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2025版高考物理全程一轮复习第九章静电场及其应用静电场中的能量第一讲静电场及其应用学案
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这是一份2025版高考物理全程一轮复习第九章静电场及其应用静电场中的能量第一讲静电场及其应用学案，共14页。学案主要包含了必备知识·自主落实，关键能力·思维进阶等内容，欢迎下载使用。
【必备知识·自主落实】
1．点电荷、电荷守恒定律
(1)点电荷：有一定的电荷量，忽略形状和________的一种理想化模型．类似于质点模型
(2)电荷守恒定律
①内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体________到另一个物体，或者从物体的一部分________到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持________．
②起电方式：________、________、感应起电．
③带电实质：物体带电的实质是________．
2．库仑定律
(1)内容：________中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的________________成正比，与它们的距离的________成反比，作用力的方向在它们的连线上．
(2)表达式：F＝______，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫静电力常量．库仑用扭秤测出
(3)适用条件：
①________中；
②________．
【关键能力·思维进阶】
库仑定律的理解和应用
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
(3)对于两个带电金属球相距较近时，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
①同种电荷：F＜k；
②异种电荷：F＞k.
(4)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了．
考向1 库仑定律与电荷守恒定律的结合
例 1 如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC.若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为( )
A． B． C． D．
思维提升
完全相同的带电体接触后电荷的分配原则
(1)若两带电体带同种电荷q1、q2，则接触后电荷量平均分配，即q′1＝q′2＝.
(2)若两带电体带异种电荷q1、q2，则接触后电荷量先中和后平分，即：＝＝(q1、需要带入正负号)，电性与电荷量大的带电体相同．
考向2 库仑力的叠加
例 2 如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为r的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k，则A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为( )
A． B． C． D．2
考向3 库仑力作用下的平衡
例 3[2023·海南卷]
如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是( )
A．2n2∶1 B．4n2∶1
C．2n3∶1 D．4n3∶1
例 4 如图所示，
质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带负电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是( )
A．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍
B．小球A受到五个作用力
C．弹簧弹力等于B、C两个小球对A球引力的矢量和
D．剪断弹簧后B、C两个小球一起做自由落体运动
例 5 如图所示，
在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
思维提升
静电力作用下的平衡问题
(1)涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力，具体步骤如下：
(2)“三个自由点电荷平衡”模型
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置．
②模型特点：
考点二 电场强度的理解与计算
【必备知识·自主落实】
1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的________．
2．定义式：E＝．单位：N/C或V/m.
比值定义法
3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝________．
4．方向：规定________在电场中某点所受________的方向为该点的电场强度方向．
5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的________和，遵从____________定则．
【关键能力·思维进阶】
1．三个计算公式的比较
2.电场强度的叠加(如图所示)
例 6 (多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则( )
A．点电荷Q一定为正电荷
B．点电荷Q在A、B之间
C．A点的电场强度大小为2×103 N/C
D．同一电荷在A点受到的电场力比在B点的大
例 7[2023·湖南卷]
如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°.若P点处的电场强度为零，q> 0，则三个点电荷的电荷量可能为( )
A．Q1＝q，Q2＝q，Q3＝q
B．Q1＝－q，Q2＝－q，Q3＝－4q
C．Q1＝－q，Q2＝q，Q3＝－q
D．Q1＝q，Q2＝－q，Q3＝4q
考点三 电场线的理解及应用
【必备知识·自主落实】
1．电场线的定义：为了形象地了解和描述电场中各点电场强度的________和________，在电场中画出一条条有方向的曲线，曲线上每点的________表示该点的电场强度方向，曲线的________表示电场强度的大小．
2．电场线的特点
3．处于静电平衡状态的导体的特点
(1)导体内部的电场强度________．
(2)导体是一个等势体，导体表面是等势面．
(3)导体表面处的电场强度方向与导体表面________．
(4)导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上．
(5)在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷．
【关键能力·思维进阶】
1．两种等量点电荷的电场线
2.分析电场中运动轨迹问题的方法
画出运动轨迹在初始位置的切线(“速度线”)与在初始位置电场线的切线(“力线”)方向，从二者的夹角情况来分析曲线运动的情况．
例 8 (多选)[2024·河南安阳统考二模]如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且aO＝bO＝cO＝dO，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是( )
A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大
B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大
C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0
D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0
例 9[2023·全国甲卷]在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集．下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
核心素养提升非点电荷电场强度的叠加及计算
方法1 等效法——科学思维
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
典例1 如图所示，
一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的．像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷＋Q在此镜中的像位置．已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN.则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
方法2 对称法——科学思维
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向．
典例2 [2024·湖南统考模拟预测]如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动L的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为( )
A.B．
C． D．
方法3 填补法——科学思维
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
典例3 (多选)
[2024·陕西汉中期末]如图所示，以O为圆心，半径为R的球内有一个半径为R的空腔，OA为空腔的直径，实心部分均匀分布有正电荷，OA延长线上的B点与O点距离为R，已知均匀带电球壳内的场强为零，均匀带电球体外某点的电场可以看成是电荷量集中在球心的点电荷产生的电场，则A、B两点的电场强度大小之比为( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
方法4 微元法——科学思维
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
典例4 如图所示，
均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，则P点的场强为( )
A． B．
D．
第1讲 静电场及其应用
考点一
必备知识·自主落实
1．（1）大小 （2）①转移 转移 不变 ②摩擦起电 接触起电 ③得失电子
2．（1）真空 电荷量的乘积 二次方 （2）k （3）①真空 ②点电荷
关键能力·思维进阶
例1 解析：设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝＝，所以＝，故选C.
