第23讲 平面向量基本定理和坐标表示（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

这是一份第23讲 平面向量基本定理和坐标表示（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含第23讲平面向量基本定理和坐标表示精讲原卷版docx、第23讲平面向量基本定理和坐标表示精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
知识点一 平面向量相关知识点
(1)向量加法：(右侧自主作图)
平行四边形法则： .
三角形法则： .
鸡爪定理： （其中D为三角形ABC的BC边中点）.
(2)向量减法：
三角形法则： （共起点，指向被减向量）.
向量数乘：
1.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 ．
若A,B,C三点共线，则存在 .
2.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ ．（同时，如果me1 = ne2，则 ）其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
3.平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
(1) 若,则模为
(2)若则,
(3)表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.
(4) 向量相等坐标相同。
4.平面向量的坐标运算
若，则
若=(x,y)，则=( , )
若，则 .这两个向量的夹角余弦值为： .
= . 几何图像为：

（变形公式）
5.设则：
向量共线: .
向量垂直: .
二、题型分类精讲
题型一 平面向量基本定理的应用
策略方法 平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
【典例1】在平行四边形ABCD中，，.

(1)如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用分别表示；
(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在中，，E为AD中点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）在平行四边形中，M为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山西大同·统考模拟预测）在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ）
A．B．C．1D．
5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（ ）
A．B．2C．D．4
6．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ等于（ ）

A．1B．C．D．
二、多选题
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在中，若点满足，设，则______.
10．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在中，，点是的中点.若存在实数使得，则__________（请用数字作答）.
11．（2023·福建漳州·统考三模）已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是_________.
四、解答题
12．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.
(1)用表示向量；
(2)若点F在AC上，且，求AF∶CF.
题型二 平面向量的坐标运算
策略方法 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
【典例1】如图，平面上，，三点的坐标分别为,,.
(1)写出向量，，的坐标；
(2)如果四边形是平行四边形，求的坐标.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3)B．(2，－3)
C．(－2，1)D．(2，－1)
4．（2023·浙江·二模）若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知向量，，，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点，，则与方向相反的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设，向量，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
二、填空题
9．（2023·河北·高三学业考试）若，A点的坐标为，则B点的坐标为__________.
10．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知，，且，则点M的坐标为______.
11．（2023·贵州·统考模拟预测）已知向量，且，则__________.
三、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知,,，且，，求点及向量的坐标.
题型三 向量共线的坐标表示
策略方法 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【典例1】已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量，若，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）梯形中，，已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量，若与共线，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在 中，点满足与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知向量，若，则实数______.
8．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，若与平行，则实数______________．
9．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知向量，，若与方向相反，则______．
10．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量，若，则___________.
11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知向量，，且，则等于______．
三、解答题
12．（2023春·四川遂宁·高三四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）证明：对任意实数，恒有成立.
①平面向量基本定理的应用
②平面向量的坐标运算
③向量共线的坐标表示