2023-2024学年吉林省四平市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年吉林省四平市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. 若 a2=−a，则a<0B. a4b8=a2b4
C. 若 a2=a，则a>0D. 5的平方根是 5
2.化简|x−y|− x2(xA. y=y−2xB. yC. 2x−yD. −y
3.下列各式中，一定能成立的是( )
A. (−2.5)2=( 2.5)2B. a2=( a)2
C. x2−2x+1=x−1D. x2−9= x−3⋅ x+3
4.若x+y=0，则下列各式不成立的是( )
A. x2−y2=0B. 3x+3y=0C. x2− y2=0D. x+ y=0
5.下列各组数中，是勾股数的为( )
A. 1，1，2B. 1.5，2，2.5C. 7，24，25D. 6，12，13
6.如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是( )
A. 15尺B. 16尺C. 17尺D. 18尺
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.若 x−5不是二次根式，则x的取值范围是______.
8.若一个长方体的长为2 6cm，宽为 3cm，高为 2cm，则它的体积为______cm3.
9.若 3的整数部分是a，小数部分是b，则 3a−b=______.
10.已知a，b，c为三角形的三边，则 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=______.
11.将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是______.
12.若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为______.
13.一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为__________.
14.已知平行四边形ABCD中，∠B+∠D=270∘，则∠C=______.
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：2 2−1+ 18−4 12.
16.(本小题5分)
已知x=2 3−1，求x2−x+1的值．
17.(本小题5分)
已知：y= 1−8x+ 8x−1+12，求代数式4x+y的值．
18.(本小题5分)
在数轴上作出表示 17的点．
19.(本小题7分)
如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2 5，BC= 5，画出△ABC，并判断△ABC是不是直角三角形．
20.(本小题7分)
在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)
21.(本小题7分)
如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.
(1)写出图中所有的全等三角形；
(2)求证：BE=DF.
22.(本小题7分)
如图，矩形ABCD中，点E在CD边的延长线上，且∠EAD=∠CAD.
求证：AE=BD.
23.(本小题8分)
阅读下面问题：11+ 2=1×( 2−1)( 2+1)( 2−1)= 2−1；1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；1 5+2= 5−2( 5+2)( 5−2)= 5−2.
试求：(1)1 7+ 6的值；
(2)13 2+ 17的值；
(3)1 n+1+ n(n为正整数)的值．
24.(本小题8分)
已知，AD是△ABC的中线，过点C作CE//DA.
(1)如图1，DE//BA交AC于点F，连接AE.求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)P是线段AD上一点(不与点A，D重合)，PE//BA交AC于点F，交CE于点E，连接AE.如图2，四边形ABPE是平行四边形吗？请说明理由.
25.(本小题10分)
已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地(客货车在A、C两地间沿同一条路行驶)，两车同时出发，匀速行驶.货车的速度是客车速度的34.如图是客车、货车离C站的路程y1，y2(km)与行驶时间x(h)的函数关系图象.
(1)货车的速度为______； A、B两地间的路程为______；
(2)求客车y1与x的函数关系式并直接写出货车y2与x的函数关系式.
(3)出发后经过______两车间路程是70 km？
26.(本小题10分)
信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一.某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值.
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元.该茶叶专卖店计划购进A，B两种品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍.销售时，A品牌毛尖售价不变，B品牌毛尖售价提高5%，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.若 a2=−a，则a≤0，此选项错误；
B. a4b8=a2b4，此选项正确；
C.若 a2=a，则a≥0，此选项错误；
D.5的平方根是± 5，此选项错误；
故选：B.
根据二次根式的性质和平方根的概念逐一判断即可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简、平方根的概念，解题的关键是掌握二次根式的性质： a2=|a|(a≥0)及平方根的概念．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了绝对值的性质和二次根式的性质，由x−y的正负性去绝对值符号和x的正负性去根号，化简合并同类项可以得出答案.
由x【解答】
解：∵x∴|x−y|− x2=−x+y−(−x)=y，
故选B.
3.【答案】A
【解析】解：A、 (−2.5)2=( 2.5)2，故选项正确；
B、当a<0时， a无意义，故选项错误；
C、当x<1时，式子不成立，故选项错误；
D、当x<−3时， x−3与 x+3无意义，故选项错误．
故选：A.
A、根据二次根式的性质即可判定；
B、根据二次根式的性质即可判定；
C、首先利用完全平方公式分解因式，然后利用二次根式的性质化简即可判定；
D、根据二次根式的性质以及有意义的条件即可作出选择．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的性质，是需要熟练掌握的内容．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵x+y=0，∴x2−y2=(x+y)(x−y)=0，正确；
B、∵x+y=0，即x=−y，∴原式=−3y+3y=0，正确；
C、∵x+y=0，即x=−y，∴原式=|y|−|y|=0，正确；
D、∵x+y=0，即x=−y，原式只有x=y=0时，成立，不正确，
故选：D.
