新高考数学一轮复习讲义第2章　§2.11　函数的零点与方程的解（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．( )
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．( )
教材改编题
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
2．函数y＝eq \f(3,x)－ln x的零点所在区间是( )
A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
延伸探究 用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知x1＋ SKIPIF 1 < 0 ＝0，x2＋lg2x2＝0, SKIPIF 1 < 0 －lg2x3＝0，则( )
A．x1C．x1思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练1 (1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－ SKIPIF 1 < 0 |x|的零点个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 023]上根的个数为( )
A．404 B．405 C．406 D．203
思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
跟踪训练2 (1)设定义域为R的函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为( )
A．3 B．7 C．5 D．6
(2)函数f(x)＝eq \r(36－x2)·cs x的零点个数为______．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据零点个数求参数
例3 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2，x≤2，,lg3x－1，x>2，))g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为( )
A．(2eq \r(2)－6,0) B．(2eq \r(3)－6,0)
C．(－2,0) D．(2eq \r(5)－6,0)
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例4 已知函数f(x)＝3x－eq \f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))
C．(－∞，0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
跟踪训练3 (1)函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．0C．1(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,e)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))∪{－1}
课时精练
1．设函数f(x)＝2x＋eq \f(x,3)的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(－4，－2) B．(－2，－1)
C．(1,2) D．(2,4)
2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x≤0，,lg2x－3x＋4，x>0))的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数f(x)＝lg2(x＋1)－eq \f(1,x)＋m在区间(1,3]上有零点，则实数m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，0))
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x<0，,1＋|x－1|，x≥0，))若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．(0,1) D．[1，＋∞)
6．已知函数f(x)＝x－eq \r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x1C．x27．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
8．(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是( )
A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ＋1 D．f(x)＝|lg2x|－1
9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．
10．函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________．
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－1|，x≤1，,x－22，x>1，))函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x113．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
14．已知函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)－sin x－1，x∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f(x)的所有零点之和为________．
15．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，若关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e－1,6)，\f(e－1,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e－1,6)，\f(e－1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e－1,8)，\f(e－1,6))) D．(0，e－1)
16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|