北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.2 双曲线的简单几何性质复习练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.2 双曲线的简单几何性质复习练习题，共24页。试卷主要包含了已知F1,F2分别是双曲线C，已知双曲线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
题组一 由双曲线的方程研究其简单几何性质
1.(多选题)(2024江西赣州十八县二十三校期中联考)已知F1,F2分别是双曲线C:y2m−x25-m=1的上、下焦点,点P在C上,且C的实轴长等于虚轴长的2倍,则( )
A.m=2
B.顶点坐标为(±2,0)
C.C的离心率为52
D.C的渐近线方程为y=±2x
2.(2023甘肃陇南一模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,焦距为6,点M在双曲线C上,且MF⊥AF,|MF|=2|AF|,则双曲线C的实轴长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.(2023辽宁抚顺高考模拟)已知双曲线C:y24−x22=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是( )
A.PF1·PF2的最大值为4
B.PF1·PF2的最大值为2
C.PF1·PF2的最小值为-4
D.PF1·PF2的最小值为-2
4.若点A(10,23)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标.
题组二 双曲线的离心率
5.(2022江苏南通基地学校第四次大联考)北京冬奥会火种台(如图1)以“承天载物”为设计理念,创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型,其基座沉稳,象征“地载万物”,顶部舒展开阔,寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2,一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在直线旋转所成的曲面,尊高50 cm,上口直径为1003 cm,底座直径为25 cm,最小直径为20 cm,则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为( )

A.2 B.135 C.74 D.73
6.已知椭圆C:x216+y212=1的离心率与双曲线C':x24−y2b2=1(b>0)的离心率互为倒数,则b=( )
A.22 B.23 C.4 D.6
7.(2024北京第五中学期中)已知A,B分别为双曲线E的左、右顶点,点M在双曲线E上,满足△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则双曲线E的离心率为( )
A.5 B.2 C.3 D.2
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac,求该双曲线的离心率的取值范围.
题组三 双曲线的渐近线
9.(2024河南商丘部分学校期中)已知双曲线C:x2m+y24=1的一个焦点为(0,5),则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±14x B.y=±12x
C.y=±2x D.y=±4x
10.(2024山东临沂素养水平监测)已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则其渐近线的倾斜角为( )
A.π3 B.5π6
C.π3或2π3 D.π6或5π6
11.(2023江苏连云港调考)已知方程x24-m−y22+m=1表示双曲线.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,求双曲线的焦点到渐近线的距离.
题组四 由双曲线的简单几何性质求其方程
12.(2024江西景德镇期中)中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线x-4y+22=0上的等轴双曲线的方程是( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
13.(2024贵州贵阳诊断性联考)已知双曲线C:mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为213,虚轴长为4,则C的方程为( )
A.3x2-4y2=1 B.x2-y24=1
C.x24−y23=1 D.x23−y24=1
14.(2024山东淄博实验中学、淄博齐盛高中模块考试)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=-33x,且焦点到渐近线的距离为1,则双曲线C的标准方程为( )
A.x23−y2=1 B.x22-y2=1
C.x23−y22=1 D.x22−y23=1
15.(2023江苏盐城阜宁中学期中)在平面直角坐标系xOy中,过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点,则双曲线的标准方程为 .
16.(2022河南洛阳月考)双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为菱形OABC的边OA,OC所在的直线(O为坐标原点),点B(2,0)为双曲线的焦点,若∠AOC=120°,则双曲线的方程为 .
能力提升练
题组一 双曲线的简单几何性质及其应用
1.(2023江苏盐城阜宁中学期中)已知双曲线C:x24−y23=m(m≠0),则当实数m变化时,这些双曲线有( )
A.相同的焦点 B.相同的实轴长
C.相同的离心率 D.相同的渐近线
2.(2024江苏如东一中、徐州中学、宿迁一中联考)直线l过圆M:(x-4)2+y2=1的圆心,且与圆M相交于A,B两点,P为双曲线x29−y27=1右支上一个动点,则PA·PB的最小值为( )
A.-2 B.1
C.2 D.0
3.(多选题)(2024河南许昌建安第一高级中学月考)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-y28=1与椭圆C2的公共焦点,A是C1,C2在第一象限内的交点,若|F1F2|=|F1A|,则( )
A.双曲线的渐近线方程为y=±8x
B.椭圆的离心率为35
C.椭圆的方程为x225+y29=1
D.△AF1F2的面积为82
4.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支,O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知,该双曲线的渐近线互相垂直,且AB与OC垂直,其中C为AB的中点,AB=80 cm,OC=20 cm,若该双曲线的焦点位于直线OC上,则距点O较近的焦点距点O cm.
5.已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上存在一点P,使sin∠PF2F1sin∠PF1F2=e,则F2P·F2F1的值为 .
题组二 双曲线的离心率
6.(2023四川成都第十二中学入学考试)双曲线的光学性质:如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足∠BAD=90°,tan∠ABC=-34,则该双曲线的离心率e=( )

A.10 B.102
C.3 D.23
7.(2024河南顶尖名校联盟期中)已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),A为C的上顶点,B(0,5a).若在C的渐近线上存在一点P,使得∠APB=90°,则C的离心率e的取值范围为( )
A.1,324 B.1,324
C.1,355 D.1,355
8.(2024湖南长沙长郡中学期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,则当C的离心率e= 时,满足sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.
