第35讲 空间向量的运算及其坐标表示（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
（4）空间向量的加法和减法运算
①，．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
二、空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．
（4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
（5）直线的方向向量
为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．
②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．
三、空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
（2）数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；
（分配律）．
知识点四：空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；
；
；
；
．
（2）设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；
；
；
；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量在向量上的投影为．
二、题型分类精讲
题型一 空间向量的线性运算
策略方法 用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【典例1】在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的运算法则运算即可；
（2）根据空间向量的运算法则运算即可求解；
【详解】（1）根据空间向量的运算法则，可得

.
（2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有
根据空间向量的运算法则，可得.

【题型训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知在四面体中，为的中点，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】如图所示，因为为的中点，，且，
则.
故选：D.

二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由于 不共面，可以作为基底，将 表示出来即可.
【详解】由图可知， ，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D正确；
故选：BD.
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则 ．
【答案】
【分析】根据空间向量的加法法则求解即可
【详解】由题意，
故答案为：
7．（2023·高三课时练习）已知在四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设，，，则等于 ．
【答案】
【分析】根据向量的运算法则即可求解.
【详解】如图所示：
可知：
即，
故答案为：.
题型二 空间共线、共面向量定理的应用
策略方法 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
【典例1】已知向量，若与平行，则实数k的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据已知条件结合向量共线定理求解即可
【详解】因为，
所以，
，
因为与平行，所以存在唯一实数，使，
所以，所以，解得，
故选：C
【典例2】为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.
【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线，
若、、、四点共面，则，
因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，
所以，，解得.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，则实数m的值等于（ ）
A．B．－2
C．0D．或－2
【答案】B
【分析】利用空间向量平行的坐标表示，即可求得结果.
【详解】当m＝0时，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，
与不平行，∴m≠0，∵，
∴，解得m＝－2.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个非零向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】①②空间向量共线不代表所在直线平行，且空间任意两向量都共面，即可判断；③利用四面体四条侧棱说明即可；④根据空间向量基本定理即可判断.
【详解】①若向量共线，则向量所在的直线平行或重合，错误；
②若向量所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故共面，错误；
③若三个向量两两共面，如下图：显然不共面，错误；
④已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，根据空间向量基本定理知：总存在实数使，正确.
所以正确的个数是1，
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.
【详解】空间一点满足，若四点共面，则
选项A：.判断错误；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习已知，若三向量共面，则等于（ ）
A．B．9C．D．
【答案】D
【分析】由，，共面，设，列方程组即可求出λ的值．
【详解】∵，，共面，
∴设（为实数），即，
∴，解得．
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若，，三向量共面，则（ ）
A．9B．3C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的共面定理得到，再利用空间向量相等的性质及坐标运算即可得解.
【详解】因为，，三向量共面，
所以存在实数，使得，
即，
所以，解得，
所以.
故选：C.
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据向量共面的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】选项A，因为，所以共面；
选项B，因为，所以共面；
选项C，在构成的平面内，不在这个平面内，不符合.
选项D，因为共线，所以共面.
故选：ABD
三、填空题
7．（2023·高三课时练习）已知向量，，若，则x＋y的值为 ．
【答案】
【分析】由，则，代入坐标,建立等式,解出即可.
【详解】解:由题知,所以，，即,
故有，解得，故.
故答案为:
8．（2023·高三课时练习）已知点，，，若，则 .
【答案】
【分析】令，利用空间向量的数量关系求坐标，进而求的坐标，利用空间向量模的坐标表示求.
【详解】令，则，，
由，即，可得，
∴，故，
∴.
故答案为：
9．（2023·高三课时练习）已知，，．若、、三向量共面，则实数 ．
【答案】
【分析】由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.
【详解】因为不平行，且、、三向量共面，
所以存在实数x，y，使，
所以，解得，
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）设点在点确定的平面上，则实数 ．
【答案】16
【分析】利用空间向量共面定理，写出向量坐标，列出方程组，求解方程组可得答案.
【详解】由已知得：；
因为四点在同一平面上，所以存在，使得,
所以,
所以,解得.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量共面充要条件推理计算作答.
【详解】因A，B，C三点不共线，P，A，B，C四点共面，则对空间中任意一点O，有，
即有，而，
因此，解得，
所以实数.
故答案为：
12．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足，，点G在线段MN上，且满足，若，则 .
【答案】
【解析】以作为空间向量的基底，利用向量的线性运算可得的表示，从而可得的值，最后可得的值.
【详解】,
又，
故，
而，
所以，
因为不共面，故，
所以，
故答案为：
13．（2023·上海·高三专题练习）在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点 .
【答案】（或C或边上的任意一点）
【分析】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.
【详解】解：因为点P满足，其中，且，
所以点三点共面，
因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，
所以,
连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，
故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）
故答案为：（或C或边上的任意一点）
【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.
题型三 空间向量的数量积运算
策略方法 空间向量数量积的应用
【典例1】已知正四面体的棱长为1，如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】根据向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐问运算，即可求解.
【详解】（1）解：在正四面体中，，且，
可得.
（2）解：由向量的运算法则，可得
．
（3）解：由.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知正四面体的棱长为1，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量减法的三角形法则和向量的数量积的定义和正四面体的定义即可求解.
【详解】因为，所以.
根据向量的减法法则，得，
所以
.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有

