2022-2023学年浙江省杭州市上城区七年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市上城区七年级（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在﹣1，0，2，﹣2四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．2D．﹣2
2．（3分）在体育课上，女生立定跳远的测试中，以2.00m为标准，若小溪跳出了2.15m，可记做+0.15m，则小林跳出了1.85m，应记做（ ）
A．+0.15mB．﹣0.15mC．+1.85mD．﹣1.85m
3．（3分）杭州亚运会主场馆奥体中心建筑总面积为229000平方米，229000用科学记数法表示为（ ）
A．229×103B．22.9×104C．2.29×105D．2.29×104
4．（3分）下列利用等式的性质变形正确的是（ ）
A．如果ma＝mb，那么a＝b
B．如果a﹣x＝b﹣x，那么a﹣b＝0
C．如果，那么a＝3
D．如果a+b﹣c＝0，那么a＝b﹣c
5．（3分）若3am+2bn+1与﹣2a5b是同类项，则mn＝（ ）
A．0B．﹣4C．3D．4
6．（3分）如图，C为线段AB上一点，D为线段BC的中点，AB＝20，AD＝14，则AC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．10
7．（3分）已知代数式2a﹣b的值为6，则9﹣b+2a的值为（ ）
A．3B．6C．9D．15
8．（3分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马x天可以追上慢马，则可列方程（ ）
A．240x＝150x+12B．240x＝150x﹣12
C．240x＝150（x+12）D．240x＝150（x﹣12）
9．（3分）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB．OD平分∠BOC，射线OE使∠BOE＝2∠AOE，当∠BOD＝66°时，则∠EOC的度数为（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）（ ）
A．132°或164°B．32°或96°
C．32°或132°D．32°或164°
10．（3分）定义一种关于整数n的“G”运算：
（1）当n是奇数时，结果为n+5；
（2）当n是偶数时，结果是（其中m是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝9，第一次经G运算结果是14，第二次经G运算结果是7，第三次经G运算结果是12，第四次经G运算结果是3，…，则第2017次经G运算的结果是（ ）
A．1B．3C．6D．8
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）﹣1的相反数是 ．
12．（4分）数轴上A，B两点对应的数分别是3，4，点C表示无理数且在A，B两点之间，这个无理数可能是 （写一个）．
13．（4分）﹣8是a的一个平方根，b是a的立方根，则a＝ ，b＝ ．
14．（4分）如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC＝38°，那么∠AOB＝ °．
15．（4分）若多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，则a＝ ，b＝ ．
16．（4分）如图，C，D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②若∠BAE＝108°，且AC，AD把∠BAE三等分，则图中只能确定4对互补的角；③若∠BAE＝x°，∠DAC＝y°（其中0＜x＜180，x＞y），则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为（2x+y）°；④若线段BE上再增加n个点P1，P2，…，Pn，并连结AP1，AP2，…，APn，当n＝10时，图中一共有91条线段，其中说法正确的是 （填序号）．
二、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）（+2.4）+（﹣27）﹣（﹣3.6）．
（2）．
18．（8分）（1）解方程：．
（2）合并同类项：3a2b﹣2ab2+3ab2﹣4+a2b．
19．（8分）计算：（﹣24）×（﹣）﹣．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算．
（2）如果计算结果等于﹣10，则设被污染的数字为x，请求出被污染的数字．
20．（10分）已知A＝b2﹣a2+5ab，B＝3ab+2b2﹣3a2．
（1）化简：3A﹣B．
（2）已知a，b互为倒数，且|b﹣3|＝0，求3A﹣B的值．
21．（10分）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线AC；
（2）作直线BD与射线AC相交于点O；
（3）分别连接AB、AD；
（4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 ，理由是 ．
22．（12分）为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示：
例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费200×0.49+（300﹣200）×0.54＝152（元）．
（1）若圆圆家某月用电量为x千瓦时，请用含x的代数式表示，当0＜x≤200时，应缴电费为 元，当200＜x≤400时，应缴电费为 元．
