新高考数学一轮复习讲义第30讲数列求和（2份打包，原卷版+含解析）

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第30讲数列求和（精讲）题型目录一览一、知识点梳理一、公式法（1）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 （2）等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 （3）一些常见的数列的前n项和：① SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④ SKIPIF 1 < 0 二、几种数列求和的常用方法（1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和即可用错位相减法求解．（5）倒序相加法：如果一个数列 SKIPIF 1 < 0 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和即可用倒序相加法求解．【常用结论】裂项技巧①等差型（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0 （4） SKIPIF 1 < 0 （5） SKIPIF 1 < 0 （6） SKIPIF 1 < 0 ②根式型（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0 ③指数型（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0 ④三角型（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0 ⑤阶乘（1） SKIPIF 1 < 0 二、题型分类精讲题型一裂项相消法策略方法（1）基本步骤（2）裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【典例1】正项的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 ．【典例2】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．【题型训练】一、单选题1．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．设数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列 SKIPIF 1 < 0 ，四边形数组成数列 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，将数列 SKIPIF 1 < 0 与数列 SKIPIF 1 < 0 的公共项从小到大排列得到新数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 5．数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，对一切正整数n，点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 （）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 6．若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 二、填空题7．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为．8．数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，又记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．9．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．10．数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .三、解答题11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .14．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，首项 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在斜率为1的直线上．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求证： SKIPIF 1 < 0 ．15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .16．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．17．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .18．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为常数.(1)求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和的 SKIPIF 1 < 0 .19．设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．若对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．20．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ．(2)设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，证明： SKIPIF 1 < 0 ．21．已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，从① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.22．已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．23．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．24．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .题型二错位相减法策略方法错位相减法求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和（1）适用条件若 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 SKIPIF 1 < 0 ；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．等差乘等比数列求和，令 SKIPIF 1 < 0 ，可以用错位相减法． SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ．整理得： SKIPIF 1 < 0 ．【典例1】在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．【题型训练】一、单选题1． SKIPIF 1 < 0 （）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为（　　）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前100项之和为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 二、填空题4．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn﹣2Sn﹣1﹣2＝0（n≥2），则数列{nan}的前n项和Tn＝．5．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 和数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .三、解答题7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .8．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项.(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ,且满足 SKIPIF 1 < 0 ,数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积 SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列．(1)分别求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 ，求出数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．11．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .12．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，(1)若数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .14．正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .16．已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.18．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项；(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．19．数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足条件① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，请从条件①②中选一个，求出数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．题型三分组（并项）求和法策略方法分组转化法求和的常见类型【典例1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；(1)求它的通项 SKIPIF 1 < 0 (2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．【题型训练】一、解答题1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .2．若数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；(2)求 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．3．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式与前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)令 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (1)记 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为等比数列；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .6．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 其中A，B，q为常数．(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；(2)在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和 SKIPIF 1 < 0 ．7．已知首项为3的数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求证数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列.(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)求 SKIPIF 1 < 0 .11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2023项和 SKIPIF 1 < 0 .12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 .(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项的和.13．已知 SKIPIF 1 < 0 是各项均为正数的数列， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．14．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．15．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求满足 SKIPIF 1 < 0 的k的值．16．已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .17．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上．(1)求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 ．18．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 为递增的正项等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项的和.题型四倒序相加法策略方法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式的推导即用此方法）．【典例1】设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上任意两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 点的纵坐标为定值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ；【题型训练】一、解答题1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 对一切实数 SKIPIF 1 < 0 总有 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 分别求数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2020项和 SKIPIF 1 < 0 ．3．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)计算 SKIPIF 1 < 0 的值．(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.5.已知f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 .（1）求证：点P的纵坐标是定值；（2）若数列{an}的通项公式是an＝ SKIPIF 1 < 0 ，求数列{an}的前m项和Sm.6．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（1）计算 SKIPIF 1 < 0 的值．（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．7．设奇函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值； SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列吗？请给予证明；8．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上的任意两点.（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；（3）对于（2）中的 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项的和，求证 SKIPIF 1 < 0 .9．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．题型五数列求和的其他方法【典例1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 前n项的和 SKIPIF 1 < 0 ．【题型训练】一、单选题1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（）A．1008 B．1009 C．1010 D．10112．已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）A．30 B．31 C．32 D．334．对于实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）．A．155 B．167 C．173 D．1795．设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 6．已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）.A．0 B．4 C．74 D．80二、填空题7．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 最小值为___________8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的前9项之和为 .三、解答题9．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，公差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项；（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .12．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项之积为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 中的项的个数，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前50项和 SKIPIF 1 < 0 .14．在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知 SKIPIF 1 < 0 为公差不为零的等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ，（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；（2）令 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，求 SKIPIF 1 < 0 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①裂项相消法②错位相减法③分组（并项）求和法④倒序相加法⑤数列求和的其他方法