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新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.10 函数的图象(2份打包,原卷版+含解析)
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1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识梳理
1.利用描点法作函数图象的方法步骤:列表、描点、连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y=-f(x).
②y=f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y=f(-x).
③y=f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y=-f(-x).
④y=ax (a>0,且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y=x对称))y=lgax(a>0,且a≠1).
(3)翻折变换
①y=f(x)eq \(―――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y=|f(x)|.
②y=f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右侧图象,并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y=f(|x|).
常用结论
1.左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=eq \f(a+b,2)对称.
(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x).
3.两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=|f(x)|为偶函数.( )
(2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.( )
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( )
(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( )
教材改编题
1.函数y=1-eq \f(1,x-1)的图象是( )
2.函数f(x)=ln(x+1)的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=________.
题型一 作函数图象
例1 作出下列各函数的图象:
(1)y=|lg2(x+1)|; (2)y=eq \f(2x-1,x-1); (3)y=x2-2|x|-1.
思维升华 函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法:对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法:含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
跟踪训练1 作出下列各函数的图象:
(1)y=x-|x-1|; (2)y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|; (3)y=|lg2x-1|.
题型二 函数图象的识别
例2 (1)函数f(x)=y=eq \f(22x+1ln|x|,2x)的图象大致为( )
(2)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]上的大致图象,则该函数是( )
A.y=eq \f(-x3+3x,x2+1) B.y=eq \f(x3-x,x2+1)
C.y=eq \f(2xcs x,x2+1) D.y=eq \f(2sin x,x2+1)
思维升华 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
跟踪训练2 (1)函数f(x)=eq \f(2xsin x,4x+1)的大致图象为( )
(2)已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex-1-1,x≤1,,lg2x,x>1,))则函数y=f(1-x)的图象大致为( )
题型三 函数图象的应用
命题点1 利用图象研究函数的性质
例3 (多选)已知函数f(x)=eq \f(2x,x-1),则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称
B.函数f(x)在(-∞,1)上单调递减
C.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴
D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
命题点2 利用图象解不等式
例4 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
A.(-eq \r(2),0)∪(eq \r(2),2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-eq \r(2),0)∪(eq \r(2),2)
D.(-2,-eq \r(2))∪(0,eq \r(2))∪(2,+∞)
命题点3 利用图象求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x-1|,x≤2,,-x+5,x>2,))若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.[0,1)
C.(1,3)∪{0} D.[1,3)∪{0}
思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
跟踪训练3 (1)把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,+∞)上单调递增,则a的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________.
课时精练
1.为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象( )
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
2.函数y=(3x-3-x)·cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2)))上的图象大致为( )
3.已知某个函数的图象如图所示,则下列解析式中与此图象最为符合的是( )
A.f(x)=eq \f(ln|x-1|,x) B.f(x)=eq \f(x,ln|x-1|)
C.f(x)=eq \f(x-2,|x|-1) D.f(x)=eq \f(x-2,xx-1)
4.若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为( )
5.已知f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,当-5≤x≤0时,f(x)的图象如图所示,则不等式eq \f(fx,sin x)0 B.b0 D.abc
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