（2）若圆圆家9月共缴电费162.8元，求该月圆圆家的用电量．
（3）圆圆家10月用电的平均费用为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月用电量．
23．（12分）【问题提出】已知∠BOC与∠AOC有共同的始边OC，且满足∠BOC＝2∠AOC，若∠AOC＝28°，求∠AOB的度数．
【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．
在图①中，当射线OA在∠BOC的内部时，由题意易得∠AOB＝28°；
在图②中，当射线OA在∠BOC的外部时，由题意易得∠AOB＝84°．
【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题
（1）如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣4，2，1，请在数轴上标出线段AC的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE的长．
（2）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
①若∠α＝140°，求∠α的垂角；
②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．
2022-2023学年浙江省杭州市上城区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在﹣1，0，2，﹣2四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．2D．﹣2
【分析】根据有理数大小比较的方法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判定即看得出答案．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜2，
∴在﹣1，0，2，﹣2四个数中，最大的数是2．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解题的关键．
2．（3分）在体育课上，女生立定跳远的测试中，以2.00m为标准，若小溪跳出了2.15m，可记做+0.15m，则小林跳出了1.85m，应记做（ ）
A．+0.15mB．﹣0.15mC．+1.85mD．﹣1.85m
【分析】根据具有相反意义的量的表示方法即可．
【解答】解：1.85﹣2.00＝﹣0.15（m），
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是具有相反意义的量．
3．（3分）杭州亚运会主场馆奥体中心建筑总面积为229000平方米，229000用科学记数法表示为（ ）
A．229×103B．22.9×104C．2.29×105D．2.29×104
【分析】根据科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，由此可得答案．
【解答】解：229000用科学记数法表示为2.29×105．
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列利用等式的性质变形正确的是（ ）
A．如果ma＝mb，那么a＝b
B．如果a﹣x＝b﹣x，那么a﹣b＝0
C．如果，那么a＝3
D．如果a+b﹣c＝0，那么a＝b﹣c
【分析】本题根据等式的性质来解决问题．
【解答】解：A、当m＝0 时，a，b为任意的实数，故A选项错误；
B、等式的两边同时加上x，等式仍然成立，故B选项正确；
C、等式两边同时乘2可得a＝12，故C选项错误；
D、等式两边同时﹣b+c得a＝c﹣b．故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题的关键．
5．（3分）若3am+2bn+1与﹣2a5b是同类项，则mn＝（ ）
A．0B．﹣4C．3D．4
【分析】利用同类项的定义求出m与n的值，即可确定出mn的值．
【解答】解：根据题意得m+2＝5，n+1＝1，
解得m＝3，n＝0，
则mn＝3×0＝0．
故选：A．
【点评】此题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解本题的关键．
6．（3分）如图，C为线段AB上一点，D为线段BC的中点，AB＝20，AD＝14，则AC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．10
【分析】先根据AB＝20，AD＝14求出BD的长，再由D为线段BC的中点求出BC的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB＝20，AD＝14，
∴BD＝AB﹣AD＝20﹣14＝6，
∵D为线段BC的中点，
∴BC＝2BD＝12，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣12＝8．
故选：C．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
7．（3分）已知代数式2a﹣b的值为6，则9﹣b+2a的值为（ ）
A．3B．6C．9D．15
【分析】将9﹣b+2a化为9+（2a﹣b），再整体代入计算即可．
【解答】解：∵代数式2a﹣b的值为6，即2a﹣b＝6，
∴9﹣b+2a
＝9+（2a﹣b）
＝9+6
＝15．
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，将9﹣b+2a化为9+（2a﹣b）是解决问题的关键．