原式各项判断即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；
B、1.5和2.5不是正整数，此选项错误；
C、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．
故选：C.
根据勾股数的定义分别对各组数据进行检验即可．
此题考查了勾股数，说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不全是正整数，所以它们不是一组勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB′的长为16尺，则B′C=8尺，设出AB=AB′=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长．
【解答】
解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x−2)尺，
因为B′E=16尺，所以B′C=8尺
在Rt△AB′C中，82+(x−2)2=x2，
解之得：x=17，
即芦苇长17尺．
故选：C.
7.【答案】x<5
【解析】解：根据题意得：x−5<0，
解得：x<5.
故答案是：x<5.
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数小于0，即可求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
8.【答案】12
【解析】解：依题意得，长方体的体积为：
2 6× 3× 2=12(cm3).
故答案为：12.
首先根据长方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘法法则计算即可求解．
此题主要考查了二次根式的应用，同时也利用了长方体的体积公式，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：因为1< 3<2，
所以a=1，b= 3−1.
故 3a−b= 3×1−( 3−1)= 3− 3+1=1.
故答案为：1.
因为1< 3<2，由此得到 3的整数部分a，再进一步表示出其小数部分b.
此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力之一，本题要求我们能够正确估算出一个无理数的大小．
10.【答案】a+b+c
【解析】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b>c，c+a>b，b+c>a，
∴a+b−c>0，b−c−a<0，b+c−a>0，
∴ (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|=a+b−c+a+c−b+b+c−a=a+b+c.
故答案为：a+b+c.
由a，b，c为三角形的三边，根据三角形三边关系，即可得a+b>c，c+a>b，b+c>a，又由 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|，即可求得答案．
此题考查了二次根式的性质．此题难度适中，注意掌握 a2=|a|.
11.【答案】2cm≤h≤3cm
【解析】解：∵将一根长为15cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时为12cm，
最长时等于杯子斜边长度，即： 122+52=13(cm)，
∴h的取值范围是：(15−13)≤h≤(15−12)，
即2cm≤h≤3cm.
故答案为：2cm≤h≤3cm.
根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
12.【答案】10或2 7
【解析】解：①当6和8为直角边时，
第三边长为 62+82=10；
②当8为斜边，6为直角边时，
第三边长为 82−62=2 7.
故答案为：10或2 7.
分情况考虑：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是10；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是 82−62=2 7.
一定要注意此题分情况讨论，很容易漏掉一些情况没考虑．
13.【答案】150cm2
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为60cm求出x的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
【解答】
解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x.
∵其周长为60cm，
∴3x+4x+5x=60，解得x=5，
∴三角形的三边长分别是15，20，25.
∵152+202=252，
∴此三角形是直角三角形，
∴S=12×15×20=150(cm2).
14.【答案】45∘
【解析】【分析】
此题主要考查的是运用平行四边形的性质求解问题，其关键是运用了平行四边形对角相等的性质和平行四边形邻角互补求解.
根据平行四边形对角相等的性质，先可求出∠B，再根据平行四边形邻角互补求出∠C.
【解答】
解：∵在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=270∘，
∴∠B=∠D=135∘，
∵∠B+∠C=180∘，
∴∠C=45∘，
故答案为45∘.
15.【答案】解：原式=2( 2+1)+3 2−2 2
=2 2+2+3 2−2 2
=2+3 2.
【解析】分母有理化的同时，运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
16.【答案】解：∵x=2 3−1= 3+1，
∴x2−x+1
=( 3+1)2−( 3+1)+1
=4+2 3− 3−1+1
=4+ 3.
【解析】首先化简x=2 3−1= 3+1，进一步代入求得数值即可．
此题考查二次根式的化简求值，注意先化简，再进一步代入求得数值．
17.【答案】解：∵1−8x≥0，8x−1≥0，
∴1−8x=8x−1=0，
∴x=18，
∴y=12，
∴原式=4×18+12=1.
【解析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键.
直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案.
18.【答案】解：如图，点A表示的数为 17.

【解析】4对应的点为4，过B点作数轴的垂线，截取CB=1，然后以原点为圆心，OC为半径画弧交数轴的正半轴与A点，则A点满足条件．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了勾股定理．
19.【答案】解：如图，△ABC即为所求，
∵AC=2 5，BC= 5，
∴AC2+BC2=20+5=25，
∵AB2=42+32=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．
根据勾股定理结合网格结构，画出AC=2 5，BC= 5，求出AB2=42+32=25，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形．
20.【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90∘，BC=13m，AC=5m，
∴AB= 132−52=12(m)，
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD=13−0.5×10=8(m)，
∴AD= CD2−AC2= 64−25= 39(m)，
∴BD=AB−AD=(12− 39)(m).
