2023-2024学年河南省南阳市方城县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省南阳市方城县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元一次方程x−2=0的解是( )
A. x=2B. x=−2C. x=0D. x=1
2.不等式的解集x≥1在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.已知三角形两边的长分别是4cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 12cm
5.用加减消元法解方程组{5x−2y=3①x+2y=−1②，下列做法正确的是( )
A. ①+②B. ①-②C. ①+②×5D. ①×5−②
6.《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”(尺、寸是长度单位，1尺=10寸).意思是，现有一根长木，不知道其长短.用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为( )
A. 12(x+4.5)=x−1B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x−4.5)=x+1D. 12(x−4.5)=x−1
7.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=50∘，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是( )
A. 80∘B. 90∘C. 100∘D. 110∘
8.如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是( )
A. 20g
B. 25g
C. 15g
D. 30g
9.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH=2cm，EF=5cm，则阴影部分的面积为( )
A. 6cm2
B. 8cm2
C. 12cm2
D. 16cm2
10.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有( )
A. 103块B. 104块C. 105块D. 106块
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.“x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为______.
12.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，此时点C在边A′B上，若AB=5，BC′=2，则A′C的长是______.
13.若关于x，y的二元一次方程组x−3y=4m+3x+5y=5的解满足x+y≤0，则m的取值范围是______.
14.如图，在五边形ABCDE中，AB//ED，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为______.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠B−∠A=10∘，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F.若△DEF中有两个角相等，则∠ACD=______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程73x=4x−16+1.
(2)解不等式：2(x−2)<1−3x，并把它的解集在数轴上表示出来.
17.(本小题9分)
如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC(△ABC的各顶点都在格点上).
(1)画出△ABC中AB边上的高CD，BC边上的中线AE；
(2)将△ABC先向上平移2格，再向右平移4格，画出平移后的△A′B′C′；
(3)连接AA′、CC′，则AA′与CC′的位置关系是______.
18.(本小题9分)
在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组{2x−y=−1①5x−y=2②，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组.小明和小颖解方程组的部分过程如下：
(1)①小明和小颖解方程组的过程是否正确(在横线处填写“正确”或“不正确”)：
小明的过程______；
小颖的过程______.
②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但所用的数学基本思想相同，都是______.
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组3x−2y=19x−2y=19.
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一点，连接AE.
(1)当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC的面积为24，求CE的长；
(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66∘，∠B=36∘，求∠DAE的度数．
20.(本小题9分)
苏州市某商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价80元，售价100元；B种商品每件的售价为60元，利润率为50%(利润率=售价−进价进价×100%).
(1)每件A种商品的利润率为______； B种商品每件的进价为______元；
(2)若该商场同时购进A、B两种商品共40件，总进价恰好为2200元，求购进A种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动：
在商场优惠促销活动期间，若小华一次性购买商品实际付款1044元，求小华所购商品优惠前的总金额为多少元？
21.(本小题9分)
如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE//AB，交BC于E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DFA=∠A.
(1)求证：DE平分∠CDF；
(2)若∠C=80∘，∠ABC=60∘，求∠G的度数．
22.(本小题10分)
为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
(1)求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？
23.(本小题10分)
如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30∘，∠DAE=45∘，∠BAC=∠D=90∘.如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0∘<α<180∘).
(1)当旋转角α为______度时，AD//BC；
(2)在旋转过程中，当0∘<α≤45∘时，参考图3，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系，并说明理由；
(3)当△ADE旋转速度为5∘/秒，且它的一边与BC平行(不共线)时，直接写出时间t的所有值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键．直接利用一元一次方程的解法得出答案．
【解答】
解：x−2=0，
解得：x=2.
故选：A.
2.【答案】B
【解析】解：x≥1表示数轴上1右边的部分，且1处是实心点，
故选：B.
x≥1表示数轴上1右边的部分，且1处是实心点，据此来判断．
本题主要考查了不等式解集在数轴上的表示方法，熟练掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据中心对称图形的定义，可知A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意，
故选：D.
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设三角形的第三边为x cm，
则x的取值范围为8−4即4故选：C.
设三角形的第三边为x cm，即可得到4本题考查了三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
5.【答案】A
【解析】解：A、①+②得：6x=2，故此选项符合题意；
B、①-②得4x−4y=4，故此选项不符合题意；
C、①+②×5得10x+8y=−2，故此选项不符合题意；
D、①×5−②得24x−12y=16，故此选项不符合题意．
故答案为：A.
方法一，由于方程组的两个方程中，未知数y的系数互为相反数，故直接将两个方程相加可消去未知数y；方法二，由于方程组的两个方程中，未知数x的系数成倍数关系，故用①-②×5也可以消去未知数x，据此逐一判断得出答案．
本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设长木长为x尺，
∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
∴绳子长为(x+4.5)尺，
∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
得方程为：12(x+4.5)=x−1.
故选：A.
设长木长为x尺，则用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，可知绳子长为(x+4.5)尺；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：12(x+4.5)=x−1，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的一元一次方程．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠A=30∘，∠B=50∘，
∴∠ACB=180∘−30∘−50∘=100∘(三角形内角和定义).
