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2024届人教A版高考数学一轮复习第5章平面向量复数第3节平面向量的数量积及综合应用课件
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这是一份2024届人教A版高考数学一轮复习第5章平面向量复数第3节平面向量的数量积及综合应用课件,共46页。PPT课件主要包含了∠AOB,≤θ≤π,a∥b,b·a,a·λb,a·c+b·c,x1x2+y1y2,a·b=0等内容,欢迎下载使用。
考试要求:1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他一些实际问题.
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1.向量的夹角
2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b.
|a|·|b|cs θ
(1)在分析两向量的夹角时,必须使两个向量的起点重合,如果起点不重合,可通过“平移”实现.(2)两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.
3.向量数量积的运算律(1)a·b=_____.(2)(λa)·b=λ(a·b)=__________.(3)(a+b)·c=___________.
(1)要准确理解数量积的运算律,例如,由a·b=a·c(a≠0),不能得出b=c,两边不能约去同一个向量.(2)平面向量数量积运算的常用公式.①(a+b)·(a-b)=a2-b2.②(a+b)2=a2+2a·b+b2.③(a-b)2=a2-2a·b+b2.
4.平面向量数量积的性质已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b的夹角为θ,则a·b=___________.
x1x2+y1y2=0
5.常用结论:(1)|a+b|=|a-b|⇔a⊥b.(2)|a|=|b|⇔(a+b)⊥(a-b).
2.已知a,b为非零向量,则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B 解析:根据向量数量积的定义可知,若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角,若a与b的夹角为锐角,则一定有a·b>0,所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B.
5.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=___.12 解析:因为2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 平面向量数量积的运算——基础性
考点2 向量数量积性质的应用——应用性
考点3 平面向量数量积的综合应用——综合性
方法二:(坐标法)如图,建立平面直角坐标系xAy.
当已知向量模和夹角时,可利用定义法求解,此时需注意向量夹角的取值.当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.当已知向量是非坐标形式时,若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,运用坐标法求解,如第4题;对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律、几何意义等化简,再运算.
1.设a,b为两个非零向量,则有a⊥b⇔a·b=0,所以解决向量垂直问题时要利用向量的数量积公式.2.向量垂直问题主要表现为利用垂直关系求问题中参数的值.
求平面向量夹角的2种方法
求平面向量模的2种方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cs θ·e(θ为向量a,b的夹角,e为与b同向的单位向量).
2.已知|a|=8,|b|=4,a与b的夹角为120°,与a同向的单位向量为e,则向量b在a方向上的投影向量为( )A.4eB.-4eC.2eD.-2eD 解析:向量b在a方向上的投影向量为|b|·cs θe=4×cs 120°e=-2e.
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
求解平面向量的最值的两种方法(1)几何法:充分利用几何图形的特征,结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决.(2)代数法:将平面向量的最值转化为坐标运算,建立目标函数,利用代数方法解决.
6 解析:方法一:如图,设P(x,y),
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