2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级上学期数学期中试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的定义“一般地，形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数”即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A，是反比例函数，不是二次函数，不合题意；
B，是一次函数，不是二次函数，不合题意；
C，是一次函数，不是二次函数，不合题意；
D，是二次函数，符合题意；
故选D．
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A、∵，选项A不正确，不符合题意；
B、∵，选项B不正确，不符合题意；
C、∵，选项C正确，符合题意；
D、∵，选项D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及完全平方公式，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2．
3. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：抛物线先向右平移个单位长度，得：，再向上平移个单位长度，得：．
故选：D．
4. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则csα的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点及三角函数的定义解答即可．
【详解】解：读图可得：α的对边是3个单位，邻边是4个单位，则斜边是5个单位，故csα=.
故选B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
5. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为( )
A. 2∶3B. 4∶9C. ∶D. 3∶2
【答案】B
【解析】
【分析】根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以．
【详解】因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
所以S△ABC：S△DEF=（）2=，故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．
6. 已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象分布，根据题意，得，选择即可，熟练掌握图象分布的条件是解题的关键．
【详解】∵反比例函数图象经过点，
∴，
故图象分布在第二、四象限，
故选C．
7. 如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）
B.
C. 1OOcs20°D. 100sin20°
【答案】D
【解析】
【详解】∵sin∠C=，∴AB=AC•sin∠C=100sin20°，
故选D．
8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，则下列结论错误的是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，易证得△ABF∽△EDF，然后由平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，求得答案．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABF∽△EDF
∴，
∴选项A正确，不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF
∴
∴选项B不正确，符合题意；
∵
∴，即
∴选项C正确，不符合题意；
∵
∴
∴选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．
9. 若点都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
又∵都在反比例函数图象上，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，熟记概念是关键．
10. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②当时，函数有最大值；③当和1时，函数y的值都等于0；④．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，根据函数图象，我们可以得到以下信息：，，对称轴，，与轴交于，两点，进而对所得结论进行判断即可．根据函数图像正确判断出各系数的符号是解题关键．
【详解】解：①由图知：抛物线开口向上，得
抛物线与轴的负半轴相交，得
抛物线的对称轴为，，故
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为
∴当时，函数有最小值，故②错误；
③由函数图像可知，抛物线与轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为，
∴当或时，函数的值都等于，故③正确；
④∵抛物线与x轴的另外一个交点为，
∴当时，，
即，故④错误
综上分析可知，正确的有2个，故B正确．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 已知地球离月球表面约384000千米，这个距离用科学记数法表示为__________千米．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：任何一个数都可用科学记数法表示为，则地球离月球表面约为384000=
考点：科学记数法
点评：本题考查科学记数法的方法，会用科学记数法表示数是解决本题的重点
12. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：
13. 函数中，自变量x的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-5≠0，解得x的范围．
【详解】解：根据题意得：x−5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练的掌握分式有意义和无意义的条件．
14. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
15. 不等式组的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
16. 若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．
【答案】4．
【解析】
【详解】试题分析：将抛物线y＝x2－4x＋c配方成y=(x-2) -4+c，顶点坐标为（2，c-4）,所以c-4=0,故c的值为4.
17. 如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°，
∴AD=CD=60m，
在Rt△ABD中，
AB=AD•sin∠ADB=60×=(m).
故答案是：.
18. 在中，，则______
【答案】5或11
【解析】
【分析】本题考查了正切函数型的解三角形，勾股定理，根据题意分是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用正切的定义和勾股定理求解即可．
【详解】当是锐角三角形时，
如图，过点B作于点D，
∵，
∴
设，则，
∴，
解得（舍去），

∴，
当是钝角三角形时，
如图，过点B作，交的延长线于点E，
∵，
∴
设，则，
∴，
解得（舍去），

故答案为：5或11．
19. 如图，在中，，，沿的中线将折叠，使点A落在点D处，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．首先设交于点E，根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则，，再由直角三角形斜边中线的性质可得出，从而求得的度数，则可得出答案．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．
【详解】解：设交于点E，

∵是直角的中线，
∴
∴，
由折叠的性质可得：，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案：．
20. 如图，正方形，，，，求的长______．

【答案】12
【解析】
【分析】先根据解直角三角形的知识，求出，过F点作于点P，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得 ，再根据，可得，结合，可得，即，进而有，再利用，问题得解．
【详解】如图，在中，平分，，且，，
即有：，
设，，
根据角平分线的性质定理有：，
∴结合，有，
∴，
∴，
根据三角形的面积有：，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，（，舍去），
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，，
∴，
如图，过F点作于点P，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等知识，求出，是解答本题的关键．
三．解答题（21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点均在小正方形的顶点上．

