高中数学压轴题小题专项训练专题36平面向量与三角形四心问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题36平面向量与三角形四心问题含解析答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
2．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．内心B．垂心C．重心D．边的中点
3．已知三个不共线的向量满足，则为的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
4．是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
6．已知是所在平面内一点，且满足，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
7．点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上的三个顶点，，分别是边，的对角.有以下五个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则，的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．已知是平面上不共线的三点，是的重心(三条中线的交点)，边的中点为.动点满足，则点一定为的（ ）
A．线段的中点B．线段靠近的四等分点
C．重心D．线段靠近的三等分点
9．在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
10．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
11．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．B．的最大值为6
C．D．满足的点有一个
12．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
13．已知是平面上一定点，﹑﹑是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
14．中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．1B．C．3D．5
15．已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
16．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
17．已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
18．如图，在的边上作匀速运动的三个点P，S，R，当时，分别从A，B，C出发，当时，恰好同时到达．那么这个运动过程中的定点是的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
二、多选题
19．在所在平面内，点满足，其中，m，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AP一定经过的重心
B．当时，直线AP一定经过的外心
C．当，时，直线AP一经过的垂心
D．当，时，直线AP一定经过的内心
三、填空题
20．已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为 .
21．由三角形内心的定义可得：若点为内心，则存在实数，使得.在中，，若点为内心，且满足，则的最大值为 .
22．已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的 （填三角形的四心）
23．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
24．下列命题：
①若，，，为锐角，则实数的取值范围是；
②若非零向量，且，则为等边三角形；
③若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时，；
④已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点一定通过的重心；
⑤如果内接于半径为的圆，且，则的面积的最大值为.
其中正确的序号为 ．
参考答案：
1．A
【分析】设D是BC的中点，由，，知，所以点P的轨迹是射线AD，故点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
【详解】如图，设D是BC的中点，
∵，
，
∴，
即
∴点P的轨迹是射线AD，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．D
【分析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过边的中点.
【详解】取的中点D，连接，则，
∵，
∴，
则，即
∴P，C，D三点共线，
因为，所以，
于是点P的轨迹一定经过边的中点．
故选：D.
3．A
【分析】根据题意和向量加法的平行四边形法则作出几何图形，得到四边形是菱形，根据菱形性质可得在的角平分线上，从而可得出为内心．
【详解】如图所示，在上取点，在延长线上取点，使得，
可得，以为邻边作平行四边形，
则,
因为，所以平行四边形是菱形，所以，
过点作的平行线交于点，
因为，即，所以，所以点在上，
因为，所以，
由菱形的性质可得，所以，
所以为的角平分线，所以在的角平分线上，
同理可得：在的角平分线上，故在的角平分线上，
所以为的内心.
故选：A.
4．D
【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论.
【详解】因为，则，所以，，
同理可得，，故是的垂心.
故选：D.
5．B
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解.
【详解】依题意，，
，
，
则，于是，
所以是的外心.
故选：B
6．B
【分析】根据向量的运算法则将原式变为，分析出与角的角平分线共线即可得解.
【详解】由题：
即：，
，
因为与角的角平分线共线，
所以与角的角平分线共线，
所以与角的角平分线共线，即点在的角平分线上，
同理可得点在的角平分线上，
所以点是的内心.
故选：B
【点睛】此题考查利用平面向量解决三角形四心的问题，熟练掌握三角形四心的向量表达形式便于快速解题.
7．C
【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误．
【详解】①当动点P满足时，则点P是的重心，所以①不正确；
②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，
所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③变形为，而，表示点A到边的距离，
设为，所以，而表示边的中线向量，
所以表示边的中线向量，因此的重心一定在满足条件的P点集合中，
所以③正确；
④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
正确答案序号为②③．
故选：C
8．D
【分析】根据重心的性质，结合平面向量的线性运算化简求解即可.
【详解】由是的重心，得，，
则，
所以点为的线段靠近的三等分点.
故选：D
9．B
【分析】延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论.
【详解】解：延长AC，使得AC=CD，
则，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等腰三角形，
所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，
直线AM一定经过的内心.
故选：B.
10．D
【分析】计算的值，可得出结论.
【详解】因为，
，
，因此，点的轨迹经过的垂心，
故选：D.
11．B
【分析】A选项，得到为等边三角形，根据投影向量的概念进行求解；B选项，作出辅助线，数形结合得到当点与点重合时，取得最大值，利用投影向量的概念求出最大值；C选项，作出辅助线，数形结合得到；D选项，考虑其中一个向量为零向量及垂直关系得到点有2个.
【详解】A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形，
取的中点，连接，则⊥，
由数量积公式及投影向量可得，A错误；

B选项，过点作平行于，交圆与点，
过点作⊥，交延长线于点，连接，
则四边形为菱形，
由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值，
此时，
故的最大值为，B正确；
C选项，，
因为四边形为菱形，所以，且，
因为为定值，
故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为，
当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为，

