高中数学压轴题小题专项训练专题32平面向量的线性运算的最值问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题32平面向量的线性运算的最值问题含解析答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．定义域为的函数的图象的两个端点为､，是的图象上任意一点，其中，()，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”.若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（ ）
A．B．2C．4D．8
3．已知，为平面内两个不共线的向量，满足，，，则与的夹角的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．平面内有向量满足，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
7．已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
8．已知向量、垂直，且，若，则的最小值为（ ）
A．34B．26C．24D．14
9．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．1D．
10．若圆上的两个动点满足，点在直线上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．已知中，，，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知，，．若，则的最小值为（ ）
A．0B．C．1D．
13．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
14．已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 .
15．如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为
16．已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 ．
17．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .

18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，P为内一点．若点P满足，且，则的最大值为 ．
19．已知直线：与直线：相交于点，动点，在圆：上，且，则的取值范围是 .
20．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 .
21．如图，已知直线是之间的一个定点，点到的距离分别为是直线上一个动点，过点作，交直线于点，平面内动点满足，则面积的最小值是 .
22．平面向量，，满足，（且），则的取值范围是 .
23．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
参考答案：
1．A
【分析】由题意易知点，的横坐标相等，恒成立，即，将恒成立问题转化为函数的最值问题，进而求解.
【详解】由题意知，点，的横坐标相等，由恒成立，即，
因为向量，所以点､､三点共线.
由在线段上，得，，
因此的方程为，
由图象可知：，，
故选：A.
【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
2．C
【分析】在三角形中利用数形结合构造关于不等式，解之即可求得的最大值
【详解】以向量与为两边作△，，，
则
则在△中，即，
则，当且仅当即时等号成立.
故选：C
3．C
【分析】设，，，可得，借助余弦定理表示出，求得，借助，即可求得的范围，即可求解.
【详解】
如图设，，并设，；
，；
由题意：，
由余弦定理：，
，
∴
即，
两边同时平方，整理得：，
再一次两边平方得：，
由于，；
由于，所以；
∴，，
故与的夹角的最小值是.
故选：C．
4．B
【分析】用几何图形表示向量和向量的线性运算，构造相似三角形，表示出，利用三点共线求最小值.
【详解】，则有，如图，，
，
延长至，使得，
，，则有，得，
.
当三点共线且在线段上时，的最小值是.
故选：B
5．D
【分析】利用平面向量共线定理的推论得到的关系，进而利用均值定理即可求得的最小值
【详解】由三点共线，可得存在实数t，使
又由三点共线，可得存在实数m，使得
则，解之得，则
又，()，
则，由三点共线，可得
则
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为
故选：D
6．A
【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，由等和线性质可知，，从而可求出实数的取值范围.
【详解】解：设，则，且，
所以，即，
因为，
所以，
由等和线性质得，解得.
故选:A.
【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积运算，考查了等和线性质.本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量.
7．C
【分析】由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值.
【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，取得最小值，即
故选：C
8．B
【分析】取点，使得，在取一动点，设，转化为，过点作，使得点与关于对称，结合三点共线，即可求解.
【详解】如图所示，在直角中，由已知得，
在上取点，使得，
在取一动点，设，
则，
过点作，取，则点与关于对称，
所以，
当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
9．A
【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，如下图示：，又，，
∴，由三点共线，有，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值.
10．B
【分析】设的中点为，根据弦长，求出点与原点的距离为，从而求出点的轨迹方程，再由向量的运算求出，所以求的最小值即为求的最小值，根据圆与直线的关系即可求解.
【详解】由可知圆心为坐标原点，半径为，因为，所以圆心到直线的距离，设的中点为，则，所以点在以原点为圆心，以为半径的圆上，所以点的轨迹方程为，
，又为的中点，所以，
所以，圆心到的距离为，所以，所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查圆的概念，以及圆与直线的位置关系，涉及到向量的运算，解题的关键是1、会根据定义求圆的方程，2、能将圆上点到直线的距离转化成圆心到直线的距离，考查学生转化思想和综合运用能力.
11．D
【分析】根据已知可得到的距离为2，为等腰直角三角形，若为的两个四等分点，为中点，在线段上运动，且，数形结合求的取值范围.
【详解】由，结合向量加法法则知：到的距离为2，
又，则，所以，故为等腰直角三角形，
由，则，所以共线，
又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，

所以在线段上运动，且，，，
由图：若，则，又，此时，
故上述情况，易知，
由图知：与重合时，，
综上，的取值范围为.
故选：D
12．D
【分析】根据给定条件，画出图形，确定点C的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答.
【详解】令，依题意，，而，则，
因，则有点C在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图，