答案：C
例2 解析：由题意可得，两点电荷间的静电力为F＝k
由三个带正电的点电荷构成等边三角形，由几何知识可得，A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为F合＝2F cs 30°＝k，故选C.
答案：C
例3 解析：
如图所示，P球受到A、B的库仑斥力FA、FB和指向圆心的轨道弹力作用而平衡，由正弦定理有＝，又∠CPH＝∠OPB，∠CHP＝∠HPD＝∠APO，在△APO中，有＝，同理在△BPO中，有＝，设小球P的带电荷量为q，则FA＝k，FB＝k，联立解得Q1∶Q2＝2n3∶1，C对．
答案：C
例4
解析：根据受力平衡可得B、C小球带等量的正电，设小球A、B的电荷量绝对值分别为qA、qB，A、B之间的库仑力FAB＝k
B、C之间的库仑力FBC＝
分析B受力如图所示，
可得FABcs θ＝FBC，θ＝60°
得qA＝2qB，故A正确；
分析A的受力有重力、两个库仑力和弹簧弹力，共四个力，故B错误；
把三个小球看成整体，可得弹簧弹力等于三个小球的总重力，故C错误；
剪断弹簧后A受重力和B、C小球对A的库仑力，A下落的加速度大于重力加速度，剪断瞬间小球B、C受力不变，加速度为零，故D错误．故选A.
答案：A
例5 解析：根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确．
答案：C
考点二
必备知识·自主落实
1．比值
3．k
4．正电荷 电场力
5．矢量 平行四边形
关键能力·思维进阶
例6 解析：由题图乙知，两直线都是过原点的倾斜直线，由场强的定义式可知，其斜率的绝对值大小为各点的场强大小，则EA＝＝2×103 N/C，EB＝＝0.5×103 N/C＝.同一电荷在A点受到的静电力比在B点的大，C、D正确；由题图知正试探电荷在A点受静电力方向为正，负试探电荷在B点受静电力方向也为正，可得A、B两点电场强度方向相反，则点电荷Q在A、B之间，且为负电荷，A错误，B正确．
答案：BCD
例7 解析：选项A、B的电荷均为正或均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，P点的场强不可能为零，A、B错误；
设P、Q1间的距离为r，P点场强为零，故Q2、Q3在P点产生场强的水平分场强等大反向，即
k·cs 60°＝k·cs 30°
解得＝，C错误，D正确．
答案：D
考点三
必备知识·自主落实
1．大小 方向 切线方向 疏密
2．①正电荷 ②不相交 ③电场强度 ④电场强度方向 ⑤降低 ⑥垂直
3．（1）处处为零 （3）垂直
关键能力·思维进阶
例8 解析：真空中两个等量异种点电荷的电场线分布如图
可得两电荷连线上的电场强度方向相同，从a点到b点，电场强度先减小后增大，所以Ea＝Eb>EO，故A错误；
cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电场强度方向相同，从c点到d点，电场强度先增大后减小，所以Ec＝Ed因为ab连线上电场方向向右，所以φa>φb
cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电势都为零，即φc＝φd＝φO＝0
故C正确，D错误．
答案：BC
例9 解析：电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；
受力分析为
可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；
受力分析为
可见与电场力的受力特点相互矛盾，C错误；
受力分析为
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误．故选A.
