新高考数学一轮复习讲义 第42讲 直线与椭圆（2份打包，原卷版+含解析）

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一、知识点梳理
一、点与椭圆的位置关系
二、直线和曲线联立
1.椭圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
椭圆 SKIPIF 1 < 0 与过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，设为 SKIPIF 1 < 0 ，如此消去 SKIPIF 1 < 0 ，保留 SKIPIF 1 < 0 ，构造的方程如下： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出 SKIPIF 1 < 0 ，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
三、直线与椭圆的位置关系
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，把二者方程联立得到方程组，消去 SKIPIF 1 < 0 得到一个关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
SKIPIF 1 < 0 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
SKIPIF 1 < 0 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
四、根的判别式和韦达定理
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立，两边同时乘上 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，为了方便叙述，将上式简记为 SKIPIF 1 < 0 ．该式可以看成一个关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，判别式为 SKIPIF 1 < 0 可简单记 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
同理 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，为了方便叙述，将上式简记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可简记 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 与C相离 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与C相切 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与C相交 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：（1）由韦达定理写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，注意隐含条件 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互换位置即可．
五、弦长公式
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 根据两点距离公式 SKIPIF 1 < 0 ．
1.若 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，代入化简，得 SKIPIF 1 < 0 ；
2.若 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入化简，得 SKIPIF 1 < 0
3.构造直角三角形求解弦长， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．其中 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 斜率， SKIPIF 1 < 0 为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为 SKIPIF 1 < 0 ，判别式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
六、已知弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，研究 SKIPIF 1 < 0 的斜率和方程
SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一条弦，中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
运用点差法求 SKIPIF 1 < 0 的斜率；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
二、题型分类精讲
题型一 点与椭圆的位置关系
策略方法 点与椭圆的位置关系问题的一般思路
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆外 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 >1;
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0