2025高考数学一轮复习第5章平面向量与复数03第23讲平面向量数量积及应用（课件+解析试卷）

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1．对3个非零平面向量a，b，c，下列选项正确的是(　　)A．若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0B．若a·b＝a·c，则b＝cC．若(a·b)·c＝(a·c)·b，则b＝cD．a，b，c两两之间的夹角可以都是钝角
3．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1D．λμ＝－1
　　　　因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(λ＋1，1－λ)，a＋μb＝(μ＋1,1－μ)．由(a＋λb)⊥(a＋μb)，得(λ＋1)(μ＋1)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得2λμ＋2＝0，即λμ＝－1．
5．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)．若a与a＋mb的夹角为锐角，则实数m的取值范围为_______________________．
　　　　因为a＋mb＝(2＋m，4＋m)，a与a＋mb的夹角为锐角，所以a·(a＋mb)＞0且不共线，当a与a＋mb共线时，m＝0，故a与a＋mb的夹角为锐角时m≠0．
3．平面向量的数量积已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|csθ叫做向量a，b的数量积，记作a·b．
4．平面向量数量积的性质(1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·csθ(θ为a，e的夹角)；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当向量a，b同向时，a·b＝|a||b|，当向量a，b反向时，a·b＝___________，
(5)|a·b|≤_________．
5．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)对任意的λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
6．平面向量数量积有关性质的坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(θ为a，b的夹角)，则：(1)a·b＝______________；(2)a⊥b⇔_________________；(3)|a|＝____________；
x1x2＋y1y2＝0　
　　　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(1)求|a＋b|；
　　　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(2)求a与b的夹角；
　　　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(3)若a在b上的投影向量为c，求c·(a＋b)的值．
如果题中有两个向量，并且知道它们的长度和夹角，可以选择这两个向量做基底，求其他向量的数量积．
如果题中涉及直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、菱形等方便建系的图形，可尝试建立直角坐标系，求向量的数量积．尤其是动点问题，设参数解决．
　　　　由于AB⊥BC，AD⊥CD，如图，以D为坐标原点，DA，DC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影向量的模长即可，这种方法往往能够迅速得到取得最值的情况．口诀：一动乘一定，底长乘投影；定长当地面，动量找垂线；最大最小值，出现在两边．
1．(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cs〈a＋b，a－b〉＝(　　)
A组　巩固练1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|＝(　　)A．2B．3C．4D．5
4．已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)等于(　　)A．－3B．3C．－5D．5
　　　　由题意可得|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，则b·(4a－3b)＝4a·b－3b2＝－3b2＝－3．