高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册2 简谐运动的描述导学案

简谐运动的描述

一、描述简谐运动的物理量

如图所示，振子在A、B间以O为中心做简谐运动时，其位移变化有什么特点？振子运动的范围和其位移的最大值有何关系？

提示：越靠近O点位移越小，越远离O点位移越大；振子运动的范围是其最大位移的两倍。

1．振幅

(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示，单位是米(m)。

(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。

(3)振动范围：振动物体的振动范围为其振幅的两倍。

2．周期和频率

(1)全振动

类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。

(2)周期和频率

3.相位

(1)物理意义：相位是表示物体振动步调的物理量。

(2)定义：用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段，用φ表示。

二、简谐运动的表达式

如图所示，甲图为用沙摆演示简谐运动图像的装置，乙图为沙摆下方一木板上的沙的情况。那么，能用数学语言描述上述沙摆的运动规律吗？具体如何描述？

提示：能。可用公式x＝A sin (ωt＋φ)描述沙摆的运动。

1．表达式：x＝A__sin__(ωt＋φ)。

2．表达式中各量的意义

(1)A表示简谐运动的振幅。

(2)ω是一个与频率成正比的物理量叫简谐运动的圆频率，ω＝＝2πf。

(3)ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。

(1)振幅就是指振子的最大位移。(×)

(2)振动物体的周期越大，表示振动越快。(×)

(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(×)

(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。(√)

(5)简谐运动表达式x＝A sin (ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。(√)

(6)一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动。(√)

　描述简谐运动的各物理量及其关系的理解

1．对全振动的理解

(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。

(2)全振动的五个特征：

①振动特征：完成一次完整的振动过程。

②物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。

③时间特征：历时一个周期。

④路程特征：振幅的4倍。

⑤相位特征：增加2π。

2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系

(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。振幅越大，振动系统的能量越大。

(2)振幅、位移和路程的关系

提醒：对振幅的理解

(1)在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期(频率)或质点的位移无关。

(2)振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移。

如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，若OA＝OB＝10 cm，则该振子做简谐运动的振幅是多少？最大位移是多少？二者相同吗？

提示：振幅为10 cm，最大位移也为10 cm，但二者不相同，振幅是标量，位移是矢量，二者不可能相同。

【典例】如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在

①。②，某时刻振子处于B点。③。求：

(1)振子振动的周期和频率；

(2)振子在5 s内通过的路程及位移大小。

【审题关键】

【解析】(1)设振幅为A，由题意BC＝2A＝10 cm，所以A＝5 cm。振子从B到O所用时间t＝0.5 s，为周期T的四分之一，所以T＝2.0 s；f＝＝0.5 Hz。

(2)振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5 s＝2.5T内通过的路程s＝×4A＝50 cm。5 s内振子振动了2.5个周期，5 s末振子处在C点，所以它的位移大小为5 cm。

答案：(1)2.0 s　0.5 Hz　(2)50 cm　5 cm

　振动物体路程的计算方法

(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。

(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。

(3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅。

1．(母题追问)在典例情境中，求振子在B点的加速度的大小与它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值。

【解析】振子加速度a＝－x，a∝x。所以aB∶aP＝xB∶xP＝5∶4。

答案：5∶4

2．(教材二次开发·P38【例题】变式题)

如图所示，弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则(　　)

A.从O→B→O振子做了一次全振动

B．振动周期为2 s，振幅是10 cm

C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm

D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置

【解析】选C。振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动用时2 s，所以振动周期是4 s，B错误；t＝6 s＝1T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处(A或B)，D错误。

【加固训练】

一个质点做简谐运动，振幅是4 cm，频率为2.5 Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5 s，质点的位移和路程分别是(　　)

A．4 cm、24 cm　　　　　　　    B．－4 cm、100 cm

C．0、100 cm            D．4 cm、100 cm

【解析】选D。由f＝得T＝＝0.4 s，Δt＝2.5 s＝6T。每个周期质点通过的路程为4×4 cm＝16 cm，故质点的总路程s＝6×16 cm＝100 cm，质点0时刻从平衡位置向正向位移运动，经过周期运动到正向最大位移处，即位移x＝4 cm，故D项正确。