8．（3分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马x天可以追上慢马，则可列方程（ ）
A．240x＝150x+12B．240x＝150x﹣12
C．240x＝150（x+12）D．240x＝150（x﹣12）
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：240x＝150（x+12）．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（3分）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB．OD平分∠BOC，射线OE使∠BOE＝2∠AOE，当∠BOD＝66°时，则∠EOC的度数为（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）（ ）
A．132°或164°B．32°或96°
C．32°或132°D．32°或164°
【分析】先根据题意画出图形，再根据补角的定义以及角平分线的定义解答即可．
【解答】解：如图1中，当OE在∠AOB的内部时，
，
∵OD平分∠BOC，∠BOD＝66°时，
∴∠BOC＝2∠BOD＝132°，
∠AOB＝180°﹣∠BOC＝48°，
∵∠BOE＝2∠AOE，
∴＝16°
∴∠EOC＝180°﹣∠AOE＝164°；
如图2中，当∠AOB的外部时，
∵∠AOB＝48°，∠BOE＝2∠AOE，
∴∠AOE＝∠AOB＝48°，
∴∠EOC＝180°﹣∠AOE＝132°．
综上所述，∠EOC的度数为132°或164°．
故选：A．
【点评】本题考查了余角和补角以及角平分线的定义，掌握补角的定义以及角平分线的定义是解答此题的关键．
10．（3分）定义一种关于整数n的“G”运算：
（1）当n是奇数时，结果为n+5；
（2）当n是偶数时，结果是（其中m是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝9，第一次经G运算结果是14，第二次经G运算结果是7，第三次经G运算结果是12，第四次经G运算结果是3，…，则第2017次经G运算的结果是（ ）
A．1B．3C．6D．8
【分析】利用整数n的“G”运算的规定，进行操作，找出其中变化的规律，依据规律解答即可得出结论．
【解答】解：∵取n＝9，第一次经G运算结果是14，
第二次经G运算结果是7，
第三次经G运算结果是12，
第四次经G运算结果是3，
第五次经G运算结果是8，
第六次经G运算结果是1，
第七次经G运算结果是6，
第八次经G运算结果是3，
第九次经G运算结果是8，
第十次经G运算结果是1，
第十一次经G运算结果是6，
…，
∴由上可知：从第四次经G运算结果开始出现3，8，1，6的循环，
∵2017﹣3＝2014，2014÷4＝503余2，
∴第2017次经G运算的结果与第五次经G运算结果相同为8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的混合运算，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）﹣1的相反数是 1 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣1的相反数是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
12．（4分）数轴上A，B两点对应的数分别是3，4，点C表示无理数且在A，B两点之间，这个无理数可能是 π （写一个）．
【分析】3和4之间的无理数有无数个，比较常见的就是圆周率π．
【解答】解：3和4之间的无理数有无数个，这个无理数可能是π．
故答案为：π．（答案不唯一）
【点评】本题考查了无理数的定义，数轴，解题关键是找出一个符合题意得无理数．
13．（4分）﹣8是a的一个平方根，b是a的立方根，则a＝ 64 ，b＝ 4 ．
【分析】根据立方根定义与平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：﹣8是a的一个平方根，
则a＝（﹣8）2＝64，
b是a的立方根，
则b＝＝＝4．
故答案为：64，4．
【点评】本题考查立方根和平方根，掌握立方根与平方根的定义是解题的关键．
14．（4分）如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC＝38°，那么∠AOB＝ 142 °．
【分析】从图形中可看出∠AOC和∠DOB相加，再减去∠DOC即为所求．
【解答】解：∵∠AOC＝∠DOB＝90°，∠DOC＝38°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠DOB﹣∠DOC＝90°+90°﹣38°＝142°．
故答案为：142．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题的解法不唯一，只要合理即可．
15．（4分）若多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，则a＝ ﹣3 ，b＝ 1 ．
【分析】原式去括号合并后，根据结果与字母x取值无关求出a与b的值，即可确定出原式的值．
【解答】解：原式＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1
＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，
由多项式的值与字母x的取值无关，得到2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得：a＝﹣3，b＝1，
