2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了 如图，内接于，，则的度数为， 关于抛物线，下列说法正确的是， 如图，，，，则的长为等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷满分为120分．考试时间为120分钟．
2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4.选择题须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1. sin30°的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】据特殊角三角函数值，可得: sin30°=.
故选A.
2. 下列图案中，不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；对于图A，分析可知，其绕着图形的圆心旋转180°后与原来的图形重合，故是中心对称图形，同理再分析其他选项即可.
【详解】根据中心对称图形的概念可知，A、B、C都是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了中心对称图形的判断，解题的关键是掌握中心对称图形定义；
3. 下列各点在反比例函数图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直接根据反比例函数中的特点进行解答即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：、因为，所以此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
、因为，所以此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
、因为，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
、因为所以此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
故选：．
4. 下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形进行分析即可．
【详解】解：A的俯视图为圆形；
B的俯视图为长方形；
C的俯视图为带圆心的圆；
D的俯视图为三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
5. 如图，在中，，下列结论正确的是（ ）

A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了锐角三角三角函数关系．根据锐角三角三角函数关系，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
6. 将抛物线向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】向右平移只需用x减去平移的数量即可，注意要加括号．
【详解】解：抛物线向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数的平移，能够熟练运用左加右减的口诀是解题关键，要注意左右平移要加括号．
7. 如图，内接于，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据同圆的半径相等得到，根据三角形内角和等于得到，根据同圆中同弧所对圆周角等于圆心角的一半得到．
本题主要考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，圆周角定理．解决问题的关键是熟练掌握等边对等角，三角形的内角和等于，同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
【详解】连接，则，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴
C. 与x轴无交点D. 与y轴交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是直线，顶点为，
∴抛物线与轴无交点，令，则，
∴抛物线与轴的交点为，故选项C正确，选项A、B、D不正确．
故选：C．
9. 如图，，，，则的长为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例进行计算．由平行线分线段成比例，得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选：A．
10. 如图，在中，，于点D，于点E，与交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②
【答案】C
【解析】
【分析】根据中，，于点D，得到是等腰直角三角形，得到，根据于点E，，得到，根据，推出，得到，①正确；
极端情况，当时，根据，得到A、E、F三点重合，得到，得到，②不正确；
根据，得到点D、E都在以为直径的圆上，推出，结合，推出，③正确；
根据,，得到，得到，推出，④正确．正确的有①③④．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形，圆周角定理，圆内接四边形．解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，圆周角定理推论，圆内接四边形性质．
【详解】∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴①正确；
②如图，当时，
由于，
∴A、E、F三点重合，
此时，
∴，
∴②不正确；

③∵，
∴点D、E都在以为直径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴③正确；
④∵,，
∴，
∴，
∴，
∴④正确．
∴正确的有①③④．
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（11～20题，每小题3分，共计30分）
11. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
12. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
14. 函数的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，
∴函数的最小值为．
故答案为：
15. 中午12点，身高的小冰的影长为，同学小明此时在同一地点的影长为，那么小明的身高为______．
【答案】180
【解析】
【分析】本题考查了平行投影． 设小明的身高为，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”，即可求解．
【详解】解：设小明的身高为，根据题意得：
，
解得：，
即小明的身高为．
故答案为：180
16. 一副扑克牌中随机抽取一张，它是A的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求概率，根据概率的公式计算，即可求解．
【详解】解：∵一副扑克牌共有54张，其中只有4张A，
∴一副扑克牌中随机抽取一张，它是A的概率为．
故答案为：
17. 如图，为的弦，直径于点H，若，则的长等于_____．

【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．连接，设的半径为r，则，根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理求出r，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

设的半径为r，则，
∵，
∴，
∵直径，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案：2
18. 如果弧长为的扇形面积为，那么该扇形的半径为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．该扇形的半径为r，根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【详解】解：设该扇形的半径为r，根据题意得：
，
解得：．
故答案为：8
19. 已知为O的弦，沿折叠O，圆心O恰好落在O上，则弦所对的圆周角的度数为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，圆的基本概念，等边三角形的性质，解题关键是“数形结合”．由沿折叠O，圆心O恰好落在O上点，可得是等边三角形，即可得，再由圆的基本概念即可求解．
【详解】解：沿折叠O，圆心O恰好落在O上点，交于点C如图：
由折叠可得：，
，
是等边三角形，
，
，
弦所对的圆周角的度数为：或
故答案为：或
20. 如图，在平面直角坐标系中，一个动点依次从运动至，，，，…，那么的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标规律．根据题意可得，，，……，由此发现，当n为奇数时，的纵坐标为0，横坐标为，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，，……，
由此发现，当n为奇数时，的纵坐标为0，横坐标为，
∴的坐标为，即．
故答案为：
三、解答题（21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中.
【答案】； .
【解析】
【分析】根据分式的运算法则把所给的分式化简，再求得x的值，代入计算即可.
【详解】原式