答：船向岸边移动了(12− 39)m.
【解析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21.【答案】解：(1)图中全等的图形有：△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，△ABC≌△DCA；
(2)∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF.
【解析】(1)根据三角形全等的判定定理及平行四边形的性质，结合图形即可得出答案．
(2)可以把结论涉及的线段BE，DF放到△AEB和△CFD中，证明这两个三角形全等，得出结论．
本题考查了平行四边形的性质及三角形全等的判定，是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA=∠EDA=90∘，AC=BD.
在△ADC和△ADE中．
∠EAD=∠CADAD=AD∠ADE=∠ADC，
∴△ADC≌△ADE(ASA).
∴AC=AE.
∴BD=AE.
【解析】根据矩形的性质和全等三角形的判定方法可证明△ADC≌△ADE，由全等三角形的性质即可得到AE=BD.
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，题目比较简单，是中考常见题型．
23.【答案】解：(1)原式= 7− 6( 7+ 6)( 7− 6)= 7− 6；
(2)原式=3 2− 17(3 2+ 17)(3 2− 17)=3 2− 17；
(3)原式= n+1− n( n+1+ n)( n+1− n)= n+1− n.
【解析】观察问题中的三个式子，不难发现规律：用平方差公式完成分母有理化．
要将 a± b中的根号去掉，要用平方差公式( a+ b)( a− b)=a−b.
24.【答案】(1)证明：∵DE//AB，
∴CFAF=CDBD，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴AF=CF，
∵CE//AD，
∴∠FAC=∠FCE，∠ADF=∠CEF，
∴△AFD≌△CFE(AAS)，
∴DF=EF，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE//BC，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)解：四边形ABPE是平行四边形，理由如下：
如图2，
四边形ABPE是平行四边形，理由如下：
延长BP，交CE于点G，
∵CE//AD，点D是BC的中点，
∴同理(1)可得：四边形APGE是平行四边形，
∴PG//AE，
∵PE//AB，
∴四边形ABPE是平行四边形．
【解析】(1)由DE//AB得CFAF=CDBD，进而得出CD=BD，进而证明△AFD≌△CFE，从而得出DF=EF，从而四边形ADCE是平行四边形，进一步得出结论；
(2)延长BP，交CE于点G，同理(1)首先证得四边形APGE是平行四边形，进而得到PG//AE，结合PE//AB，推导出四边形ABPE是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造特殊的直角三角形．
25.【答案】60km/h840km/h5.5小时或6.5小时
【解析】解：(1)由图象可得，
客车的速度：720÷9=80(km/h)，
则货车速度：80×34=60(km/h)，
A与B两地间路程为：60×2+720=840(km)，
故答案为：60km/h，840km/h；
(2)设客车y1与x的函数关系式是y1=kx+b，
∴b=7209k+b=0，
解得k=−80b=720，
即客车y1与x的函数关系式是y1=−80x+720；
当0≤x≤2时，设货车y2与x的函数关系式是y2=ax+c，
∵货车的速度为60km/h，60×2=120，
∴该函数过点(0,120)，(2,0)，
∴c=1202a+c=0，
解得a=−60c=120，
即当0≤x≤2时，货车y2与x的函数关系式是y2=−60x+120；
720÷60=12，
当2∵点(2,0)，(14,720)在该函数图象上，
∴2m+n=014m+n=720，
解得m=60n=−120，
即当2由上可得，货车y2与x的函数关系式是y2=−60x+120(0≤x≤2)60x−120(2(3)当两车相遇前相距70千米时，
(−80x+720)−(60x−120)=70，
解得x=5.5，
当两车相遇后相距70千米时，
(60x−120)−(80x+720)=70，
解得x=6.5，
综上所述，出发后经过5.5小时或6.5小时，两车相距70千米．
故答案为：5.5小时或6.5小时．
(1)根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的34，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出A、B两地间的路程；
(2)根据函数图象中的数据，可以分别计算出客车y1与x的函数关系式和货车y2与x的函数关系式；
(3)根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距70km，然后列出相应的方程求解即可．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
26.【答案】解：(1)由题意得，4000x=5280x+16，
解得x=50，
经检验x=50是原方程的解，
∴x的值为50.
(2)设A为m袋，则B为(180−m)袋，
由题知：180−m≤2m，
解得m≥60，
设总利润为w元，w=(70−50−5)m+[90(1+5%)−(50+16)−6](180−m)=−7.5m+4050，
∵−7.5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=60时，w最大=3600，
∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元．
【解析】(1)根据用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同列出方程求解即可；
(2)设A为m袋，则B为(180−m)袋，根据B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍列出不等式求出m≥60，设总利润为w元，根据总利润=A的单件利润×数量+B的单件利润×数量列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．品牌
A
B
进货(元/袋)
x
x+16
销售(元/袋)
70
90