　对简谐运动表达式的理解

角度1由表达式求物理量

1．简谐运动的表达式x＝A sin (ωt＋φ)中各物理量的意义：

(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。

(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。

(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf。可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。

(4)ωt＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。

(5)φ：表示t＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。

2．相位差的含义：

(1)相位差：即某一时刻的相位之差。

(2)设A、B两物体的简谐运动的表达式分别为：

x1＝A1sin (ωt＋φ1)，x2＝A2sin (ωt＋φ2)

①它们的相位差为Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。

可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。

②若Δφ＝φ2－φ1>0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ＝φ2－φ1<0，则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|。

如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。则在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？

提示：由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin t＝20sin t(cm)，画出y­t图像，如图所示，

能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，即一个周期内，游客能舒服地登船的时间是1.0 s。

【典例1】(2021·苏州高二检测)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3cos (100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5cos (100t＋) m。比较A、B的运动，下列说法正确的是(　　)

A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m

B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A的相位始终超前B的相位

【解析】选C。

【母题追问】在【典例1】中，如把A做简谐运动的振动位移xA＝3cos (100t＋) m改为xA＝3sin (100t＋)m，其余条件不变，则下列说法正确的是(　　)

A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m

B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A的相位始终超前B的相位

【解析】选C。将B做简谐运动的表达式改为xB＝5sin (100t＋π)，则由题意知：A、B的振幅分别为3 m，5 m；A、B的振动周期为T＝＝ s＝6.28×

10－2 s，因为TA＝TB，故fA＝fB；相位差Δφ＝φB－φA＝。

角度2根据表达式画图像或根据图像写表达式

1．根据表达式画振动图像

(1)根据x＝A sin (ωt＋φ)找出振幅A和振动周期T＝；

(2)令t＝0，找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)；

(3)选好标度，作出正弦函数图像。

2．根据图像写表达式

(1)从图像中找出振幅A和周期T，ω＝；

(2)根据t＝0时的位移求出初相φ，即x0＝A sin φ；

(3)把A、ω、φ代入表达式x＝A sin (ωt＋φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式也可以用该方法求得，只不过φ不相同)。

有甲、乙两个振动，其表达式分别是x1＝4sin (100πt＋) cm，x2＝5sin (100πt＋) cm，则周期相同吗？振动步调一致吗？

提示：由表达式及公式T＝知，甲和乙的振动周期均为0.02 s，故其周期相同；Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝≠0，即振动步调不一致。

【典例2】如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图像。请根据图像写出：

(1)A的振幅是________cm，周期是____________s；B的振幅是____________cm，周期是__________s。

(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。

【解析】(1)由图像知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。

(2)由图像知：φA＝π，由TA＝0.4 s得ωA＝＝5π。则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。同理由题图知，φB＝，由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin (2.5πt＋0.5π)cm。

答案：(1)0.5　0.4　0.2　0.8

(2)xA＝0.5sin (5πt＋π)cm　xB＝0.2sin (2.5πt＋0.5π)cm

角度3简谐运动的对称性和周期性

1．对称性

(1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等。

(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示。

2．周期性

(1)若t2－t1＝nT，则t1，t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。

(2)若t2－t1＝nT＋T，则t1，t2两时刻，描述运动的物理量(x，F，a，v)均大小相等，方向相反。

(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。　

如图所示的弹簧振子在A、B间以O为平衡位置做简谐运动，C、D关于O点对称，则振子分别通过C、D时，速度相同吗？动能相同吗？还有哪些量是相同的？哪些量是不同的？

提示：当振子在这两点运动方向相同时，其速度相同；运动方向相反时，其速度仅大小相等，故速度不一定相同，但速度大小一定相等，又因为振子动能是标量，仅与速度大小有关，故振子在这两点的动能是相同的。在这两点相同的量还有弹簧的弹性势能及振子的机械能等，不相同的还有位移、加速度及弹簧弹力等。

