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2022-2023学年重庆市万州区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆市万州区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市万州区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程是一元一次方程的是( )
A. x2+2=6 B. 2y+3=0 C. x+y=9 D. 2x+5=8
2. 利用加减消元法解方程组2x+5y=−10①5x−3y=6②，下列做法正确的是( )
A. 要消去y，可以将①×5+②×2
B. 要消去x，可以将①×3+②×(−5)
C. 要消去y，可以将①×5+②×3
D. 要消去x，可以将①×5+②×(−2)
3. 中华民族历史悠久，传统文化博大精深．下面选取了几幅传统文化图片，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列不等式的变形正确的是( )
A. 由ab且m≠0，得−am<−bm
C. 由ac2b，得ac2>bc2
5. 如图，△ABC≌△DBE，∠ABC=80°，∠D=65°，则∠C的度数为( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
6. 如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠C=30°，将△ABC绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△DBE，若DE//AB，则α为( )
A. 50°
B. 70°
C. 80°
D. 90°
7. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有x辆车，则可列方程( )
A. 3(x−2)=2x+9 B. 3(x+2)=2x−9
C. x3+2=x−92 D. x3−2=x+92
8. 将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )
A. B. C. D.
9. 若整数a使得关于x的不等式组x+152≥x+34x+1≥a有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程2y+a3−y+a2=1的解满足y>21.则所有满足条件的整数a的值之和为( )
A. 31 B. 48 C. 17 D. 33
10. 有依次排列的两个整式A=x−1，B=x+1，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为C1，用整式C1与前一个整式B求和操作得到新的整式C2，用整式C2与前一个整式C1作差后得到新的整式C3，用整式C3与前一个整式C2求和操作得到新的整式C4，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式.下列说法：①整式C3=x+1；②整式C5=x+3；③整式C2、整式C5和整式C8相同；④C2024C2023=C2021C2023+2.正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. “x与2的差不大于3”用不等式表示为______．
12. 已知x=2是方程11−2x=ax−1的解，则a=______．
13. 已知一个三角形的两边长分别是2和5，第三边是奇数，则这个三角形的周长是______．
14. 若关于x，y的方程组4x+y=m+32x−y=2m的解x、y之和为3，则m的值为______ ．
15. 已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为_____．
16. 一个两位数的个位与十位数字之和为7.若将个位与十位数字交换位置，则所得的两位数比原来的两位数的2倍多2，则这个两位数是______ ．
17. 若关于x的不等式组2x−a<1x−2b>3的解集为−1
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
解下列方程(组)：
(1)3x−14−1=5x−76；
(2)3x+4y=19①x−y=4②．
20. (本小题10.0分)
解不等式组3(x−1)+2≤5x+3x3<1−x−15，并把它的解集在数轴上表示出来，写出不等式组的最大整数解．
21. (本小题10.0分)
如图，在正方形网格上的一个△ABC，且每个小正方形的边长为1(其中点A，B，C均在网格上)．
(1)作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；
(2)在MN上画出点P，使得PA+PC最小；
(3)求出△ABC的面积．
22. (本小题10.0分)
甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组ax+5y=15①4x−by=−2②，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4．
(1)求a与b的值；
(2)求a2022−(−110b)2023的值．
23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一点，连接AE．
(1)当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC的面积为24，求CE的长；
(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
24. (本小题10.0分)
万州商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：
甲
乙
进价(元/部)
4300
3600
售价(元/部)
4800
4200
(1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？
(2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的23，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，请通过计算设计所有可能的进货方案．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，点E是BC上一个动点(点E与B、C不重合)，连AE，若a、b满足|2a−b−10|+(b−6)2=0，且c是不等式组x+124≤x+62x+23>x−3的最大整数解．
