2023-2024学年重庆市万州区八年级（下）期末数学试卷 含详解

这是一份2023-2024学年重庆市万州区八年级（下）期末数学试卷 含详解，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知点P（﹣3，m）在第二象限，则Q（m，﹣3）点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0
3．在平行四边形ABCD中，若∠A＝∠B+60°，则∠A的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．140°
4．一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（ ）
A．4B．5C．7D．9
5．若点A（﹣4，a），B（﹣2，b），C（1，c）在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
6．小万家、学校、小州家依次在同一条笔直的公路旁．一天放学后，小万到家发现错拿小州的作业本，于是返回并归还作业本．小万先从家跑步到学校找小州，发现小州已经回家，小万又跑到小州家，然后骑共享单车返回自己家．小万与自己家的距离y（米）与小万从家出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．小万在学校停留了10分钟
B．小州家离学校600米
C．小万跑步速度为每分钟180米
D．小万骑共享单车的速度为每分钟200
7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．4B．3C．6D．5
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AH⊥BD交BD于点H，AH＝5，且OH＝2BH，则OH的长为（ ）
A．B．C．2D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且CE＝BF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED＝2β，则∠AGD的度数为（ ）
A．90°﹣βB．45°+βC．45°+2βD．90°﹣2β
10．已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，为第一次操作，记为a1＝，对 a1的分母与分子分别加1，为第二次操作，记为a2＝，……，第k次操作后为ak＝，则下列说法：①第五次操作后为a5＝；②若第十次操作后得到的分式可以化为整数，则正整数m的值共有4个；③若ak﹣＝20，则满足这个条件的正整数k、m有无数对．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．据悉，华为Mate 70有望搭载中芯国际的5nm（其中1nm＝0.000000001m）工艺芯片．这款芯片将带来更高的性能和更低的功耗，让用户在享受极致体验的同时，也能够更加节能环保．华为Mate 70的发布，无疑将再次引领行业潮流，展现中国科技的实力和创新精神．其中0.000000005用科学记数法表示为 ．
12．某校的“校园之声”社团招聘成员时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目满分均为100分，并按照应变能力占20%，知识储备占30%，朗读水平占50%，若小明参加应聘并在这三个项目中分别取得85分、90分、92分的成绩，则他的最终成绩是 分．
13．经统计，甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（吨/公顷）和方差分别为：甲＝10，S甲2＝0.02，乙＝10，S乙2＝0.244，根据以上数据估计， 种水稻试验品种的产量更稳定．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C是点B关于原点O的对称点，连接AC，则△ABC的面积为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DH⊥BC于点H，AC＝16，BD＝12，则DH的长为 .
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为线段AB的中点，连接CE，点F在边AD上，连接CF，将△CDF沿CF翻折得到△CGF，点G在线段CE上，则AF的长为 .
17．若关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数y＝（a+4）x+a﹣5的图象经过第一、三、四象限，则符合条件的所有整数a的和是 ．
18．对于一个四位自然数，它的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，这样的四位数称为“均衡数”．例如：四位数2563，2+6＝5+3，则2563是“均衡数”．若四位数是“均衡数”，则符合条件的所有“均衡数”的和是 ；已知四位自然数为“均衡数”，规定：，，并令F（A）＝P（A）﹣Q（A），当F（A）能被3整除时，则满足条件的A的最大值和最小值的差是 ．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每小题8分，共78分）解答时每小题给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算（1）﹣；
（2）化简 ．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为AB边上一点，连接CM，N为CM上一点，且BM＝CN，MN＝AB．连接BD、DN、BN．
（1）用尺规完成下面基本作图：作∠BND的角平分线交BD于点E；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）求证：NE⊥BD．
请将下列证明过程补充完整：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
又∵MN＝AB，
∴① ．
∵AB∥CD，
∴② ．
又∵③ ，
∴△BMN≌△NCD（SAS），
∴④ ，
∵NE平分∠BND，
∴NE⊥BD．
21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE、BE．