故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图建系，求得各点坐标，可得，根据投影向量的求法，代入公式，即可得答案.
【详解】过作，分别以为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
设正三棱柱的棱长为2，
则，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】A
【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积的运算法则，求解即可.
【详解】因为，
所以，
，
则.
故选：A.
5．（2023秋·北京·高三北理工附中校考阶段练习）已知平面向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，设与的夹角为，由求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
设与的夹角为，
则，
又因为，
所以.
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知为标准正交基底，，则在方向上的投影数量为（ ）
A．1B．－1
C．D．－
【答案】A
【分析】利用投影向量的定义求解即可
【详解】因为，为标准正交基底，
所以在方向上的投影数量为，
故选：A
7．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可.
【详解】设，，，棱长均为，
由题意，，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A.
8．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）在四面体中，，，，，则的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】B
【分析】根据空间数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，
所以
，
又，所以，
即，
即，
所以，
所以.

故选：B
9．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.
【详解】由，可得，
因为底面为矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，则.
故选：B
10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】取中点，连接，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得.
【详解】取中点，连接，如图，
则，
当在正方体表面上运动时，运动到或处时，最大，
所以,
所以的最大值为8.
故选：C
二、多选题
11．（2023秋·福建莆田·高三莆田八中校考阶段练习）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：BD.
12．（2023·全国·高三专题练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，若，则
B．若空间四个点，，则三点共线
C．已知向量，若，则为钝角
D．任意向量满足
【答案】AB
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B
【详解】对于A：因为，，则，故A正确；
对于B：因为，则，即，
又与有公共点，所以三点共线，故B正确；
对于C：，
若为钝角：则，且与不共线，
由得，
当时，，即，由与不共线得，
于是得当且时，为钝角，故C错误；
对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，
故选：AB
13．（2023·全国·高三专题练习）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
【答案】AB
【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.
【详解】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：

由向量的加法得到：，
∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，
又∵A1BD1C，
∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，
但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；
∵AB⊥AA1，∴，
故0，故D错误．
故选：AB．
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，且 ，则实数 ．
【答案】
【分析】，利用向量的数量积的坐标运算即可.
【详解】，则，解得
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 .
【答案】
【分析】首先求得与同向的单位向量，根据投影向量定义知所求为.
【详解】，与同向的单位向量，
在方向上的投影向量为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知，则 ， ， ， ， ．
【答案】
【分析】由空间向量的模长公式，数量积的运算法则，夹角公式计算即可.
【详解】已知，则，
，，
，
.
故答案为：；；；；.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知与夹角为60°且，，则在方向上的投影向量是 ．
【答案】
【分析】在方向上的投影数量为，投影向量为： ;同理可证：在方向投影向量为.
【详解】在方向投影向量.
故答案为：.
18．（2023·高三课时练习）若ABCD为空间四边形，则 ．
【答案】0
【分析】由向量的减法运算可知，代入并结合数量积的运算性质即可得出结果．
【详解】
．
故答案为：0．
19．（2023·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则 ．
【答案】
【分析】以为基底，，即可求解.
【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则
,
所以
，
所以,
故答案为：
①空间向量的线性运算
②空间共线、共面向量定理的应用
③空间向量的数量积运算
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up7(→))＝λeq \(PB,\s\up7(→))且同过点P
eq \(MP,\s\up7(→))＝xeq \(MA,\s\up7(→))＋yeq \(MB,\s\up7(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋teq \(AB,\s\up7(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋xeq \(MA,\s\up7(→))＋yeq \(MB,\s\up7(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up7(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OM,\s\up7(→))＋yeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up7(→))