（1）在图1中画出一个以线段为一边的平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为8；
（2）在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为2，．请直接写出的长．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】本题考查复杂作图，涉及平行四边形性质及面积公式、三角函数及三角形面积公式等知识，读懂题意，根据网格中已知边，按照平行四边形性质及面积公式、正切函数定义及三角形面积公式，数形结合作图是解决问题的关键．
（1）根据平行四边形性质及平行四边形面积的求法，直接作图即可得到答案；
（2）根据正切函数定义及三角形面积的求法，直接作图即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示：

，
平行四边形即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：

，，
即为所求，且．
23. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．
【答案】（1）一共抽查的学生50人；（2）补图见解析；（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为72°；（4）该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为120人．
【解析】
【详解】分析：
（1）由统计图中的信息可知，调查中属于A类的学生有8人，占被调查总数的16%，由此即可计算出被调查学生的总数；
（2）由B类学生占被调查学生的30%，结合（1）中所求得的被调查学生的总数即可求得B类学生的人数，由此即可补全条形统计图了；
（3）由调查中属于C类的有10人结合（1）中所得的被调查学生的总数即可求得C类学生占总数的百分比，由此即可求得扇形统计图中C类学生所对应的圆心角的度数了；
（4）由调查中属于D类的有12人结合（1）中所得的被调查学生的总数即可求得D类学生占被调查学生总数的百分比，结合全校九年级共有500学生即可求得全校采用“听音乐”分式的学生的人数了.
详解：
（1）由题意可得，一共抽查的学生人数为：8÷16%=50人；
（2）由题意可得，参加“体育活动”的人数为：50×30%=15，
补全条形统计图如下图所示：
（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°××100%=72°；
（4）该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：500××100%=120人．
24. 已知一个矩形的周长是，设它的一边长为x（单位：），面积为y（单位：）．
（1）求y关于x的函数解析式并直接写出x的取值范围；
（2）当x取何值时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）当取6时，矩形面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】（1）根据矩形面积公式求出y与x的函数解析式即可；
（2）根据二次函数的最值得出结果即可．
【小问1详解】
解：∵矩形的周长是，设它的一边长为x，
∴矩形的另外一条边长为，
∴y关于x的函数解析式为：
；
【小问2详解】
解：∵，
∴y有最大值，
∵，
∴当时，矩形面积最大，最大面积是，
答：当取6时，矩形面积最大，最大面积是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，将二次函数一般式转化为顶点式，解题的关键是求出二次函数解析式．
25. 阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）计算：______；
（2）对于，的正对值的取值范围是______；
（3）如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键．
（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；
（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰比即可；
（3）由，令，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解．
【小问1详解】
解：根据正对定义可得：
当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形，
底边腰长，
故答案为：1；
【小问2详解】
解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0，
当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近，
的正对值的取值范围是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图：
在中，，
令，则，，
在上取点，使，连接，作，为垂足，
∴，
，，
．
26. 抛物线的顶点为P，双曲线经过点P和点B．
（1）求k的值；
（2）轴于D，轴于C，E为上一点，连接和．求的面积；
（3）在（2）的条件下，当A为中点时，经过E和A点的双曲线，求m的值．
【答案】（1）
（2）6 （3）
【解析】
【分析】（1）先根据二次函数求出点P的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据三角形的面积与反比例函数的比例系数k的关系解题即可；
（3）过点E作轴于H，过点A作轴于M，设，利用中位线的性质可以表示和长，进而表示A点坐标，然后把点A和点E的坐标代入解题即可．
小问1详解】
抛物线的顶点
∵双曲线经过点P，
∴，
∴
【小问2详解】
∵点B在双曲线上，设，
∵轴，轴
∴
∴是矩形,
∴，,
∴；
【小问3详解】
过点E作轴于H，过点A作轴于M．
设，
在中，A为中点，
∴为的中位线，
∴，
∴
∴
把和代入双曲线
中得，
∴，
，
，解得
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，待定系数法，比例系数k的几何意义，三角形的中位线，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
27. 抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点

（1）求抛物线解析式；
（2）过A的直线交y轴于D点，，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，N是延长线上一点，以为斜边的直角，直角边交于点P，若，，求的长度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入即可；
（2）由，可得，设，在中，由勾股定理得，得，即解得答案；
（3）由得，过点P作于点P，交于点F，过点F作于点H，求出，再根据，得出，设，，根据即可求出．
【小问1详解】
解：把代入得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，
，
解得：，
∴，
设，
，
则，
∵，
又∵，
则，
∴，
在中，
由勾股定理得：
，
∴
解得：，
∴，
设直线的解析式为：，
把和代入得：
，
解得
∴直线的解析式为：；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴①，
过点P作于点P，交于点F，
，
设，
则，
∴，
∴，
过点F作于点H，
∴，
过点D作于K

在中，
，
∵，
∴，
，
，
在中，
，
∴，
∵点N在延长线上，点P在上
∴，
，
，，
，
∴，
∴，
，
设，
，
代入①式得：，
解得，（不合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数表达式，勾股定理，三角形相似的性质与判定，求一个角的正切值，等腰三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造三线合一是解题关键．