（1）求证：四边形CODE是矩形；
（2）若AB＝AC＝2，求BE的长度．
22．（10分）“淡淡粽叶香，浓浓世间情”，端午节是我国传统节日之一，有其独特的由来和习俗活动．为了引导学生感受传统文化魅力，更好地继承和弘扬中华优秀传统美德，增强民族自豪感．某校七、八年级全体学生开展“浓情端午，粽享欢乐”的知识竞赛活动，现从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩满分为100分，90分及90分以上为优秀），将学生成绩分为A，B，C，D四个等级：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
七年级学生的竞赛成绩中位于C组的所有数据为：81，82，87，82，80，84，82，88．
八年级学生的竞赛成绩：61，62，66，70，70，75，76，76，81，84，84，84，84，85，86，90，90，91，92，93．
七、八年级竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；m＝ ．
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若本次竞赛七年级有1050名学生参加，八年级有1260名学生参加，估计本次竞赛活动这两个年级成绩为优秀的学生总人数有多少人？
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，AB＝4，OA＝．动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x（x＞0），连接CP，记△ACP的面积为y1，请解答下列问题：
（1）请直接写出y1与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出y1与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数图象，当y1≥y2时，请直接写出自变量x的取值范围．
24．（10分）“五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，5月是枇杷成熟的季节，万州区熊家镇的枇杷成熟了，该镇种植了“麻子”枇杷和“贵妃”枇杷，“麻子”枇杷果肉橙黄色，汁多味浓；“贵妃”枇杷更是枇杷中的贵族，果肉黄白，浓甜回甘．某水果店老板到该镇采购两种类型的枇杷进行售卖．
（1）若第一次用4200元购进两种枇杷共300千克，已知“麻子”枇杷每千克进价为8元，“贵妃”枇杷每千克进价为18元，求两种类型的枇杷各采购多少千克？
（2）由于两种枇杷都深受万州人民喜爱，很快购进的枇杷销售一空，于是该水果店老板决定第二次购进两种枇杷，但随着枇杷的大量上市，“麻子”枇杷和“贵妃”枇杷的进价大幅下降，结果“贵妃”枇杷每千克进价是“麻子”枇杷的2.5倍，“麻子”枇杷的采购额为1200元，“贵妃”枇杷的采购额为1500元，“麻子”枇杷比“贵妃”枇杷多采购100千克，求“贵妃”枇杷每千克进价是多少元？
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数相交于点A（1，6）、B（a，2），与x轴、y轴分别交于点C、点D，点M是x轴负半轴上一动点，连接OA、MA、MB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若S△ABM＝3S△AOD时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线AM向下平移2个单位得到直线l，若点E是平移后直线l上一点，在y轴上是否在点F，使以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE、CE，且BE＝CE，BE⊥CE，点F是CE上一动点，连接BF．
（1）如图1，若点F是CE的中点，BF＝5，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图2，若AB⊥BF，连接DF，试探究AB、BF、DF三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，以BF为直角边作等腰直角△BFG，∠GBF＝90°，连接GE，若，CD＝5，请直接写出当点F在运动过程中，△BEG周长的最小值．
参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案所对应的方框涂黑。
1．解：∵点P（﹣3，m）在第二象限，
∴m＞0，
∴点Q（m，﹣3）在第四象限．
故选：D．
2．解：∵分式的值为零，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴x＝﹣2，
故选：B．
3．解：在▱ABCD中，如图，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A＝∠B+60°，
∴∠B+60°+∠B＝180°，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝120°，
故选：B．
4．解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，
∴x＝6×5﹣4﹣5﹣7﹣9＝5，
∴这组数据的众数为5；
故选：B．
5．解：∵反比例函数y＝﹣（m为常数）中，k＝﹣m2﹣1＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，a），B（﹣2，b），C（1，c）在反比例函数y＝﹣（m为常数）的图象上，﹣4＜﹣2＜0＜1，
∴b＞a＞c，
故选：C．
6．解：由图象知，小万在学校停留时间为20﹣10＝10（分钟），
故A正确，不符合题意；
小州家离学校的距离为：1800﹣1200＝600（米），
故B正确，不符合题意；
小万跑步的速度为：＝120（米/分），
故C不正确，符合题意；
小万骑共享单车的速度为：1800÷（39﹣30）＝200（米/分），
故D正确，不符合题意．
故选：C．
7．解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC＝∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
同理可证：AE＝AB，
∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝14﹣10＝4．