答案：A
核心素养提升
典例1 解析：由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝k＋k＝，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，
由图可知Ea＞Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势高于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误．
答案：B
典例2 解析：没有截取一小段时，根据对称性可知，O点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在O点产生的场强等大反向，剩下的部分在O点产生的场强大小为E1＝k
方向水平向左，当截取部分移到N点时，其在O点产生的场强大小为E2＝k
方向水平向右，则O点的合场强大小为E＝E1－E2＝
方向水平向左，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，该点电荷受到的电场力大小为F＝EQ＝，故选D.
答案：D
典例3 解析：设半径为R的实心球带电荷量为q，将空腔内补上电荷密度相同的小球体，则补进去的小球体带电荷量q′＝＝，因均匀带电球壳内场强为零，则补上小球体后A点场强等于以O为圆心，半径为的实心球所产生的场强，此实心球带电荷量q″＝＝，在A点产生的电场强度大小E″＝＝，而小球体在A点产生的电场强度大小E′＝＝，方向由A指向B，所以题中实际球壳在A点产生的电场强度大小EA＝E″－E′＝，方向由A指向B；题中球壳在B点产生的电场强度大小可视为补上空腔后带电荷量为q的实心球产生的电场与带电荷量为－的小球在此点产生的合电场的场强大小，EB＝＝，故A、B两点的电场强度大小之比为＝，选项D正确．
答案：D
典例4 解析：
设想将圆环看成由n个小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量Q′＝，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P处产生的场强为E＝＝.由对称性知，各小段带电体在P处场强E的垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电圆环在P处的场强EP，EP＝nEx＝nkcs θ＝k.故选项C正确．
答案：C
课 程 标 准
素 养 目 标
1.通过实验，了解静电现象．能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象．
2．知道点电荷模型．知道两个点电荷间相互作用的规律．体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法．
3．知道电场是一种物质．了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法．会用电场线描述电场．
4．了解生产生活中关于静电的利用与防护．
物理观念：认识点电荷，了解电场的描述，掌握电场强度和电场线的特点．
科学思维：建构生活中带电物体的模型，使用对称、割补等物理方法，解决静电场中的矢量运算；强化电场的理解，运用电场线的规律解释不同场中的现象，并对电场强度、电势进行相关比较；从原理上会阐述静电现象的成因，从而更好地利用静电．
公式
适用条件
说明
定义式
E＝
任何电场
某点的电场强度为确定值，大小及方向与q无关
决定式
E＝k
真空中静止点电荷的电场
E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定
关系式
E＝
匀强电场
d是沿电场方向的距离
比较
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布
中垂线上的电场强度
O点最大，向外逐渐减小
O点为零，向外先变大后变小
连线上的电场强度
沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度最小
沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度为零
【必备知识·自主落实】
1．点电荷、电荷守恒定律
(1)点电荷：有一定的电荷量，忽略形状和________的一种理想化模型．类似于质点模型
(2)电荷守恒定律
①内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体________到另一个物体，或者从物体的一部分________到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持________．
②起电方式：________、________、感应起电．
③带电实质：物体带电的实质是________．
2．库仑定律
(1)内容：________中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的________________成正比，与它们的距离的________成反比，作用力的方向在它们的连线上．
(2)表达式：F＝______，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫静电力常量．库仑用扭秤测出
(3)适用条件：
①________中；
②________．
【关键能力·思维进阶】
库仑定律的理解和应用
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
(3)对于两个带电金属球相距较近时，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
①同种电荷：F＜k；
②异种电荷：F＞k.
(4)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了．
考向1 库仑定律与电荷守恒定律的结合
例 1 如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC.若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为( )
A． B． C． D．
思维提升
完全相同的带电体接触后电荷的分配原则
(1)若两带电体带同种电荷q1、q2，则接触后电荷量平均分配，即q′1＝q′2＝.
(2)若两带电体带异种电荷q1、q2，则接触后电荷量先中和后平分，即：＝＝(q1、需要带入正负号)，电性与电荷量大的带电体相同．
考向2 库仑力的叠加
例 2 如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为r的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k，则A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为( )
A． B． C． D．2
考向3 库仑力作用下的平衡
例 3[2023·海南卷]
如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是( )
A．2n2∶1 B．4n2∶1
C．2n3∶1 D．4n3∶1
例 4 如图所示，
质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带负电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是( )
A．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍
B．小球A受到五个作用力
C．弹簧弹力等于B、C两个小球对A球引力的矢量和
D．剪断弹簧后B、C两个小球一起做自由落体运动
例 5 如图所示，
在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
思维提升
静电力作用下的平衡问题
(1)涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力，具体步骤如下：
(2)“三个自由点电荷平衡”模型
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置．
②模型特点：
考点二 电场强度的理解与计算
【必备知识·自主落实】
1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的________．
2．定义式：E＝．单位：N/C或V/m.