(1)求a，b，c的长；
(2)若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小；
(3)是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．
26. (本小题8.0分)
如图，△PBD和△PAC都是直角三角形，∠DBP=∠CAP=90°．
(1)如图1，PA，PB与直线MN重合，若∠BDP=45°，∠ACP=30°，求∠DPC的度数；
(2)如图2，若∠BDP=45°，∠ACP=30°，△PBD保持不动，△PAC绕点P逆时针旋转一周.在旋转过程中，
当AC//PD时，求∠APN的度数；
(3)如图3，∠BPA=α(90°<α<180°)，点E、F分别是线段BD、AC上一动点，当△PEF周长最小时，直
接写出∠EPF的度数(用含α的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、方程x2+2=6是一元二次方程，不符合题意；
B、方程2y+3=0是一元一次方程，符合题意；
C、方程x+y=9是二元一次方程，不符合题意；
D、方程2x+2=8是分式方程，不符合题意．
故选：B．
根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A．2x+5y=−10①5x−3y=6②，
①×5+②×2，得20x+19y=−38，没消去y，故本选项不符合题意；
B.①×3+②×(−5)，得−19x+30y=−60，没消去x，故本选项不符合题意；
C.①×5+②×3，得25x+16y=−32，没消去y，故本选项不符合题意；
D.①×5+②×(−2)，得31y=−62，消去x，故本选项符合题意；
故选：D．
先根据等式的性质进行计算，再逐个判断即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，有代入消元法和加减消元法两种．
3.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】C
【解析】解：A.当c<0时，
∵a
B.当m<0时，−m>0，
∵a>b，
∴−am>−bm，选项B不符合题意；
C.由ac2
∴当c≠0时，得ac2>bc2，选项D不符合题意．
故选：C．
利用不等式的性质，逐一判断四个选项，即可得出结论．
此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABC=80°，
∴∠DBE=∠ABC=80°，∠C=∠E，
∵∠D=65°，
∴∠C=∠E=180°−∠DBE−∠D=35°，
故选：D．
根据全等三角形的对应角相等得到∠DBE=∠ABC，∠C=∠E，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由旋转可得，∠CBE即为旋转角α，∠C=∠E=30°，
∵DE//AB，
∴∠ABE=∠E=30°，
∵∠ABC=50°，
∴∠CBE=30°+50°=80°，
∴α=80°，
故选：C．
根据旋转的性质，可得，∠CBE即为旋转角α，∠C=∠E=30°，根据平行线的性质，可得∠ABE=∠E=30°，据此可得旋转角α的度数．
本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
7.【答案】A
【解析】解：设有x辆车，则可列方程：3(x−2)=2x+9．
故选：A．
根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【解答】
解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线上，
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：x+152≥x+3①4x+1≥a②，
解不等式①，得x≤9，
解不等式②，得x≥a−14，
所以不等式组的解集是a−14≤x≤9，
∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解，
∴3
∵y>21，
∴6+a>21，
解得：a>15，
∴15
∴a为16或17，
16+17=33，
故选D．
先求出不等式组的解集，根据已知条件求出a的范围，求出方程的解，根据y>21求出a的范围，求出公共部分，再求出a的整数解，最后求出答案即可．
本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意依次计算可得：C1=(x+1)−(x−1)=2，C2=2+(x+1)=x+3，C3=x+1，C4=2x+4，C5=x+3，C6=3x+7，C7=2x+4，C8=5x+11，C9=3x+1，⋯，
根据6个一循环的规律可得：C2021=x+3，C2023=2，C2024=x+3，因此C2024C2023=x+32=C2021C2023，
所以①、②、④正确，
故选：C．
根据依次进行作差、求和的交替操作可判断即可①②③，根据C2=C5.C4=C7，C6=C9，⋯C2020=C2023，C2024=C2023+C2022进而得出C2021C2023+2，C2021+2C2023=C2022+C2023即可判定④．
本题考查整式的加减，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键．
11.【答案】x−2≤3
【解析】解：由题意可得：x−2≤3．
故答案为：x−2≤3．
首先表示出x与2的差为(x−2)，再小于等于3，列出不等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号．
12.【答案】4
【解析】解：∵x=2是方程11−2x=ax−1的解，
∴11−2×2=a×2−1，
11−4=2a−1，
2a=8，
a=4，
故答案为：4．
根据一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，故把方程的解x=2代入原方程，得到一个关于a的方程，再解出a的值即可得答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，关键是把握准一元一次方程的解的定义．
13.【答案】12
【解析】此题考查三角形的三边关系，还要注意奇数这一条件．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
解：第三边的取值范围是大于3而小于7，