9.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点C(0,2b),若线段AC的垂直平分线过点B,则该双曲线的离心率为 .
10.已知双曲线Q:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3,过双曲线的右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6.
(1)求双曲线Q的离心率;
(2)求双曲线Q的方程.
11.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
题组三 双曲线的渐近线
12.(2024贵州入学考试)已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作x轴的垂线,且与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A,B.若|AB|=|AF|,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.3x±y=0 B.x±3y=0
C.2x±y=0 D.x±2y=0
13.(2023江苏南京师范大学附属中学段考)已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线y=kx与Γ交于A,B两点(点A在第一象限),线段AF的中点为P,O为坐标原点.若|OA|=|OF|,2|OP|=3|OB|,则Γ的两条渐近线的斜率之积为( )
A.-4-23 B.−3−23
C.3-23 D.−4+23
答案与分层梯度式解析
2.2 双曲线的简单几何性质
基础过关练
1.CD 由题意得,a2=m,b2=5-m,且a=2b,所以m=4(5-m),解得m=4,故A错误;因为a2=m=4,焦点在y轴上,所以顶点坐标为(0,±2),故B错误;因为a2=4,b2=1,所以c2=5,故离心率e=c2a2=52,故C正确;因为双曲线的焦点在y轴上,所以渐近线方程为y=±abx,即y=±2x,故D正确.故选CD.
2.A 把x=c代入x2a2−y2b2=1,得y=±b2a,即|MF|=b2a,因为|AF|=a+c,|MF|=2|AF|,所以b2a=2(a+c),结合a2+b2=c2,得c2-a2=2ac+2a2,又c=3,所以a2+2a-3=0,解得a=1(负值舍去),则2a=2.故选A.
3.D 根据题意,得F1(0,6),F2(0,−6),设P(x,y),x∈R,则PF1·PF2=(−x,6-y)·(-x,-6-y)=x2+y2-6,又y2=41+x22=4+2x2,所以PF1·PF2=x2+4+2x2-6=3x2-2,因为x∈R,所以当x=0时,PF1·PF2取得最小值-2,没有最大值.故选D.
4.解析 因为点A(10,23)在双曲线my2-4x2+4m=0上,
所以(23)2m-4×102+4m=0,解得m=25,
所以双曲线的方程为25y2-4x2+100=0,即x225−y24=1,
所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29,
因此实轴长为2a=10,虚轴长为2b=4,焦距为2c=229,焦点坐标为(29,0),(−29,0),顶点坐标为(-5,0),(5,0).
5.B 如图,设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
由最小直径为20 cm,可知a=10,
设点A503,t,B252,t-50,00)的离心率为4+b24=2,所以b=23.故选B.
7.D 不妨设点M在第一象限内,如图所示,
设双曲线E的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
∵△ABM是顶角为120°的等腰三角形,
∴|BM|=|AB|=2a,∠MBx=60°,
∴点M的坐标为(2a,3a),
又∵点M在双曲线E上,
∴4-3a2b2=1,整理,得a2=b2,而c2=a2+b2=2a2,
∴e2=c2a2=2,因此e=2.故选D.
8.解析 在△PF1F2中,由正弦定理得|PF1|sin∠PF2F1=|PF2|sin∠PF1F2,因为sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac,所以|PF2||PF1|=ac.
因为ac-a,所以2a2c-a>c-a,整理得e2-2e-10,解得-20),椭圆的方程为x2a22+y2b22=1(a2>b2>0),则a12=1,b12=8,所以a1=1,b1=22,c=3,所以
F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,所以|F1A|=6.由双曲线的定义可得,|F1A|-|F2A|=2a1=2,所以|F2A|=4.由椭圆的定义可得,|F1A|+|F2A|=10=2a2,所以a2=5,所以b22=a22-c2=16,所以椭圆的方程为x225+y216=1,所以椭圆的离心率e=ca2=35,故B正确,C错误;对于A,根据双曲线的方程易知,双曲线的渐近线方程为y=±b1a1x=±22x,故A错误;对于D,在△AF1F2中,由余弦定理得cs∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|22|AF1|·|AF2|=62+42-622×6×4=13,所以
sin∠F1AF2=1-cs2∠F1AF2=223,所以S△AF1F2=12|AF1||AF2|
sin∠F1AF2=12×6×4×223=82,故D正确.故选BD.
4.答案 302-30
信息提取 ①灯光的边界类似双曲线的一支;②渐近线互相垂直;③AB=80 cm,OC=20 cm.
数学建模 利用双曲线模型解决问题.先建立平面直角坐标系,设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),根据题意求方程,再根据双曲线的性质求解即可.
解析 以OC所在直线为x轴,垂直于OC的直线为y轴且使O为双曲线的右顶点,建立平面直角坐标系(图略).设该双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).
因为该双曲线的渐近线互相垂直,所以a=b.