比值定义法
3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝________．
4．方向：规定________在电场中某点所受________的方向为该点的电场强度方向．
5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的________和，遵从____________定则．
【关键能力·思维进阶】
1．三个计算公式的比较
2.电场强度的叠加(如图所示)
例 6 (多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则( )
A．点电荷Q一定为正电荷
B．点电荷Q在A、B之间
C．A点的电场强度大小为2×103 N/C
D．同一电荷在A点受到的电场力比在B点的大
例 7[2023·湖南卷]
如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°.若P点处的电场强度为零，q> 0，则三个点电荷的电荷量可能为( )
A．Q1＝q，Q2＝q，Q3＝q
B．Q1＝－q，Q2＝－q，Q3＝－4q
C．Q1＝－q，Q2＝q，Q3＝－q
D．Q1＝q，Q2＝－q，Q3＝4q
考点三 电场线的理解及应用
【必备知识·自主落实】
1．电场线的定义：为了形象地了解和描述电场中各点电场强度的________和________，在电场中画出一条条有方向的曲线，曲线上每点的________表示该点的电场强度方向，曲线的________表示电场强度的大小．
2．电场线的特点
3．处于静电平衡状态的导体的特点
(1)导体内部的电场强度________．
(2)导体是一个等势体，导体表面是等势面．
(3)导体表面处的电场强度方向与导体表面________．
(4)导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上．
(5)在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷．
【关键能力·思维进阶】
1．两种等量点电荷的电场线
2.分析电场中运动轨迹问题的方法
画出运动轨迹在初始位置的切线(“速度线”)与在初始位置电场线的切线(“力线”)方向，从二者的夹角情况来分析曲线运动的情况．
例 8 (多选)[2024·河南安阳统考二模]如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且aO＝bO＝cO＝dO，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是( )
A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大
B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大
C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0
D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0
例 9[2023·全国甲卷]在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集．下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
核心素养提升非点电荷电场强度的叠加及计算
方法1 等效法——科学思维
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
典例1 如图所示，
一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的．像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷＋Q在此镜中的像位置．已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN.则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
方法2 对称法——科学思维
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向．
典例2 [2024·湖南统考模拟预测]如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动L的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为( )
A.B．
C． D．
方法3 填补法——科学思维
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
典例3 (多选)
[2024·陕西汉中期末]如图所示，以O为圆心，半径为R的球内有一个半径为R的空腔，OA为空腔的直径，实心部分均匀分布有正电荷，OA延长线上的B点与O点距离为R，已知均匀带电球壳内的场强为零，均匀带电球体外某点的电场可以看成是电荷量集中在球心的点电荷产生的电场，则A、B两点的电场强度大小之比为( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
方法4 微元法——科学思维
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
典例4 如图所示，
均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，则P点的场强为( )
A． B．
D．
第1讲 静电场及其应用
考点一
必备知识·自主落实
1．（1）大小 （2）①转移 转移 不变 ②摩擦起电 接触起电 ③得失电子
2．（1）真空 电荷量的乘积 二次方 （2）k （3）①真空 ②点电荷
关键能力·思维进阶
例1 解析：设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝＝，所以＝，故选C.
答案：C
例2 解析：由题意可得，两点电荷间的静电力为F＝k
由三个带正电的点电荷构成等边三角形，由几何知识可得，A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为F合＝2F cs 30°＝k，故选C.
答案：C
例3 解析：
如图所示，P球受到A、B的库仑斥力FA、FB和指向圆心的轨道弹力作用而平衡，由正弦定理有＝，又∠CPH＝∠OPB，∠CHP＝∠HPD＝∠APO，在△APO中，有＝，同理在△BPO中，有＝，设小球P的带电荷量为q，则FA＝k，FB＝k，联立解得Q1∶Q2＝2n3∶1，C对．
答案：C
例4
解析：根据受力平衡可得B、C小球带等量的正电，设小球A、B的电荷量绝对值分别为qA、qB，A、B之间的库仑力FAB＝k
B、C之间的库仑力FBC＝
分析B受力如图所示，
可得FABcs θ＝FBC，θ＝60°
得qA＝2qB，故A正确；
分析A的受力有重力、两个库仑力和弹簧弹力，共四个力，故B错误；
把三个小球看成整体，可得弹簧弹力等于三个小球的总重力，故C错误；
剪断弹簧后A受重力和B、C小球对A的库仑力，A下落的加速度大于重力加速度，剪断瞬间小球B、C受力不变，加速度为零，故D错误．故选A.