又第三边是奇数，
故第三边只有是5，
则周长是2+5+5=12．
故答案为：12．
14.【答案】−3
【解析】解：4x+y=m+3①2x−y=2m②，
由①−②得2x+2y=−m+3，
∵x+y=3，
∴−m+3=2x+2y=6，
解得m=−3，
故答案为：−3．
由加减法得方程2x+2y=3m+3，再将x+y=3代入求解．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是通过整体代入法求解．
15.【答案】1260°
【解析】解：正n边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得360°n=40°，
解得n=9．
(9−2)×180°=1260°，
即这个正多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260°．
利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
本题主要考查了正多边形外角和与内角和等知识．解题的关键是明确正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．
16.【答案】25
【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：x+y=710y+x=2(10x+y)+2，
解得：x=2y=5
∴10x+y=25，
故答案为：25．
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“将个位与十位数字交换位置，则所得的两位数比原来的两位数的2倍少6”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.【答案】−10
【解析】解：由2x−a<1x−2b>3得x3+2b．
∵−1
解得a=1，b=−2，
∴(a+1)(2b−1)=(1+1)(−2×2−1)=−10，
故答案为：−10．
解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为−1
18.【答案】57
【解析】解：∵正整数为t=10x+y，
则交换其个位上的数与十位上的数得到的新数t′=10y+x，
∵t为顺顺数，
∴t+t′=8，
即11x+11y=88，
∴x+y=8，
∵1≤x≤y≤9，
∴①当x=1时，y=7，
②当x=2时，y=6，
③当x=3时，y=5，
④当x=4时，y=4，
∴t=17或26或35或44，
∴F(17)=117，F(26)=23，F(35)=57，F(44)=411，
∴F(t)的最大值为57．
故答案为：57．
根据题意列出x、y的方程，求出符合条件的整数解，进而所在的F(t)的值，再确定其最大值便可．
此题主要考查了新定义的理解和应用，不定解方程的应用，弄清题中“最佳分解”与“顺顺数”的定义是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)去分母得：9x−3−12=10x−14，
移项合并得：−x=1，
系数化为1得：x=−1；
(2)3x+4y=19①x−y=4②，
由②得：x=y+4③，
把③代入①，得：
3(y+4)+4y=19，
解得：y=1，
把y=1代入③，得：
x=5，
所以方程组的解为x=5y=1．
【解析】(1)方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解；
(2)方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：3(x−1)+2≤5x+3①x3<1−x−15②，
解不等式①，得：x≥−2，
解不等式②，得：x<94，
将不等式①②的解集表示在数轴上为：
∴不等式组的解集为：−2≤x<94，
故该不等式组的最大整数解为2，
【解析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的整数解．
本题主要考查解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；
(2)如图，点P为所作；
(3)△ABC的面积=3×4−12×1×3−12×3×2−12×4×1=112．
【解析】(1)利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于MN的对称点A′、B′、C′即可；
(2)连接AC′交MN于P，利用PC=PC′得到PA+PC=AC′，则根据两点之间线段最短可判断此时P点满足条件；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
22.【答案】解：(1)根据题意，将x=−3y=−1代入②得：
−12+b=−2，
解得：b=10，
将x=5y=4代入①得：
5a+20=15，
解得：a=−1，
所以，a=−1，b=10；
(2)当a=−1，b=10时，
a2022−(−110b)2023=(−1)2022−(−110×10)2023=1−(−1)=2；
【解析】(1)根据题意，将x=−3y=−1代入②，将x=5y=4代入①即可分别求得a和b的值；
(2)把a和b的值代入计算即可．
此题考查了有理数的计算以及二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
23.【答案】解：(1)∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为24，
∴12BC⋅AD=24，
∴BC=2×246=8，
∵AE为边BC上的中线，
∴CE=12BC=4；
(2)∵∠C=66°，∠B=36°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−66°−36°=78°，
∴AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=39°，
∵∠ADC=90°，∠C=66°，
∴∠CAD=90°−66°=24°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=39°−24°=15°．
【解析】(1)先根据三角形面积公式计算出BC=8，然后根据AE为边BC上的中线得到CE的长；
(2)先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°，再利用角平分线的定义得到∠CAE=39°，接着计算出∠CAD，然后计算∠CAE−∠CAD即可．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高．
