则n的最小值为11．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解题关键在于，对于已知的数列递推式，发现其特征，通过等价变形，将其转化为等差或等比数列的形式，有时从数列定义，有时是通过等差（比）中项的角度推得，对于通项具备“等差×等比”型的数列，考虑用错位相减法求和即得.
8．D
【分析】根据数列的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.
【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为，
由题意，得，
时，，有，，数列单调递增，A选项错误；
时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误；
时，，解得，
时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误；
时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列的通项，根据的定义求得通项，再讨论单调性.
9．6
【分析】由求出公差，即可写出的通项公式，再求出等比数列的公比及通项公式，代入不等式中化简，由指数函数的单调性求解不等式即可.
【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
，则，，
所以，，，
因为，所以，化简得，解得，
满足条件的最小正整数的值为6.
故答案为：6
【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量的求解，涉及利用指数函数单调性求解不等式，属于基础题.
10．4
【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．
【详解】∵成等比数列，a1=1，
∴=，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
Sn=n+×2=n2．
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
11．
【解析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，是小于1的正有理数，通过验证的方法可以求解.
【详解】解：由已知，
，
∵
∴，
且，∴，
∴，
又q为小于1的正有理数，
∴是一个完全平方数，
可得或或或，则（舍）或或（舍）或（舍）
∴.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查运算能力，是一道中档题．
12．
【分析】根据杨辉三角的特点，求得前数列中前项的分布情况，再根据等比数列前项和的求解方法进行计算即可.
【详解】根据题意，为杨辉三角的第三行中去除后的数，共1个，
为杨辉三角的第四行去除后的数，共2个，
为杨辉三角第五行去除后的数，共3个，，
故可设去除后，杨辉三角从第)行开始，共有个数在数列中，
则前行共有个数，
又当时，，时，，
故中包括了杨辉三角从第3行开始至第12行去除1后所有的数，以及第13行去除1后的第一个数，
故
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据去除后杨辉三角每一行在数列中的数据个数构成等差数列，从而判断数列中数据的分布，进而根据等比数列的前项和公式进行求解.
13．
【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前n项和．
【详解】因为
所以
所以 且
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列
所以 即
代入得
设数列的前n项和为
则
则
【点睛】本题考查了数列的综合应用，关键是构造出数列，并求得数列的通项公式，等差数列求和的应用也是重点，属于中档题．
14．973
【分析】当时，，解得；当 时，由，得，两式相减，结合等比数列的通项公式可得，进而得到，数列的前40项和是由数列 的前45项去掉数列 的前5项后构成的，利用求和公式即可得出结论．
【详解】当时，，解得；
当 时，由，得，
两式相减，得，即，
，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
因此，，即 是数列 中的第项，
，，
数列的前40项和是由数列 的前45项去掉数列 的前5项后构成的，
数列 的前40项和为
．
故答案为：973．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列公共项问题，关键是求出 是数列 中的第项.
15．或
【分析】设等差数列的公差为 ，分别利用，为等比中项得到公差与首项的等量关系，再运用定义求新数列的公比，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
则，，或，，不成等比数列；
（1）若，，或，，成等比数列，则，即，
解得，
此时等比数列，，的公比为，等比数列，，的公比为；
（2）若，，或，，成等比数列，则，即，
解得，
此时等比数列，，的公比为，等比数列，，的公比为．
综上可得，等比数列的公比为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中分别利用，为等比中项得到公差与首项的等量关系，再运用定义求新数列的公比是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
16．
【分析】运用等差（比）数列的定义分别求得，然后列方程求得，再由数列的求和方法：分组求和，运用等比数列的求和公式可得所求和．
【详解】解：设的首项为，公差为
因为，，，，恰为等比数列，
其中，，，
则
，
得，公比，
，又，
，
.
故答案为：．
17． （答案不唯一）
【分析】（1）根据题意求出曲线在点处切线的方程，可得数列是等差数列，进而求得通项公式；
（2）由题意，可得，结合为单调递减的等比数列，所以函数满足，且即可.
【详解】（1）根据题意，，，且，
所以曲线在点处切线的方程为，
令，得，即，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
所以（）.
（2）根据题意，曲线在点处切线的方程为，
令，得，则，
因为为单调递减的等比数列，且，设其公比为，
则，所以，所以，
则，所以，
即函数满足，且即可.
如，则，
所以，，所以，符合题意.
故答案为：（）；（答案不唯一）.
18．
【分析】设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得．
【详解】解：设等差数列的公差为，则，
由已知，
即，得，
于是，在等比数列中，
公比．
由为数列的第项，知；
由为数列的第项，知，
，
故.
故答案为．
【点睛】该题考查的是有关等差数列与等比数列的综合问题，属于中档题目，在解题的过程中，需要对等差数列的通项公式与等比数列的通项公式熟练掌握，并且要注意三项成等差数列的条件，得出等差数列的首项与公差的条件，从而确定出所得的等比数列的项的特点，进一步求得结果，从而求得等比数列的项的特点，得到的关系，从而求得结果，在做题的过程中，如果分析不到位，很容易出错.
19．19
【分析】由等比数列的通项公式、前项和公式及等差数列前项和公式，结合不等式成立问题，分类讨论思想即可求解．
【详解】设等比数列的公比为．
由，得，解得，
所以，
则．
由，得，即．
整理得，．
令，解得．
又，所以．
当时，，不等式不成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，所以，不等式不成立．
故当不等式成立时，的最大值为19．
故答案为：19．
20． 21
【分析】由的通项得出，，由，，，成等差数列，利用等差数列性质列式求解即可得出，若，，，…，，成等差数列，设其公差为，则可得出，，结合等差数列前项和得出，设，利用错位相减法得出，将原式分组即可结合等比数列前项和并代入得出答案.
【详解】由，，，
，，，成等差数列，
，且公差为，
，，
在和之间插入个数，，…，，
使，，，…，，成等差数列，设其公差为，
此数列首项为，末项为，
则，，
则，
设，
则，
则，
则，
，
则，
，
，
故答案为：21；.
21．573
【分析】求出通项公式和第100项，进而求出数列的通项公式和前项和公式，利用错位相减法即可得出的值.
【详解】解析：由数列是等差数列，设其公差为，因为成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以，则．
当时，，
即，共有个，
因为，所以
，
令，则，
两式相减得，则，
所以，
故答案为：573.
【点睛】关键点点睛：对的理解，当时，，即，共有个，应用错位相减法求解.
22．
【分析】利用得出数列的求和公式，判断出前10项的和为前4组的和，进而求得的值，假设前项的和为前项的和，由已知得，转化为为的整数幂，得到应该被消去，由此可知加上组的部分项，求得满足题意的的最小值，即可求得的最小值，最后利用，求得的最小值，即可求解.
【详解】由数列满足：第一组为，第二组为，，第组为，
则前组中共有项，
令，可得，所以数列前4组中共有10项，
所以，
当时，可得，
若前项的和为前项的和，可得：
，
由已知得，整理得，
由此可得为的整数幂，其中为的整数幂，则应该被消去，
所以若前项和应再加上组的部分项，
设应加上组的前项时，被消去，
即，可得，
则为等式的成立的最小值，此时，
所以
，
所以，所以的最小值为，
则的最小值为.
故答案为：；.