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OB＝BD，OA＝AC，
∴OA＝OB，
∵HO＝2BH，
∴设BH＝x，OH＝2x，
∴OB＝OA＝3x，
∵AE⊥BD，
∴∠AHB＝∠AHO＝90°，
在Rt△AOH中，∵OH2+AH2＝OA2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
解得：x＝，
∴OH＝2；
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADE＝∠DCF，AD∥BC，
∵CE＝BF，
∴DE＝CF，
∴△DFC≌△AED（ASA），
∴∠AED＝∠DFC＝2α，
∴∠ADF＝∠DFC＝2α，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG＝β，
∴∠AGD＝90°﹣β．
故选：A．
10．解：①根据定义可得：，故①正确；
②根据定义可得：，第十次操作后得到的分式可以化为整数，
∴，
∵m为正整数，
∴m+10可以取19，38，57，
m可以取9，28，47三个正整数，故②不正确；
③根据定义可得：0，
∴0，
∵k，m都是整数，
∴
：m2﹣20m是19的倍数，
即m（m﹣20）是19的倍数，
∴m的值可以是39，78，无数个，
故③正确，
综上，①③正确，
故选：C．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．解：5nm＝0.000000005m＝5×10﹣9m．
故答案为：5×10﹣9．
12．解：由题意可得，
85×20%+90×30%+92×50%
＝17+27+46
＝90（分），
即小明最终成绩是90分，
故答案为：90．
13．解：∵S甲2＝0.02，S乙2＝0.244，
又∵0.02＜0.244，
∴乙种水稻试验品种的产量更稳定．
故答案为：乙．
14．解：∵点A在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点B，
∴S△ABO＝＝5，
∵点B，C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∴S△ABC＝2S△ABO＝2×5＝10．
故答案为：10．
15．解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝16，BD＝12，
∴AC⊥BD，OC＝AC＝8，OB＝BD＝6，
∴BC＝＝10，
∵S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD＝×16×12＝96，
∴DH＝9.6．
故答案为：9.6．
16．解；如图，连接EF，
∵将△CDF沿CF翻折得到△CGF，
∴GF＝DF，∠1＝∠2，∠FGC＝∠D＝90°＝∠EGF，CG＝CD，
在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为线段AB的中点，
∴AE＝BE＝5，CD＝10，AD＝12，
在Rt△EBC中，CE＝＝13，
∴CG＝10，
∴EG＝CE﹣CG＝3，
设AF＝x，则GF＝DF＝12﹣x，
∵EF2＝AF2+AE2＝EG2+FG2，
∴x2+52＝32+（12﹣x）2，
∴x＝
∴AF＝．
故答案为：．
17．解：，
整理得：2x＝6﹣a，
解得：x＝，
∵一次函数y＝（a+4）x+a﹣5的图象经过第一、三、四象限，
∴，
解得：﹣4＜a＜5，
∴符合题意的a值为：﹣2，0，4．
∴符合题意的a值的和为：2．
故答案为：2．
18．解：①四位数是“均衡数”，
∴1+4＝b+d，
即b+d＝5．
当b＝0时，d＝5，
当b＝1时，d＝4，
当b＝2时，d＝3，
当b＝3时，d＝2，
当b＝4时，d＝1，
当b＝5时，d＝0，
综上所述，满足条件的均衡数为：1045，1144，1243，1342，1441，1540．
则符合条件的所有“均衡数”的和是：1045+1144+1243+1342+1441+1540＝7755．
故答案为：7755．
②∵四位自然数为“均衡数”，
根据定义，可知a+c＝b+d，
由于A是“均衡数”，所以各个数位上的数字互不相等且均不为0，
已知F（A）＝P（A）﹣Q（A）＝abc﹣bcd＝bc（a﹣d）．
∵F（A）能被3整除，根据3的倍数特征，可知bc（a﹣d）的各位数字之和能被3整除．
由于b，c互不相等且均不为0，所以bc一定是3的倍数．
那么，bc的可能取值为：12，15，18，21，24，27，36，42，45，48，51，54，57，63，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96
由于a+c＝b+d，且a，b，c，d互不相等．
∴A的最大值为9631，最小值为1245，
∴满足条件的A的最大值和最小值的差是 9631﹣1245＝8386．
故答案为：8386．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每小题8分，共78分）解答时每小题给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．解：（1）﹣
＝﹣1+1﹣4
＝﹣4；
（2）
＝•
＝•
＝．
20．（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
又∵MN＝AB，
∴MN＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
又∵BM＝CN，
∴△BMN≌△NCD（SAS），
∴BN＝ND．
∵NE平分∠BND，
∴NE⊥BD．
故答案为：①MN＝CD；②∠1＝∠2；③BM＝CN；④BN＝ND．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD＝，
∵四边形OCED是矩形，
∴∠ODE＝90°，OC＝DE＝1，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝＝．
22．解：（1）∵20×（15%+25%）＝8（人），
∴七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第10、11个数为81，82，
∴a＝（81+82）÷2＝81.5，