故答案为：﹣3；1．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握运算法则是解本题的关键．
16．（4分）如图，C，D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②若∠BAE＝108°，且AC，AD把∠BAE三等分，则图中只能确定4对互补的角；③若∠BAE＝x°，∠DAC＝y°（其中0＜x＜180，x＞y），则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为（2x+y）°；④若线段BE上再增加n个点P1，P2，…，Pn，并连结AP1，AP2，…，APn，当n＝10时，图中一共有91条线段，其中说法正确的是 ① （填序号）．
【分析】①根据线段的定义，找出线段的条数即可．
②首先根据题意画出图形，再根据已知条件得出相关角的度数，根据互为补角的定义找出互补的角即可．
③根据题意画出图形，设出符合题意的一般角，得出结论即可．
④根据题意画出图形，数出线段的条数即可．
【解答】解：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段有线段BC、BD、BE、CD、CE、DE，共有6条，故①正确；
②如图1，∠BAE＝108°，且AC，AD把∠BAE三等分，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°，
∴∠BAD＝∠CAE＝72°，
∴∠BAD+∠BAC＝180°，∠BAD+∠CAD＝180°，∠BAD+∠DAE＝180°，
∠CAE+∠BAC＝180°．∠CAE+∠DAC＝180°．∠CAE+∠DAE＝180°．
邻补角有两对，故②不正确；
③如图2，不妨设∠BAE＝110°，∠DAC＝50°，∠BAC＝∠DAE＝30°，
则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为：
∠EAB+∠EAD+∠EAC+∠BAD+∠BAC+∠CAD＝110°+30°+80°+80°+30°+50°＝380°≠2×110°+50°，
故③不正确；
④如图3，当n＝10时，
与点A连接的线段有10条，
线段BE上共有14个点，线段有：1+2+3+4+……+13＝91（条）
91+10＝101（条），
故④不正确；
故答案为：①．
【点评】本题考查了互为补角的定义，角的和，线段的定义，解题关键是根据题意画出图形．
二、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）（+2.4）+（﹣27）﹣（﹣3.6）．
（2）．
【分析】根据有理数混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（1）（+2.4）+（﹣27）﹣（﹣3.6）
＝2.4﹣27+3.6
＝﹣21．
（2）
＝﹣4﹣×
＝﹣4．
【点评】本题考查了运算的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．
18．（8分）（1）解方程：．
（2）合并同类项：3a2b﹣2ab2+3ab2﹣4+a2b．
【分析】（1）方程去分母、去括号、移项、合并同类项即可；
（2）根据合并同类项法则计算即可．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
【解答】解：（1），
去分母，得2x﹣（x﹣2）＝6，
去括号，得2x﹣x+2＝6，
移项，得2x﹣x＝6﹣2，
合并同类项，得x＝4；
（2）3a2b﹣2ab2+3ab2﹣4+a2b
＝（3a2b+a2b）+（3ab2﹣2ab2）﹣4
＝4a2b+ab2﹣4．
【点评】本题考查了解一元一次方程以及合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
19．（8分）计算：（﹣24）×（﹣）﹣．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算．
（2）如果计算结果等于﹣10，则设被污染的数字为x，请求出被污染的数字．
【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序计算即可；
（2）根据题意列出方程，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）
＝（﹣24）×+24×﹣3
＝﹣16+6﹣3
＝﹣10﹣3
＝﹣13；
（2）由题意得，
，
，
﹣16+24x﹣3＝﹣10，
24x＝16+3﹣10，
24x＝9，
x＝．
【点评】本题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
20．（10分）已知A＝b2﹣a2+5ab，B＝3ab+2b2﹣3a2．
（1）化简：3A﹣B．
（2）已知a，b互为倒数，且|b﹣3|＝0，求3A﹣B的值．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项可得最简结果．
（2）由题意可得ab＝1，b＝3，直接代入计算即可．
【解答】解：（1）3A﹣B＝3（b2﹣a2+5ab）﹣（3ab+2b2﹣3a2）
＝3b2﹣3a2+15ab﹣3ab﹣2b2+3a2
＝b2+12ab．
（2）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∵|b﹣3|＝0，
∴b＝3，
∴3A﹣B＝b2+12ab＝32+12×1＝9+12＝21．
【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值、绝对值、倒数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．（10分）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线AC；