24.【答案】解：(1)设售出甲手机x部，乙手机y部，
由题意得：x+y=17(4800−4500)x=2(4200−3600)y，
解得：x=12y=5，
答：售出甲手机12部，乙手机5部；
(2)设购进甲手机x部，则购进乙手机(20−x)部，
由题意得：20−x≤23x4300x+3600(20−x)<81500，
解得：12≤x<1347，
∵x取整数，
∴x可取12，13，
因此所有可能的进货方案有2种：
①购进甲手机12部，乙手机8部；
②购进甲手机13部，乙手机7部．
【解析】(1)设售出甲手机x部，乙手机y部，根据销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，可列方程组，求解即可；
(2)设购进甲手机x部，则购进乙手机(20−x)部，根据购进乙种手机数不超过甲种手机数的23，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，可列不等式组，求出x的整数解，即可列出可能的进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式求解，属于常考题型．
25.【答案】解：(1)∵|2a−b−10|+(b−6)2=0，
∴2a−b−10=0b−6=0，
解得a=8b=6，
解不等式组x+124≤x+62x+23>x−3，
解得：−4≤x<11，
∵满足−4≤x<11的最大正整数为10，
∴c=10，
∴a=8，b=6，c=10；
(2)∵AE平分△ABC的周长，△ABC的周长为24，
∴AB+BE=12×24=12，
∴EC=6，BE=2，
∴AC=CE=6，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，
∴∠BEA=135°；
(3)不存在．
理由：∵当AE将△ABC分成周长相等的△AEC和△ABE时，EC=6，BE=2，
此时，△AEC的面积为：12EC⋅AC=12×6×6=18，
△ABE的面积为：12BE⋅AC=12×2×6=6面积不相等，
∴AE平分△ABC的周长时，不能平分△ABC的面积，
同理AE平分△ABC的面积时，不能平分△ABC的周长．
【解析】(1)根据二元一次方程组的解法得出a，b的值，再利用不等式组的解法得出x的取值范围，进而得出c的值；
(2)利用(1)中所求以及等腰直角三角形的性质得出AC=CE，进而得出答案；
(3)分别根据AE平分三角形ABC的周长和平分面积时不能同时符合要求进而得出答案．
本题是三角形的综合题，考查了解方程组、解不等式组、相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各个知识点及其之间的联系，属于中考考常考题型．
26.【答案】解：(1)∵∠DBP=∠CAP=90°，
又∵∠BDP=45°，∠ACP=30°，
∴∠BPD=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°−45°−60°=75°；
(2)∵∠CAP=90°，∠ACP=30°，
∴∠APC=60°，
当PC//BD时，分情况讨论：
①当△PAC旋转到如图所示：
∵PC//BD，且∠DBP=90°，
∴∠CPN=90°，
∴∠APN=30°；
②当△PAC旋转到如图所示：
∵PC//BD，且∠DBP=90°，
∴∠BPC=90°，
∴∠APB=30°，
∴∠APN=150°，
综上，∠APN=30°或150°；
(3)作点P关于BD的对称点P1，作点P关于AC的对称点P2，连接P1P2，与BD交于点E，与AC交于点F，如图所示：
此时△PEF的周长最小，
根据轴对称的性质，可得EP1=EP，
∴∠P1=∠EPP1，
同理，∠P2=∠FPP2，
∵∠BPA=α(90°
∴∠EPF=α−(180°−α)=2α−180°，
∴当△PEF周长最小时，∠EPF=2α−180°．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理求解即可；
(2)当PC//BD时，分情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可；
(3)作点P关于BD的对称点P1，作点P关于AC的对称点P2，连接P1P2，与BD交于点E，与AC交于点F，根据轴对称的性质可得EP1=EP，进一步可得∠P1=∠EPP1，从而求出∠P1+∠P2的度数，即可表示出∠EPF的度数．
本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，三角形周长最小等，本题综合性较强，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键．
2022-2023学年重庆市万州区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程是一元一次方程的是( )
A. x2+2=6 B. 2y+3=0 C. x+y=9 D. 2x+5=8
2. 利用加减消元法解方程组2x+5y=−10①5x−3y=6②，下列做法正确的是( )
A. 要消去y，可以将①×5+②×2
B. 要消去x，可以将①×3+②×(−5)
C. 要消去y，可以将①×5+②×3
D. 要消去x，可以将①×5+②×(−2)
3. 中华民族历史悠久，传统文化博大精深．下面选取了几幅传统文化图片，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列不等式的变形正确的是( )
A. 由a
C. 由ac2
5. 如图，△ABC≌△DBE，∠ABC=80°，∠D=65°，则∠C的度数为( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
6. 如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠C=30°，将△ABC绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△DBE，若DE//AB，则α为( )
A. 50°
B. 70°
C. 80°
D. 90°
7. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有x辆车，则可列方程( )
A. 3(x−2)=2x+9 B. 3(x+2)=2x−9
C. x3+2=x−92 D. x3−2=x+92
8. 将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )
A. B. C. D.
9. 若整数a使得关于x的不等式组x+152≥x+34x+1≥a有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程2y+a3−y+a2=1的解满足y>21.则所有满足条件的整数a的值之和为( )
A. 31 B. 48 C. 17 D. 33
10. 有依次排列的两个整式A=x−1，B=x+1，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为C1，用整式C1与前一个整式B求和操作得到新的整式C2，用整式C2与前一个整式C1作差后得到新的整式C3，用整式C3与前一个整式C2求和操作得到新的整式C4，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式.下列说法：①整式C3=x+1；②整式C5=x+3；③整式C2、整式C5和整式C8相同；④C2024C2023=C2021C2023+2.正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. “x与2的差不大于3”用不等式表示为______．
12. 已知x=2是方程11−2x=ax−1的解，则a=______．
13. 已知一个三角形的两边长分别是2和5，第三边是奇数，则这个三角形的周长是______．
14. 若关于x，y的方程组4x+y=m+32x−y=2m的解x、y之和为3，则m的值为______ ．
15. 已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为_____．
16. 一个两位数的个位与十位数字之和为7.若将个位与十位数字交换位置，则所得的两位数比原来的两位数的2倍多2，则这个两位数是______ ．
17. 若关于x的不等式组2x−a<1x−2b>3的解集为−1
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
解下列方程(组)：
(1)3x−14−1=5x−76；
(2)3x+4y=19①x−y=4②．
20. (本小题10.0分)
解不等式组3(x−1)+2≤5x+3x3<1−x−15，并把它的解集在数轴上表示出来，写出不等式组的最大整数解．
21. (本小题10.0分)
如图，在正方形网格上的一个△ABC，且每个小正方形的边长为1(其中点A，B，C均在网格上)．
(1)作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；
(2)在MN上画出点P，使得PA+PC最小；
(3)求出△ABC的面积．
22. (本小题10.0分)
甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组ax+5y=15①4x−by=−2②，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4．
(1)求a与b的值；
(2)求a2022−(−110b)2023的值．
23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一点，连接AE．
(1)当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC的面积为24，求CE的长；
(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
24. (本小题10.0分)
万州商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：
甲
乙
进价(元/部)
4300
3600
售价(元/部)
4800
4200
(1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？
(2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的23，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，请通过计算设计所有可能的进货方案．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，点E是BC上一个动点(点E与B、C不重合)，连AE，若a、b满足|2a−b−10|+(b−6)2=0，且c是不等式组x+124≤x+62x+23>x−3的最大整数解．
(1)求a，b，c的长；
(2)若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小；
(3)是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．
26. (本小题8.0分)
如图，△PBD和△PAC都是直角三角形，∠DBP=∠CAP=90°．
(1)如图1，PA，PB与直线MN重合，若∠BDP=45°，∠ACP=30°，求∠DPC的度数；
(2)如图2，若∠BDP=45°，∠ACP=30°，△PBD保持不动，△PAC绕点P逆时针旋转一周.在旋转过程中，
当AC//PD时，求∠APN的度数；
(3)如图3，∠BPA=α(90°<α<180°)，点E、F分别是线段BD、AC上一动点，当△PEF周长最小时，直
接写出∠EPF的度数(用含α的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、方程x2+2=6是一元二次方程，不符合题意；
B、方程2y+3=0是一元一次方程，符合题意；
C、方程x+y=9是二元一次方程，不符合题意；