∵八年级中得分84的人数最多，
∴b＝84，
七年级C组所占的百分比为：100%＝40%，
∴m%＝1﹣15%﹣25%﹣40%＝20%，
∴m＝20．
故答案为：81.5，84，20；
（2）年级学生的竞赛成绩更好．
理由如下：
根据表中可得，七、八年级的平均数一样，但八年级的中位数，众数均高于七年级，因此八年级年级学生的竞赛成绩更好；
（3）1050×20%+1260×
＝210+315
＝525（人），
答：估计本次竞赛活动这两个年级成绩为优秀的学生总人数有525人．
23．（1）解：在矩形ABCD中，OB＝OD＝OA＝OC，∠BAD＝90°，
∵AB＝4，，
∴，
∴BD＝5，
∴，
∴BC＝AD＝3，
当点P在AB上运动时，此时0≤x≤4，AP＝x，
∴，
当点P在BC上运动时，此时，4＜x≤7，
∴，
综上：；
（2）解：y1与x的函数图象如图所示，
该函数在自变量的取值范围内，当x＝4时，y1取得最大值6；
（3）解：联立，解得，
联立，解得，
结合函数图象可得当y1≥y2时，2≤x≤6．
24．解：（1）设“麻子”枇杷采购了x千克，“贵妃”枇杷采购了y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：“麻子”枇杷采购了120千克，“贵妃”枇杷采购了180千克；
（2）设“麻子”枇杷每千克进价是m元，则“贵妃”枇杷每千克进价是2.5m元，
根据题意得：﹣＝100，
解得：m＝6，
经检验，m＝6是所列方程的解，且符合题意，
∴2.5m＝2.5×6＝15．
答：“贵妃”枇杷每千克进价是15元．
25．解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）过点A（1，6），
∴m＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵B（a，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，
∴a＝3，
∴B（3，2），
将A（1，6），B（3，2）一次函数y＝kx+b（k≠0）得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8；
（2）设M（t，0），∵一次函数的解析式为y＝﹣2x+8，当x＝0时，y＝8，
∴D（0，8），
∴S△AOD＝×8×1＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x 轴于F，
∴S△ABM＝S△AME+S四边形AEFBA﹣S△BMF＝×6×（1﹣t）+（6+2）（3﹣1）﹣×2×（3﹣t）＝3×4，
解得t＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，0）；
（3）存在，设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AM的解析式为y＝2x+4，
∵将直线AM向下平移2个单位得到直线l，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点E是平移后直线l上一点，
∴设E（m，2m+2），F（0，n），A（1，6）、B（3，2），
∵以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴当AE为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴F（0，10）；
当AF为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴F（0，﹣6）；
当AB为平行四边形的对角线时，E（m，2m+2），F（0，n），A（1，6）、B（3，2），
，
解得，
∴F（0，﹣2），
综上所述，点F的坐标为（0，10）或（0，﹣6）或（0，﹣2）．
26．解：（1）如图1，作EL⊥BC于点L，
∵BE⊥CE，
∴∠BEF＝90°，
∵BE＝CE，F是CE中点，
∴EF＝CE＝BE，
∵BE2+EF2＝BF2，且BF＝5，
∴BE2+（BE）2＝52，
∴BE2＝4，
∴S平行四边形ABCD＝BC•EL＝2×BC•EL＝2S△EBC＝2×BE•CE＝BE2＝4；
（2）AB+DF＝BF．理由如下：
如图2，延长BE、CD交于点R，则∠CER＝∠BEF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠R＝∠ABE，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠EBF＝∠BFE，
∴∠R＝∠BFE，
∵BE＝CE，
∴△CER≌△BEF（AAS），
∴CR＝BF，ER＝EF，
∵AD∥BC，
∴∠RED＝∠EBC，∠FED＝∠ECB，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴∠RED＝∠FED，
∴ED＝ED，
∴△RED≌△FED（SAS），
∴DR＝DF，
∵CD＝AB，
∴AB+DF＝CD+DR＝CR＝BF．
（3）如图3，作BK⊥BE，GK⊥BK于点K，延长KG交射线CE于点P，
∵∠EBK＝∠FBG＝90°，
∴∠KBG＝∠EBF＝90°﹣∠GBE，
∵∠K＝∠BEF＝90°，BG＝BF，
∴△BKG≌△BEF（AAS），
∴BK＝BE；
∵∠EBK＝∠K＝∠BEP＝90°，
∴四边形BEPK是正方形，
∴PE＝BE＝CE，
∴当点F在CE上运动时，点G在PK上运动；
延长EP到点Q，使PQ＝PE，连接BQ交PK于点G，
∵PK垂直平分EQ，
∴点Q与点E关于直线PK对称，
∵两点之间，线段最短，
∴此时GE+GB＝GQ+GB＝BQ最小，
∵BE为定值，
∴此时GE+GB+BE即△BEG的周长最小；
作DH⊥CE于点H，则∠DHE＝∠DHC＝90°，
∵∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠HED＝∠ECB＝45°，
∴∠HDE＝45°＝∠HED，
∴DH＝EH，
∴DH2+EH2＝2DH2＝DE2＝（3）2，
∴DH＝EH＝3；
∴CH＝＝＝4，
∴BE＝CE＝EH+CH＝3+4＝7，
∴EQ＝2PE＝2BE＝14，
∵∠BEQ＝90°，
∴BQ＝＝＝7，
∴GE+GB+BE＝7+7，
∴△BEG周长的最小值为7+7．
平均数
中位数
众数
七年级
80
a
82
八年级
80
84
b