初中数学北师大版（2024）七年级上册3 探索与表达规律完美版教学ppt课件

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1.经历由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用；2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性；(重点）3.能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象.（难点）
1.进行整式加减运算时，如果遇到括号要先________，再____________．2．若多项式3x2－2xy－y2减去多项式M，所得的差是－5x2＋xy－2y2，则多项式M是(　　)A．8x2－3xy＋y2 B．2x2＋xy＋3y2C．－8x2＋3xy－y2 D．－2x2－xy－3y2
游戏：随便想一个自然数，将这个数乘5减7，再把结果乘2加14，无论开始想的自然数是什么，按照上面方法计算得到的数的个位数字一定是0. 你能用所学知识解释这其中的道理吗？
我们可以设任意一个自然数为x，则根据上面的方法可得： 2(5x-7)+14=10x-14+14=10x所以按照上面方法计算得到的数的个位数字一定是0.
利用本章所学知识，我们可以进一步探索和表达规律。
探究一：数字和数式中的规律
请同学们认真观察月历表，回答下列问题：
(1)日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系?你有什么猜想？
图中蓝色方框中九个数之和=90=9×10.
猜想：套色方框中的 9 个数之和是该方框正中间数的9倍。
则9个数的和为：(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = .
结论:方框中九个数之和=9×正中间的数.
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗?
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗? 为什么?
都成立.其他月份的日历仍然可以用以上方法表示出：方框中九个数之和=9×正中间的数。
(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?用代数式表示.
答案不唯一，例如：方框中第一行和第三行的六个数之和=中间一行三个数之和×2. 方框中第一列和第三列的六个数之和=中间一列三个数之和×2.
(1)如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？
规律: 十字形中五数之和=5×中间数
图中十字形框中5个数之和=45=9×5.
设正中间数为a:则五个数之和=a+(a-7)+(a+7)+(a-1)+(a+1)=5a
(2)如果改为H形框呢，你能发现哪些规律？
规律: “H”形中七数之和=7×中间数
图中十字形框中7个数之和=63=9×7.
五个数之和=a+(a-8)+(a+8)+(a-1)+(a+1)+(a-6)+(a+6)=7a
(3)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
规律: “X”形中五数之和=5×中间数
用图形框数问题的求解方法：设中间的数为a，并用含a的代数式表示各个被框数，计算它们的和，进而解决问题．
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用代数式表示数字或数式规律：（1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律;（2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系；（3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.
（2）摆第n个图案需要 颗棋子.
（3）摆第100个这样的“小房子”需要 枚棋子.
5+6(n-1)=6n-1
1.先观察图形的变化趋势，观察相邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系；2.然后运用从特殊到一般的探索方式，找出变化规律，并用含n的代数式表示出来；3.最后用代入法求出特殊情况下的数值．
表达图形中规律的方法：
探究三：借助运算解释规律
你知道小明是怎样算出来的吗？
设十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数表示为10x＋y．则： (2x＋3)×5＋y＝10x＋15＋y．
结果减去15就是心里想的数．
利用整式的加减运算可以解释许多规律。
=（10x＋y）＋15．
　　解：假设三堆棋子的数目都为a(a≥4)．　　第一轮取放结束后，左堆有（a－3）枚棋子，中堆有（a＋3＋4）枚棋子，右堆有（a－4）枚棋子．　　第二轮取放结束后，左堆有2（a－3）枚棋子，中堆有[（a＋3＋4）－（a－3）]枚棋子，右堆有（a－4）枚棋子．　　因为（a＋3＋4）－（a－3）＝a＋7－a＋3＝10．　　所以此时中堆有10枚棋子．
解：(1)因为40÷9＝4……4，所以数40排在第5行第4列．
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(2)探究如图中的“＋”字框中的5个数，设这5个数中间的数为a.①最小的数为 ，最大的数为 ．
a－9 a＋9
(2)①设中间的数为a，其他四个数分别为a－9，a－1，a＋1，a＋9，则最小的数为a－9，最大的数为a＋9.
②根据题意可得a－9＋a－1＋a＋a＋1＋a＋9＝240，所以a＝48. 所以这5个数中间的数为48.
②若这5个数的和是240，求出这5个数中间的数．
③不能．理由：根据题意可得a－9＋a－1＋a＋a＋1＋a＋9＝2025，则a＝405.因为405÷9＝45，所以405是第9列的最后一个数，所以这5个数的和不可能是2025.
③这5个数的和可能是2025吗，若能，求出这5个数中间的数；若不能，请说明理由．
[解析] (1)由图中数据可知，从2开始的连续偶数的和，正好等于加数的个数×(加数的个数＋1)，由此即可得出S与n之间的关系；(2)直接利用公式计算即可．
解：(1)S＝n(n＋1)．(2)2＋4＋6＋…＋100＝50×51＝2550.
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解：(2)摆成第10个“H”字需要52颗棋子，摆成第n个“H”字需要7＋5(n－1)＝(5n＋2)颗棋子．
解：614－416＝198，198＋891＝1089，结果一定是1089.设百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为a－2.第一步：100a＋10b＋a－2＝101a＋10b－2；第二步：100(a－2)＋10b＋a＝101a＋10b－200；第三步：两式相减一定等于198.所以，结果一定等于1089.
3．已知：(1)9×1＋0＝9；(2)9×2＋1＝19；(3)9×3＋2＝29；(4)9×4＋3＝39；….根据前面的式子构成的规律写出第(n)个式子是____________________(n是正整数)．
9n＋(n－1)＝10n－1
5．甲、乙两名同学玩猜数游戏，甲说“你随便选定一个三位数，按如下的步骤做：(1)百位上的数字乘5；(2)结果加上5；(3)再乘2；(4)再加上十位上的数字；(5)再乘10；(6)最后加上个位上的数字，只要你告诉我最后的结果，我便可以说出那个三位数．”乙同学试了几次，果真如此．请你指出甲同学是如何猜出这个三位数的，并用数学知识说明理由．
解：只要将说出的三位数减去100就知道了．理由：设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则乙按步骤所得的三位数为10[2(5a＋5)＋b]＋c，化简后为100a＋10b＋c＋100，减去100就是原三位数．