D、方程2x+2=8是分式方程，不符合题意．
故选：B．
根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A．2x+5y=−10①5x−3y=6②，
①×5+②×2，得20x+19y=−38，没消去y，故本选项不符合题意；
B.①×3+②×(−5)，得−19x+30y=−60，没消去x，故本选项不符合题意；
C.①×5+②×3，得25x+16y=−32，没消去y，故本选项不符合题意；
D.①×5+②×(−2)，得31y=−62，消去x，故本选项符合题意；
故选：D．
先根据等式的性质进行计算，再逐个判断即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，有代入消元法和加减消元法两种．
3.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】C
【解析】解：A.当c<0时，
∵a
B.当m<0时，−m>0，
∵a>b，
∴−am>−bm，选项B不符合题意；
C.由ac2
∴当c≠0时，得ac2>bc2，选项D不符合题意．
故选：C．
利用不等式的性质，逐一判断四个选项，即可得出结论．
此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABC=80°，
∴∠DBE=∠ABC=80°，∠C=∠E，
∵∠D=65°，
∴∠C=∠E=180°−∠DBE−∠D=35°，
故选：D．
根据全等三角形的对应角相等得到∠DBE=∠ABC，∠C=∠E，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由旋转可得，∠CBE即为旋转角α，∠C=∠E=30°，
∵DE//AB，
∴∠ABE=∠E=30°，
∵∠ABC=50°，
∴∠CBE=30°+50°=80°，
∴α=80°，
故选：C．
根据旋转的性质，可得，∠CBE即为旋转角α，∠C=∠E=30°，根据平行线的性质，可得∠ABE=∠E=30°，据此可得旋转角α的度数．
本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
7.【答案】A
【解析】解：设有x辆车，则可列方程：3(x−2)=2x+9．
故选：A．
根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【解答】
解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线上，
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：x+152≥x+3①4x+1≥a②，
解不等式①，得x≤9，
解不等式②，得x≥a−14，
所以不等式组的解集是a−14≤x≤9，
∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解，
∴3
∵y>21，
∴6+a>21，
解得：a>15，
∴15
∴a为16或17，
16+17=33，
故选D．
先求出不等式组的解集，根据已知条件求出a的范围，求出方程的解，根据y>21求出a的范围，求出公共部分，再求出a的整数解，最后求出答案即可．
本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意依次计算可得：C1=(x+1)−(x−1)=2，C2=2+(x+1)=x+3，C3=x+1，C4=2x+4，C5=x+3，C6=3x+7，C7=2x+4，C8=5x+11，C9=3x+1，⋯，
根据6个一循环的规律可得：C2021=x+3，C2023=2，C2024=x+3，因此C2024C2023=x+32=C2021C2023，
所以①、②、④正确，
故选：C．
根据依次进行作差、求和的交替操作可判断即可①②③，根据C2=C5.C4=C7，C6=C9，⋯C2020=C2023，C2024=C2023+C2022进而得出C2021C2023+2，C2021+2C2023=C2022+C2023即可判定④．
本题考查整式的加减，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键．
11.【答案】x−2≤3
【解析】解：由题意可得：x−2≤3．
故答案为：x−2≤3．
首先表示出x与2的差为(x−2)，再小于等于3，列出不等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号．
12.【答案】4
【解析】解：∵x=2是方程11−2x=ax−1的解，
∴11−2×2=a×2−1，
11−4=2a−1，
2a=8，
a=4，
故答案为：4．
根据一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，故把方程的解x=2代入原方程，得到一个关于a的方程，再解出a的值即可得答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，关键是把握准一元一次方程的解的定义．
13.【答案】12
【解析】此题考查三角形的三边关系，还要注意奇数这一条件．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
解：第三边的取值范围是大于3而小于7，
又第三边是奇数，
故第三边只有是5，
则周长是2+5+5=12．
故答案为：12．
14.【答案】−3
【解析】解：4x+y=m+3①2x−y=2m②，
由①−②得2x+2y=−m+3，
∵x+y=3，
∴−m+3=2x+2y=6，
解得m=−3，