由题意知,(a+20)2a2−402b2=1,
所以a=b=30,又c2=a2+b2,所以c=302,
故距点O较近的焦点距点O(302-30)cm.
5.答案 2
解析 由双曲线方程x2-y23=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得||PF1|−|PF2||=2,因为sin∠PF2F1sin∠PF1F2=e=2,所以由正弦定理得|PF1||PF2|=2,可求得|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=4,根据余弦定理可得cs∠PF2F1=14,所以F2P·F2F1=|F2P|·|F2F1|·cs∠PF2F1=2×4×14=2.
6.B 如图所示,连接AF1,BF1,易知F1,A,D共线,F1,B,C共线,AB⊥DF1.
设|AF1|=m,|AF2|=n,
由题意得tan∠ABF1=tan(180°-∠ABC)=-tan∠ABC=34=|AF1||AB|,所以|AB|=4m3,
在Rt△ABF1中,|BF1|=|AF1|2+|AB|2=5m3,
由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,
即m-n=2a,5m3-4m3-n=2a,解得m=3a,n=a,
在Rt△AF1F2中,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即(3a)2+a2=(2c)2,即4c2=10a2,∴e=ca=102.
故选B.
方法点睛 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质之一,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)有两种常见方法:
①求出a,c的值,代入公式e=ca求解;
②根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2将其转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a的最高次幂,转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(取值范围).
7.D 设AB的中点为D,A(0,a),B(0,5a),则D(0,3a),
依题意,以D(0,3a)为圆心,2a为半径的圆与渐近线ax-by=0有公共点,如图,
所以D(0,3a)到渐近线ax-by=0的距离d=3aba2+b2=3abc≤2a,即3b≤2c,即9b2≤4c2,
即9c2-9a2≤4c2,即5c2≤9a2,即c2a2≤95,
所以10,b>0)的左、右顶点分别为A,B,
所以A(-a,0),B(a,0),|AB|=2a,
又C(0,2b),线段AC的垂直平分线过点B,
所以|BC|=|BA|,即a2+4b2=2a,得b2=34a2,
所以c2=a2+b2=a2+34a2=74a2,
因此e=ca=74=72.
10.解析 (1)∵双曲线Q:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3,
∴ba=tanπ3=3,即b=3a,
∴c=a2+b2=a2+3a2=2a,
∴双曲线Q的离心率e=ca=2aa=2.
(2)由题意可画出图形,如图所示:
CD是该双曲线的一条渐近线y=bax,即bx-ay=0.
作AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,垂足分别为C,D,E,则四边形ACDB是梯形.
∵F是AB的中点,∴|EF|=d1+d22=3,
又F(c,0),∴由点到直线的距离公式可得|EF|=bca2+b2=b,
∴b=3,又b=3a,∴a=3,
故双曲线Q的方程为x23−y29=1.
11.解析 (1)当BF⊥AF时,|BF|=|AF|=a+c,
∵|BF|=b2a,∴a+c=b2a,
∴a2+ac=c2-a2,
∴2a2+ac-c2=0,∴e2-e-2=0,即(e-2)(e+1)=0,
又e>1,∴e=2.
(2)证明:设B(x,y),x>0,y>0,当x≠c时,tan∠BAF=kAB=yx+a,kBF=yx-c,由(1)可知b=3a,c=2a,
∴tan 2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF
=2yx+a1-yx+a2=2(x+a)y(x+a)2-y2=2(x+a)y(x+a)2-3a2x2a2-1
=2(x+a)y-2x2+2ax+4a2=y2a-x=yc-x=-kBF=tan∠BFA.
∵∠BAF,∠BFA∈0,π2∪π2,π,
∴∠BFA=2∠BAF.
当x=c时,|BF|=|AF|,∠BFA=90°=2∠BAF.
综上,∠BFA=2∠BAF.
12.B 由题意得F(c,0),双曲线C的渐近线方程为y=±bax.设点A,B的纵坐标分别为y1,y2,y1>0,y2>0,
所以A(c,y1),将其代入双曲线C的方程中,得c2a2−y12b2=1,所以y1=b2a,
所以|AF|=b2a,易得y2=bca,所以|BF|=bca.
因为|AB|=|AF|,所以|BF|=2|AF|,即bca=2b2a,
即c=2b,所以a=c2-b2=3b,故ba=33,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±33x,即x±3y=0,故选B.
13.B 如图,设双曲线Γ的左焦点为F1,连接AF1,
根据双曲线Γ与直线y=kx的对称性,知|OA|=|OB|.
因为|OA|=|OF|,2|OP|=3|OB|,线段AF的中点为P,
所以|AF1|=2|OP|=3c,OP⊥AF,又|OF|=c,|OP|=32c,所以|PF|=12c,|AF|=2|PF|=c.
根据双曲线的定义,知|AF1|-|AF|=2a,
所以3c-c=2a,
所以c2a2=23-12=4+23,
所以a2+b2a2=4+23,所以b2a2=3+23,
所以双曲线Γ的两条渐近线的斜率之积为-b2a2=−3−23,故选B.