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=12∠ACB=12×100∘=50∘，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=50∘+50∘=100∘.
故选：C.
根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等式的性质，解题关键是根据题意找出等量关系，列出关系式，求解可得.
设每块巧克力的质量为x克，x>0，根据第一个图求出果冻的质量，根据第二个图建立方程求解即可.
【解答】
解：设每块巧克力的质量为x克，x>0，
由第一个图可知则果冻质量为32x克，
由第二个图可知x+32x=50，
解得x=20(克)
所以一块巧克力的质量为20克．
故选：A.
9.【答案】B
【解析】解：由平移的性质可知BC=EF=5cm，BE=AD=2cm，∠DEC=∠B=90∘，S阴影=S直角梯形BEFH，
∴BH=BC−CH=3cm，
∴S阴影=S直角梯形BEFH
=(3+5)×2×12
=8(cm2).
故选：B.
由平移的性质可知BC=EF，BE=AD=2cm，∠ABC=∠E=90∘，进而得出BH的长，根据S阴影=S直角梯形BEFH，即可得出答案．
本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设这批手表有x块，
550×60+(x−60)×500>55000
解得，x>104
∴这批电话手表至少有105块，
故选：C.
根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
11.【答案】2x+y>0
【解析】解：根据题意，可列不等式为：2x+y>0，
故答案为：2x+y>0.
关系式为：x的2倍+y>0，把相关数值代入即可．
此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12.【答案】3
【解析】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴A′B=AB=5，BC=BC′=2，
∴A′C=3，
故答案为：3.
由旋转的性质可得A′B=AB=5，BC=BC′=2，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
13.【答案】m≤−2
【解析】【分析】
本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出x+y的值，再得到关于m的不等式．
首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y≤0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．
【解答】
解：{x−3y=4m+3①x+5y=5②，
①+②得2x+2y=4m+8，
则x+y=2m+4，
根据题意得2m+4≤0，
解得m≤−2.
故答案是：m≤−2.
14.【答案】180∘
【解析】解：延长BA，DE，
∵AB//ED，
∴∠4+∠5=180∘，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘，
∴∠1+∠2+∠3=360∘−180∘=180∘.
故答案为：180∘.
根据两直线平行，同旁内角互补得到以点A、点E为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180∘，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，多边形内角与外角，理清求解思路是解题的关键．
15.【答案】15∘或30∘
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90∘，
∴∠B+∠A=90∘，
∵∠B−∠A=10∘，
∴∠A=40∘，∠B=50∘，
设∠ACD=x∘，则∠CDF=(40+x)∘，∠ADC=180∘−40∘−x∘=(140−x)∘，
由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40∘，
当∠DFE=∠E=40∘时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180∘，
∴∠FDE=180∘−40∘−40∘=100∘，
∴140−x=100+40+x，
解得x=0(不存在)；
当∠FDE=∠E=40∘时，
∴140−x=40+40+x，
解得x=30，
即∠ACD=30∘；
当∠DFE=∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180∘，
∴∠FDE=12×(180∘−40∘)=70∘，
∴140−x=70+40+x，
解得x=15，
即∠ACD=15∘，
综上，∠ACD=15∘或30∘，
故答案为：15∘或30∘.
由三角形的内角和定理可求解∠A=40∘，设∠ACD=x∘，则∠CDF=(40+x)∘，∠ADC=(140−x)∘，由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40∘，可分三种情况：当∠DFE=∠E=40∘时；当∠FDE=∠E=40∘时；当∠DFE=∠FDE时，根据∠ADC=∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC=∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．
16.【答案】解：(1)去分母，得14x=4x−1+6，
移项，得14x−4x=−1+6，
合并，得10x=5，
系数化为1，得x=12；
(2)去括号，得2x−4<1−3x，
移项，得2x+3x<1+4，
合并，得5x<5，
系数化为1，得x<1，
解集在数轴上为
【解析】(1)先把方程两边乘以6，再移项、合并得到10x=5，然后把方程两边除以10得到方程的解；
(2)先去括号，再移项、合并得到5x<5，接着把x的系数化为1得到不等式的解集，然后在数轴上表示其解集．
本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．也考查了解一元一次方程和在数轴上表示不等式的解集．
17.【答案】互相平行
【解析】解：(1)如图1，线段CD、AE即为所作；
(2)如图2，△A′B′C′即为所作；
(3)∵△ABC先向上平移2格，再向右平移4格得到△A′B′C′，
∴AA′与CC′的位置关系是互相平行，
故答案为：互相平行．
(1)根据三角形的高的概念及中线的概念作图即可；
(2)将三个顶点分别向上平移2格，再向右平移4格得到其对应点，然后首尾顺次连接即可；
(3)根据平移的性质即可得出结论；
本题考查作图-平移变换，作三角形的高、中线，掌握三角形的高及中线的概念、平移的性质是解题的关键．
18.【答案】不正确 正确 消元
【解析】解：(1){2x−y=−1①5x−y=2②，
解法一：②-①得：3x=3③3，x=1，
把x=1代入①得：y=3，
∴方程组的解为：x=1y=3；
解法二：由②得：3x+(2x−y)=2③，
把①代入③得：
3x+(−1)=2，
3x=3，
x=1，
把x=1代入①得：y=3，
∴方程组的解为：x=1y=3；
∴小明的过程正确，小颖的过程正确，
故答案为：不正确，正确；
②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是消元，
故答案为：消元；
(3){3x−2y=1①9x−2y=19②，
②-①得：6x=18，x=3，
把x=3代入①得：y=4，
∴方程组的解为：x=3y=4.