故答案为：−3．
由加减法得方程2x+2y=3m+3，再将x+y=3代入求解．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是通过整体代入法求解．
15.【答案】1260°
【解析】解：正n边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得360°n=40°，
解得n=9．
(9−2)×180°=1260°，
即这个正多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260°．
利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
本题主要考查了正多边形外角和与内角和等知识．解题的关键是明确正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．
16.【答案】25
【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：x+y=710y+x=2(10x+y)+2，
解得：x=2y=5
∴10x+y=25，
故答案为：25．
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“将个位与十位数字交换位置，则所得的两位数比原来的两位数的2倍少6”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.【答案】−10
【解析】解：由2x−a<1x−2b>3得x
∵−1
解得a=1，b=−2，
∴(a+1)(2b−1)=(1+1)(−2×2−1)=−10，
故答案为：−10．
解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为−1
18.【答案】57
【解析】解：∵正整数为t=10x+y，
则交换其个位上的数与十位上的数得到的新数t′=10y+x，
∵t为顺顺数，
∴t+t′=8，
即11x+11y=88，
∴x+y=8，
∵1≤x≤y≤9，
∴①当x=1时，y=7，
②当x=2时，y=6，
③当x=3时，y=5，
④当x=4时，y=4，
∴t=17或26或35或44，
∴F(17)=117，F(26)=23，F(35)=57，F(44)=411，
∴F(t)的最大值为57．
故答案为：57．
根据题意列出x、y的方程，求出符合条件的整数解，进而所在的F(t)的值，再确定其最大值便可．
此题主要考查了新定义的理解和应用，不定解方程的应用，弄清题中“最佳分解”与“顺顺数”的定义是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)去分母得：9x−3−12=10x−14，
移项合并得：−x=1，
系数化为1得：x=−1；
(2)3x+4y=19①x−y=4②，
由②得：x=y+4③，
把③代入①，得：
3(y+4)+4y=19，
解得：y=1，
把y=1代入③，得：
x=5，
所以方程组的解为x=5y=1．
【解析】(1)方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解；
(2)方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：3(x−1)+2≤5x+3①x3<1−x−15②，
解不等式①，得：x≥−2，
解不等式②，得：x<94，
将不等式①②的解集表示在数轴上为：
∴不等式组的解集为：−2≤x<94，
故该不等式组的最大整数解为2，
【解析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的整数解．
本题主要考查解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；
(2)如图，点P为所作；
(3)△ABC的面积=3×4−12×1×3−12×3×2−12×4×1=112．
【解析】(1)利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于MN的对称点A′、B′、C′即可；
(2)连接AC′交MN于P，利用PC=PC′得到PA+PC=AC′，则根据两点之间线段最短可判断此时P点满足条件；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
22.【答案】解：(1)根据题意，将x=−3y=−1代入②得：
−12+b=−2，
解得：b=10，
将x=5y=4代入①得：
5a+20=15，
解得：a=−1，
所以，a=−1，b=10；
(2)当a=−1，b=10时，
a2022−(−110b)2023=(−1)2022−(−110×10)2023=1−(−1)=2；
【解析】(1)根据题意，将x=−3y=−1代入②，将x=5y=4代入①即可分别求得a和b的值；
(2)把a和b的值代入计算即可．
此题考查了有理数的计算以及二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
23.【答案】解：(1)∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为24，
∴12BC⋅AD=24，
∴BC=2×246=8，
∵AE为边BC上的中线，
∴CE=12BC=4；
(2)∵∠C=66°，∠B=36°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−66°−36°=78°，