（2）作直线BD与射线AC相交于点O；
（3）分别连接AB、AD；
（4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 AB+AD＞BD ，理由是 两点之间，线段最短 ．
【分析】（1）根据射线的定义作出即可；
（2）根据射线和直线的定义作出即可；
（3）根据线段的定义作出即可；
（4）根据线段的性质，两点之间线段最短解答
【解答】解：（1）（2）（3）如图所示：
（4）AB+AD＞BD，理由是：两点之间，线段最短．
故答案为：AB+AD＞BD，两点之间线段最短．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念与线段的性质是解题的关键．
22．（12分）为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示：
例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费200×0.49+（300﹣200）×0.54＝152（元）．
（1）若圆圆家某月用电量为x千瓦时，请用含x的代数式表示，当0＜x≤200时，应缴电费为 0.49x 元，当200＜x≤400时，应缴电费为 （0.54x﹣10） 元．
（2）若圆圆家9月共缴电费162.8元，求该月圆圆家的用电量．
（3）圆圆家10月用电的平均费用为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月用电量．
【分析】（1）依据题意，根据所给表格中单价及示例进行计算可以得解；
（2）依据题意，设该月圆圆家的用电量为x千瓦时，结合（1）列方程进行计算可以得解；
（3）依据题意，10月用电量可能有不足400千瓦时或超过400千瓦时两种情形，设10月用电量为y千瓦时，进而列方程进行计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，当0＜x≤200时，应缴电费为0.49x元；
当200＜x≤400时，应缴电费[（200×0.49+（x﹣200）×0.54]＝（0.54x﹣10）元．
故答案为：0.49x，（0.54x﹣10）．
（2）由题意，9月共缴电费162.8元，可知该月圆圆家的用电量不超过400千瓦时，
∴可设该月圆圆家的用电量为x千瓦时，结合（1）可得，0.54x﹣10＝162.8．
∴x＝320．
答：该月圆圆家的用电量为320千瓦时．
（3）由题意，10月用电量可能有不足400千瓦时或超过400千瓦时两种情形．
设10月用电量为y千瓦时，
①当200＜y≤400时，可得，0.54y﹣10＝0.50×y．
∴y＝250．
②当y＞400时，可得，200×0.49+200×0.54+（y﹣400）×0.79＝0.50×y．
∴y≈380＜400，不合题意．
答：10月用电量为250千瓦时．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
23．（12分）【问题提出】已知∠BOC与∠AOC有共同的始边OC，且满足∠BOC＝2∠AOC，若∠AOC＝28°，求∠AOB的度数．
【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．
在图①中，当射线OA在∠BOC的内部时，由题意易得∠AOB＝28°；
在图②中，当射线OA在∠BOC的外部时，由题意易得∠AOB＝84°．
【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题
（1）如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣4，2，1，请在数轴上标出线段AC的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE的长．
（2）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
①若∠α＝140°，求∠α的垂角；
②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．
【分析】（1）根据中点的定义找到点D，由已知的A、B、C所表示的数求出AB的长度，就可以求出E点所在的位置，再求出DE的长度．
（2）①根据互为垂角的定义求出即可．
②根据已知条件，分类列出方程解之．
【解答】解：（1）如图，D所表示的数为﹣1，
∵点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣4，2，1，CE＝AB，
∴CE＝AB＝6，
∴点C表示的数为7或﹣5，
∴DE的长为：8或3；
（2）①设∠α的垂角为x°，
根据题意得|140°﹣x°|＝90°，
∴140°﹣x°＝90°或140°﹣x°＝﹣90°，
解得x＝50或x＝230（舍去），
∴∠α的垂角是50°；
②设这个角的度数为y°，
当0＜y＜90时，它的垂角为（90+y）°，
根据题意得90+y＝（180﹣y），
解得y＝18，
当90＜y＜180时，它的垂角为（y﹣90）°，
根据题意得y﹣90＝（180﹣y），
解得y＝126，
故这个角的度数为18°或126°．
【点评】本题考查了互为垂角和补角的定义及运用，数轴，数轴上两点之间的距离，绝对值，解题关键是找准角之间关系．档次
月用电量x（千瓦时）
电价（元/千瓦时）
1档
0＜x≤200
0.49
2档
200＜x≤400
0.54
3档
x＞400
0.79
档次
月用电量x（千瓦时）
电价（元/千瓦时）
1档
0＜x≤200
0.49
2档
200＜x≤400
0.54
3档
x＞400
0.79