故，C错误；
D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，，
又当⊥时，满足，
故满足的点有2个，D错误.
故选：B
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
12．B
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
13．C
【分析】将提取出来, 转化成,
而表示与共线的向量, 点是的中点, 故的轨迹一定通过三角形的重心.
【详解】
设
而
表示与共线的向量
而点是的中点, 所以的轨迹一定通过三角形的重心.
故选：C
14．C
【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得的代数式，进而求得其最大值.
【详解】过点作、，垂足分别为、，
如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点，
在中，，
所以，即，
即，
，
同理，
则
，
由正弦定理得，
当且仅当时取“=”，
所以的最大值为.
故选：C.
15．A
【分析】利用正弦定理及向量的线性运算可判断.
【详解】在中，令线段的中点为，由正弦定理，
得，由，
得
即，而，
则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，
即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，
动点的轨迹一定经过的重心．
故选：A.
16．B
【分析】设的中点为，两端同时点乘，由可得答案.
【详解】设的中点为，
因为，
所以，
即，两端同时点乘，
所以
，
所以，
所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.
故选：B.
17．B
【分析】将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解.
【详解】因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
【点睛】本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题.
18．D
【分析】D选项，设G为的重心，则，利用边长比例关系和向量基本定理得到，故G为的重心，得到D正确；ABC可举出反例.
【详解】D选项，依题意知，
设G为的重心，则，
即，故，
其中
，
故，所以G为的重心，故重心为定点，D正确；
ABC选项，假设为等腰直角三角形，秒后运动到，恰好为三边的中点，
作出的角平分线，则的内心一定在上，作出的角平分线，
由于四边形为平行四边形，不为菱形，故与不重合，所以内心不会重合，不是定点，A错误；
则的外心为，的外心为，故外心不是定点，B错误；
的垂心为，的垂心为，故垂心不是定点，C错误；
故选：D
19．AC
【分析】对于A，点为的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，作于，则，再利用中线的性质分析判断.
【详解】对于A，因为，，所以，
设点为的中点，所以，
所以，所以直线AP一定经过的重心，所以A正确，

对于B，当时，，
因为为与同方向的单位向量，为与同方向的单位向量，
所以平分，
所以直线AP一定经过的内心，所以B错误，
对于C，当，时，，
所以
，
所以，所以直线AP一经过的垂心，所以C正确，
对于D， 当，时，，
作于，则， ，
所以，
所以直线AP一定经过的重心，所以D错误，
故选：AC

20．24
【分析】取相应的中点，根据题意结合极化恒等式可得，分析可知E，F在以O为圆心，为半径的圆上，即可得结果.
【详解】如图：

分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF．
又，所以由极化恒等式得
，，
所以
.
连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，
由，，得，
所以E，F在以O为圆心，为半径的圆上，所以EF的最大值为，
所以的最大值为24.
故答案为：24.
【点睛】结论点睛：极化恒等式：在中，若为中点，则.
21．
【分析】设，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答即可.
【详解】延长交于，
设与圆相切于点，与圆相切于点，如图所示，
则，，设，且.
因为、、三点共线，所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
22．外心、重心、垂心
【分析】由结合外接圆的性质得出O是外接圆的圆心，取中点，利用向量运算确定为三边中线的交点，从而判断为重心，由得出，即，再由判断是三角形的垂心.
【详解】由题：，所以O是外接圆的圆心
取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心
，，，
即，同理可得，即P是三角形的垂心.
故答案为：外心、重心、垂心
【点睛】方法点睛：1、是的重心；2、是的外心；3、是的垂心
23．
【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.
【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，
又，
则，所以，
两式相加可得，化简可得，
又，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值.
24．②④⑤
【分析】由为锐角，则且不共线，列式求解可判断①；由条件可知的角平分线与垂直，为等腰三角形，又，所以，即可判断②；，利用二次函数的性质求解可判断③；记BC中点为E，则，故与共线，而直线AE过的重心，即可判断④；由条件结合正弦定理得，可得角C，由余弦定理结合基本不等式可得，进而由三角形面积公式求解可判断⑤.
【详解】对于①，由，
得，，
因为为锐角，故且不共线，
所以，解得且，故①错误；
对于②，因为非零向量，所以的角平分线与垂直，
为等腰三角形，又，
又，所以，所以为等边三角形，故②正确；
对于③，，
当时，取得最小值，故③错误；
对于④，已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，
记BC中点为E，则，则，故与共线，
而直线AE过的重心，故动点P一定通过的重心，故④正确；
对于⑤，∵，
∴根据正弦定理，得，可得，
∴，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为，
∵，∴由余弦定理，
可得，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，即面积的最大值为，故⑤正确.
故答案为：②④⑤.