∴AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=39°，
∵∠ADC=90°，∠C=66°，
∴∠CAD=90°−66°=24°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=39°−24°=15°．
【解析】(1)先根据三角形面积公式计算出BC=8，然后根据AE为边BC上的中线得到CE的长；
(2)先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°，再利用角平分线的定义得到∠CAE=39°，接着计算出∠CAD，然后计算∠CAE−∠CAD即可．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高．
24.【答案】解：(1)设售出甲手机x部，乙手机y部，
由题意得：x+y=17(4800−4500)x=2(4200−3600)y，
解得：x=12y=5，
答：售出甲手机12部，乙手机5部；
(2)设购进甲手机x部，则购进乙手机(20−x)部，
由题意得：20−x≤23x4300x+3600(20−x)<81500，
解得：12≤x<1347，
∵x取整数，
∴x可取12，13，
因此所有可能的进货方案有2种：
①购进甲手机12部，乙手机8部；
②购进甲手机13部，乙手机7部．
【解析】(1)设售出甲手机x部，乙手机y部，根据销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，可列方程组，求解即可；
(2)设购进甲手机x部，则购进乙手机(20−x)部，根据购进乙种手机数不超过甲种手机数的23，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，可列不等式组，求出x的整数解，即可列出可能的进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式求解，属于常考题型．
25.【答案】解：(1)∵|2a−b−10|+(b−6)2=0，
∴2a−b−10=0b−6=0，
解得a=8b=6，
解不等式组x+124≤x+62x+23>x−3，
解得：−4≤x<11，
∵满足−4≤x<11的最大正整数为10，
∴c=10，
∴a=8，b=6，c=10；
(2)∵AE平分△ABC的周长，△ABC的周长为24，
∴AB+BE=12×24=12，
∴EC=6，BE=2，
∴AC=CE=6，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，
∴∠BEA=135°；
(3)不存在．
理由：∵当AE将△ABC分成周长相等的△AEC和△ABE时，EC=6，BE=2，
此时，△AEC的面积为：12EC⋅AC=12×6×6=18，
△ABE的面积为：12BE⋅AC=12×2×6=6面积不相等，
∴AE平分△ABC的周长时，不能平分△ABC的面积，
同理AE平分△ABC的面积时，不能平分△ABC的周长．
【解析】(1)根据二元一次方程组的解法得出a，b的值，再利用不等式组的解法得出x的取值范围，进而得出c的值；
(2)利用(1)中所求以及等腰直角三角形的性质得出AC=CE，进而得出答案；
(3)分别根据AE平分三角形ABC的周长和平分面积时不能同时符合要求进而得出答案．
本题是三角形的综合题，考查了解方程组、解不等式组、相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各个知识点及其之间的联系，属于中考考常考题型．
26.【答案】解：(1)∵∠DBP=∠CAP=90°，
又∵∠BDP=45°，∠ACP=30°，
∴∠BPD=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°−45°−60°=75°；
(2)∵∠CAP=90°，∠ACP=30°，
∴∠APC=60°，
当PC//BD时，分情况讨论：
①当△PAC旋转到如图所示：
∵PC//BD，且∠DBP=90°，
∴∠CPN=90°，
∴∠APN=30°；
②当△PAC旋转到如图所示：
∵PC//BD，且∠DBP=90°，
∴∠BPC=90°，
∴∠APB=30°，
∴∠APN=150°，
综上，∠APN=30°或150°；
(3)作点P关于BD的对称点P1，作点P关于AC的对称点P2，连接P1P2，与BD交于点E，与AC交于点F，如图所示：
此时△PEF的周长最小，
根据轴对称的性质，可得EP1=EP，
∴∠P1=∠EPP1，
同理，∠P2=∠FPP2，
∵∠BPA=α(90°
∴∠EPF=α−(180°−α)=2α−180°，
∴当△PEF周长最小时，∠EPF=2α−180°．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理求解即可；
(2)当PC//BD时，分情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可；
(3)作点P关于BD的对称点P1，作点P关于AC的对称点P2，连接P1P2，与BD交于点E，与AC交于点F，根据轴对称的性质可得EP1=EP，进一步可得∠P1=∠EPP1，从而求出∠P1+∠P2的度数，即可表示出∠EPF的度数．
本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，三角形周长最小等，本题综合性较强，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键．
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