当

=
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则把所给的分式化为最简分式是解决问题的关键.
22. 实践操作：如图是4×4正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在图1中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图1中黑色部分是一个轴对称图形；

（2）请在图2中选取若干个白色的单位正方形并涂黑，使图2中黑色部分是一个中心对称图形，且面积占正方形网格面积的一半．

【答案】（1）见解析（答案不唯一）
（2）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
（1）按照轴对称图形的定义进行作图即可；
（2）按照中心对称图形的定义进行解答即可．
【小问1详解】
解：如图所示：（答案不唯一）
【小问2详解】
解：如图所示：（答案不唯一）
23. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使得P，Q，S共线且直线与河垂直，接着在过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R，可测得，请你选择所需数据求河宽．（，结果精确到十位）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．在 中，根据锐角三角函数可得，再由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在 中， ，
∵ ，
∴
∴，
∵，
∴．
答：河宽约．
24. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的关系式；
（2）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）设出反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中求解即可；
（2）根据（1）所求可得I随R增大而减小，因此求出当时，的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设电流I（单位：A）与电阻R（单位：）得到反比例函数关系式为，
由题意得，点在函数的图象上，
∴，
∴，
∴电流I（单位：A）与电阻R（单位：）得到反比例函数关系式为；
【小问2详解】
解：∵在中，，
∴I随R增大而减小，
当时，则，解得，
∴当时，，
∴如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是．
25. 阅读材料：在17世纪初，法国数学家笛卡尔为了将代数和几何相结合，他提出了一种新的工具即平面直角坐标系，通过坐标系，笛卡尔发现可以用方程来表示图形的数量关系，也可以使得抽象的方程用几何图形形象的表示出来，为数学的发展奠定了新的里程碑．例如：图1中是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降1米时，水面宽是多少？

分析：我们知道，二次函数的图像是抛物线，建立适当的坐标系就可以求出抛物线的解析式，为了方便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（图2），设该抛物线的解析式为，由已知的抛物线过点，代入解析式求出，抛物线解析式为，当水面下降1米时，水面纵坐标为，把代入解析式，求得，此时水面宽为米．
请你类比阅读材料中的数学思想尝试建立平面直角坐标系解答下列问题：
如图3，某校选拔铅球运动员准备参加区运动会，第一轮学校定的男生入围标准为不低于9米，一名男生A推铅球，铅球运动的轨迹是一条抛物线，已知出手点距离地面米，铅球运行轨迹的最高点到地面距离3米且到该男生A的水平距离为4米．
（1）请选择你认为合适的位置建立平面直角坐标系，并求出铅球运行轨迹的高度与水平距离之间的函数解析式；
（2）通过计算，请你判断男生A第一轮能否入围．
【答案】（1）建立直角坐标系见解析，抛物线解析式为
（2）该男生 A 第一轮能入围
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）以出手点所在且垂直于地面的直线为y轴，以水平距离所在直线为x轴建立直角坐标系，可设抛物线解析式为：，再把代入，即可求解；
（2）令，求出x的值，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，以出手点所在且垂直于地面的直线为y轴，以水平距离所在直线为x轴建立直角坐标系，

∵铅球运行轨迹的最高点到地面距离 3 米且到该男生 A 的水平距离为 4 米．
∴抛物线的顶点坐标为，与 y 轴交点坐标为
∴设抛物线解析式为：，
把代入解析式得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，得：，
解得： (舍去)，，
∴该男生A推出的水平距离为 10米，
∵，
∴该男生 A 第一轮能入围．
26. 已知：四边形内接于，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接并延长交于点H，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下， ，的面积等于30，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理，即可求证；
（2）延长交于点E，连接，证明，即可求证；
（3）延长交于点E，连接，在上取点F，使，连接，过点A作于点G，过点B作于点K，根据，可得，设，则，可得，设，根据，可得，从而得到，然后根据的面积等于30，可得，根据勾股定理可得，再由圆周角定理可得，，然后根据勾股定理可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，延长交于点E，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，延长交于点E，连接，在上取点F，使，连接，过点A作于点G，过点B作于点K，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于30，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴半径的长为．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合题，涉及了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且．
（1）抛物线的解析式为______；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，轴交线段于点D，设点P的横坐标为m，线段的长为d，求d与m之间的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B作，垂足E落在线段上，连接，，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出直线的函数解析式，再求出点的坐标，由此即可得；
（3）过点作，交延长线于点，过点作轴于点，设，则，，先证出，求出的长，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得的值，由此即可得．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
把代入得：，
解得：，
则抛物线的解析式为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得，
∴点的横坐标为，
∴．
小问3详解】
解：如图，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，
，
设，则，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即，
整理为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的解；不是所列分式方程的解，舍去，
，
，
解得或（与点在第一象限不符，舍去），
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．