因，则表示直线上的点Q与直线上的点P间距离，、分别是点C到点Q，P的距离，
因此，表示三点Q，P，C两两距离的和，
作点C关于直线OA对称点N，关于直线OB对称点M，连MN交OA，OB分别于点F，E，连FC，EC，ON，OM，
则有，令，则，，
于是得，而，
由余弦定理得，
因此，，
对于直线上任意点Q、直线上任意点P，连接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，
则，，当且仅当点Q与F重合且点P与点E重合时取“=”，
从而得，
所以的最小值为.
故选：D
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.
13．B
【分析】根据向量共线定理推论得，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为
因为点在线段上（不含端点），所以
当且仅当时取等号，
故选：B
【点睛】本题考查向量共线定理推论、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属较难题.
14．
【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解.
【详解】令，
所以
如图，

所以点A的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则，
又因为，所以点C在直线上，故时，的值最小，
当情况下，直线与相切时最大，取最大，
此时，，
故答案为：.
15．
【分析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）,求出端点G,H对应的即可求解.
【详解】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：
则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）
当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题.
16．/0.75
【分析】延长交于，令结合向量共线的推论得到，数形结合判断取最大值时的形状，进而求其最大值.
【详解】如图所示，延长交于，

令，
∵，，三点共线，
∴，
∴取最大值时，取最大值，则，
∵为外接圆的半径（定值），
∴当取得最小时，取最大值，此时，
∴为等腰三角形，且，
∴，则，，，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：延长交于，令结合向量知识，将问题化为求的最大值，数形结合进一步化为求最小值为关键.
17．
【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
又，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
由图可知，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为.

故答案为：
【点睛】方法点睛：利用基本不等式求式子的最值，要注意一正、二定、三相等，正表示用基本不等式的，定表示用基本不等式后得到的需是定值，这个定值才是最值，三相等是指等号成立的条件是要存在.
18．
【分析】由三角形内心的性质与半角公式求解
【详解】由，得，
即，
整理可得，
故点P在的平分线上，同理可得点P在的平分线上，
所以点P为的内心．
如图，延长，交于点D，过点P作，，垂足分别为E，F，

设，，
由，得，
由D，A，C三点共线得，
所以．
因为，所以，
代入得，当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为．
19．
【分析】根据，所过定点以及二者垂直确定点P的轨迹方程，再根据动点，在圆：上，且，确定AB的中点E的轨迹方程，结合，以及两圆上两点间的距离范围，即可求得答案.
【详解】由直线：与直线：，
知，所以直线与直线垂直，
直线：即，故过定点，
：即，
故过定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，
该圆圆心为，半径为，
即点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以点的轨迹方程是，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
取的中点，连接，则，
所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
所以，
而，且，
即圆与点的轨迹外离；
则，即，
所以的取值范围是，
故答案为：
20．6
【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论.
【详解】设为的重心，
则，
因为，所以，
即在以点为圆心，为半径的圆上面，
设点与坐标原点重合，
则，
当且仅当都在线段上，等号成立，
又，
当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立，
综上所述，的最大值与最小值之和为6.
故答案为：6.
21．
【分析】取的中点的中点，先由平面向量运算得到；表示出，再由几何关系得到，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.
【详解】由，得.
取的中点的中点，有，
则.
设，由于，，而，
则，由，，得，
则，当且仅当，即时取等号，
此时的面积的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量和基本不等式的计算. 取的中点的中点，先由平面向量运算得到；表示出，再由几何关系得到，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.
22．
【分析】把向量，，，置于单位圆中，找到，再转化为代数关系，分类讨论.
【详解】如图，单位圆中，，，，，
根据向量加法的平行四边形法则：且；且；
，，
，即重合，，且，所以.
又，，
当，不共线时，有，又，.
得，
当，共线时，，，
若，，得，，
；
，
若，

综上：的范围是
故答案为：
【点睛】利用平面几何知识寻找向量之间的关系，再把向量关系转换成代数关系，是处理向量问题常用方法，此题为难题,
23．
【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论．
【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图，
，
所以三点共线，
又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设，
由得，，公用，因此，
所以，
中，设，由正弦定理得，记为角，
所以，，，
所以
，
若不是钝角，则
，
又，所以，即，
所以，
设，则，，它是减函数，
所以时，，
若是钝角，则
，
设，则，，
令，则，
，
时，，递减，时，递增，
所以时，，，
综上，，
此时．
故答案为：3．
【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）．