(1)先分别按照小明和小颖的方法解方程组，然后根据他们的解答过程进行判断即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握常见的几种解二元一次方程组的方法．
19.【答案】解：(1)∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为24，
∴12BC⋅AD=24，
∴BC=2×246=8，
∵AE为边BC上的中线，
∴CE=12BC=4；
(2)∵∠C=66∘，∠B=36∘，
∴∠BAC=180∘−∠C−∠B=180∘−66∘−36∘=78∘，
∴AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=39∘，
∵∠ADC=90∘，∠C=66∘，
∴∠CAD=90∘−66∘=24∘，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=39∘−24∘=15∘.
【解析】(1)先根据三角形面积公式计算出BC=8，然后根据AE为边BC上的中线得到CE的长；
(2)先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78∘，再利用角平分线的定义得到∠CAE=39∘，接着计算出∠CAD，然后计算∠CAE−∠CAD即可．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高．
20.【答案】25%40
【解析】解：(1)∵100−8080×100%=25%，
∴每件A种商品的利润率为25%；
∵60÷(1+50%)=40(元)，
∴B种商品每件的进价为40元；
故答案为：25%，40；
(2)设购进A种商品m件，
根据题意得：80m+40(40−m)=2200，
解得m=15，
∴购进A种商品15件；
(3)设小华所购商品优惠前的总金额为x元；
①当9000.9x=1044，
解得x=1160；
②当x>1200时，
1200×0.8+0.7(x−1200)=1044，
解得x=1320；
∴小华所购商品优惠前的总金额为1160元或1320元．
(1)根据利润率的概念列出算式计算可得答案；
(2)设购进A种商品m件，根据总进价恰好为2200元得：80m+40(40−m)=2200，即可解得答案；
(3)设小华所购商品优惠前的总金额为x元；分两种情况：①当9001200时，1200×0.8+0.7(x−1200)=1044，分别解方程可得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和分类思想的应用．
21.【答案】(1)证明：∵DE//AB，
∴∠A=∠CDE，∠DFA=∠FDE，
∵∠DFA=∠A，
∴∠CDE=∠FDE，
∴DE平分∠CDF；
(2)∵∠A+∠C+∠ABC=180∘，∠C=80∘，∠ABC=60∘，
∴∠A=180∘−60∘−80∘=40∘，
∵∠DFA=∠A，
∴∠GFB=∠DFA=40∘，
∵∠G+∠GFB=∠ABC，
∴∠G=∠ABC−∠GFB=60∘−40∘=20∘.
【解析】此题考查了平行线的性质，角的平分线的判定及三角形外角的性质，熟练进行角度的转换是解题的关键．
(1)由平行线的性质得到，∠A=∠CDE，∠DFA=∠FDE，等量代换可得∠CDE=∠FDE，即可得解；
(2)根据三角形的内角和求出∠A=40∘，即得∠DFA=40∘，根据对顶角相等得到∠GFB=40∘，再根据三角形外角的性质求解即可．
22.【答案】解：(1)设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．
依题意，得：3x+2y=540y−2x=20，
解得：x=50y=120.
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
(2)设购买m个B型垃圾箱，则购买(20−m)个A型垃圾箱．
依题意，得：50(20−m)+120m≤150020−m≤m，
解得：5≤m≤152.
又m为整数，m可以为5，6，7，
∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；
方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；
方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．
【解析】(1)设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱(20−m)个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．
23.【答案】15
【解析】解：(1)∵AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD=30∘，
∴α=∠DAE−∠CAD=45∘−30∘=15∘.
故答案为：15；
(2)∠BAE−∠CAD=45∘，理由如下：
当0∘<α<45∘时，
∠CAE+∠BAE=90∘，∠CAE+∠CAD=45∘，
∴∠BAE−∠CAD=45∘；
(3)3s或21s或30s，
①当AD//BC时，由(1)可知α=15∘，
∴5t=15，
∴t=3，
②当DE//BC时，
∠AFB=∠D=90∘，
∠BAF=90∘−60∘=30∘，
∴α=90∘+15∘=105∘，
∴5t=105∘，
∴t=21，
③当AE//BC时，
则α=180∘−30∘=150∘，
5t=150∘，
t=30.
综上分析，t=3或21或30.
(1)根据平行线的判定定理即可求解；
(2)当0∘<α≤45∘计算即可；
(3)分AD//BC、DE//BC、EE//BC三种情况，分别求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏．小明：②-①，得3x=1.
小颖：由②，得3x+(2x−y)=2③，把①代入③，得3x+(−1)=2.
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