答案：A
例5 解析：根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确．
答案：C
考点二
必备知识·自主落实
1．比值
3．k
4．正电荷 电场力
5．矢量 平行四边形
关键能力·思维进阶
例6 解析：由题图乙知，两直线都是过原点的倾斜直线，由场强的定义式可知，其斜率的绝对值大小为各点的场强大小，则EA＝＝2×103 N/C，EB＝＝0.5×103 N/C＝.同一电荷在A点受到的静电力比在B点的大，C、D正确；由题图知正试探电荷在A点受静电力方向为正，负试探电荷在B点受静电力方向也为正，可得A、B两点电场强度方向相反，则点电荷Q在A、B之间，且为负电荷，A错误，B正确．
答案：BCD
例7 解析：选项A、B的电荷均为正或均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，P点的场强不可能为零，A、B错误；
设P、Q1间的距离为r，P点场强为零，故Q2、Q3在P点产生场强的水平分场强等大反向，即
k·cs 60°＝k·cs 30°
解得＝，C错误，D正确．
答案：D
考点三
必备知识·自主落实
1．大小 方向 切线方向 疏密
2．①正电荷 ②不相交 ③电场强度 ④电场强度方向 ⑤降低 ⑥垂直
3．（1）处处为零 （3）垂直
关键能力·思维进阶
例8 解析：真空中两个等量异种点电荷的电场线分布如图
可得两电荷连线上的电场强度方向相同，从a点到b点，电场强度先减小后增大，所以Ea＝Eb>EO，故A错误；
cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电场强度方向相同，从c点到d点，电场强度先增大后减小，所以Ec＝Ed
cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电势都为零，即φc＝φd＝φO＝0
故C正确，D错误．
答案：BC
例9 解析：电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；
受力分析为
可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；
受力分析为
可见与电场力的受力特点相互矛盾，C错误；
受力分析为
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误．故选A.
答案：A
核心素养提升
典例1 解析：由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝k＋k＝，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，
由图可知Ea＞Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势高于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误．
答案：B
典例2 解析：没有截取一小段时，根据对称性可知，O点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在O点产生的场强等大反向，剩下的部分在O点产生的场强大小为E1＝k
方向水平向左，当截取部分移到N点时，其在O点产生的场强大小为E2＝k
方向水平向右，则O点的合场强大小为E＝E1－E2＝
方向水平向左，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，该点电荷受到的电场力大小为F＝EQ＝，故选D.
答案：D
典例3 解析：设半径为R的实心球带电荷量为q，将空腔内补上电荷密度相同的小球体，则补进去的小球体带电荷量q′＝＝，因均匀带电球壳内场强为零，则补上小球体后A点场强等于以O为圆心，半径为的实心球所产生的场强，此实心球带电荷量q″＝＝，在A点产生的电场强度大小E″＝＝，而小球体在A点产生的电场强度大小E′＝＝，方向由A指向B，所以题中实际球壳在A点产生的电场强度大小EA＝E″－E′＝，方向由A指向B；题中球壳在B点产生的电场强度大小可视为补上空腔后带电荷量为q的实心球产生的电场与带电荷量为－的小球在此点产生的合电场的场强大小，EB＝＝，故A、B两点的电场强度大小之比为＝，选项D正确．
答案：D
典例4 解析：
设想将圆环看成由n个小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量Q′＝，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P处产生的场强为E＝＝.由对称性知，各小段带电体在P处场强E的垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电圆环在P处的场强EP，EP＝nEx＝nkcs θ＝k.故选项C正确．
答案：C
课 程 标 准
素 养 目 标
1.通过实验，了解静电现象．能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象．
2．知道点电荷模型．知道两个点电荷间相互作用的规律．体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法．
3．知道电场是一种物质．了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法．会用电场线描述电场．
4．了解生产生活中关于静电的利用与防护．
物理观念：认识点电荷，了解电场的描述，掌握电场强度和电场线的特点．
科学思维：建构生活中带电物体的模型，使用对称、割补等物理方法，解决静电场中的矢量运算；强化电场的理解，运用电场线的规律解释不同场中的现象，并对电场强度、电势进行相关比较；从原理上会阐述静电现象的成因，从而更好地利用静电．
公式
适用条件
说明
定义式
E＝
任何电场
某点的电场强度为确定值，大小及方向与q无关
决定式
E＝k
真空中静止点电荷的电场
E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定
关系式
E＝
匀强电场
d是沿电场方向的距离
比较
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布
中垂线上的电场强度
O点最大，向外逐渐减小
O点为零，向外先变大后变小
连线上的电场强度
沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度最小
沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度为零
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