【典例3】物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过1 s后物体第一次以相同速度v通过B点，再经过1 s物体紧接着又通过B点，已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm，则该简谐运动的周期和振幅分别是多大？

【解析】物体通过A点和B点时的速度大小相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称。依题意作出物体的振动路径草图如图甲、乙所示，在图甲中物体从A向右运动到B，即图中从1运动到2，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，从1到3共经历了0.5T，即0.5T＝2 s，T＝4 s，2A＝12 cm，A＝6 cm。x＝6sin 。

在图乙中，物体从A先向左运动，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图中从1运动到2时，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，同样A、B两点关于O点对称，从图中可以看出从1运动到3共经历了1.5T，即1.5T＝2 s，T＝ s，1.5×4A＝12 cm，A＝2 cm。

答案：T＝4 s，A＝6 cm或T＝ s，A＝2 cm

解决简谐运动的周期性和对称性问题，要特别注意以下三点：

(1)要结合题意画出物体做简谐运动的路径草图，能不能正确画出路径图往往决定了能不能正确、全面地解决这类问题。

(2)一定要正确判断物体所有可能的运动情况，该分类讨论的要分类讨论。

(3)要充分利用简谐运动的对称性和周期性分析、求解相关物理量，必要时可画出振动图像协助分析。

1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)

A．第1 s末与第3 s末的位移相同

B．第1 s末与第3 s末的速度相同

C．第3 s末与第5 s末的位移相同

D．第3 s末与第5 s末的加速度相同

【解析】选A。

根据x＝Asint可求得该质点振动周期为T＝8 s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，加速度指向平衡位置，所以相反，选项C、D错误。

2．(教材二次开发·P40[练习与应用]T2变式题)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin (8πt＋) cm的规律振动。

(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。

(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin (8πt＋)cm，求它们的相位差。

【解析】(1)已知ω＝8π，由ω＝得T＝ s，f＝＝4 Hz。A＝5 cm，φ1＝。

(2)由Δφ＝φ2－φ1得Δφ＝π－＝π。

答案：(1) s　4 Hz　5 cm　　(2)π

【加固训练】

一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5 πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则(　　)

A．弹簧振子的振幅为0.2 m

B．弹簧振子的周期为1.25 s

C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零

D．若另一弹簧振子B的位移x随时间变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋)，则B的振幅和周期是A的振幅和周期的2倍

【解析】选C。由振动方程x＝0.1sin 2.5πt，可读出振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π，故周期T＝＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1sin  m＝0.1 m，振子的位移最大，故速度最小为零，故C正确；由两表达式可知弹簧振子B的振幅是A的2倍，但周期相同，D错误。

【拓展例题】考查内容：简谐运动的对称性

【典例】质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O。质点经过a点(xa＝－5 cm)和b点(xb＝5 cm)时速度相同，所用时间tab＝0.2 s；质点由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4 s。则该质点做简谐运动的频率为(　　)

A．1 Hz　　　　　　　　  B．1.25 Hz

C．2 Hz          D．2.5 Hz

【解析】选B。由题意可知：a、b点在O点的两侧，关于O点对称，质点由a点到b点所用时间tab＝0.2 s，由b点回到a点所用最短时间tba＝0.4 s，表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动，振幅大于5 cm，设周期为T，由简谐运动的对称性可知，质点由b点回到a点的时间为，即＝0.4 s，T＝0.8 s，频率f＝＝ Hz＝1.25 Hz，选项B正确。

　一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像。y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。

探究：

(1)振动的周期是多少。

(2)振动的振幅是多少。

【解析】(1)由题图知：周期T＝。

(2)由题图知，振幅A＝

答案：(1)　(2)

简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示。

探究：

(1)弹簧振子的周期是多少？

(2)t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？

(3)2.5 s时振子的振动方向如何？

【解析】(1)由题图知，弹簧振子的周期为T＝4 s。

(2)由周期性知，t＝17 s时振子相对平衡位置的位移与t＝1 s时振子相对平衡位置的位移相同，即位移为零。

(3)由图乙可知2.5 s时振子正在向x轴负方向运动。

答案：(1)4 s　(2)零　(3)x轴负方向