第24练 平面向量的数量积及其应用（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
6．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
7．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
9．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
二、填空题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则______________．
【答案】
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
11．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
12．（2021·全国·统考高考真题）已知向量．若，则________．
【答案】.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
13．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则_________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.
14．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
15．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则______．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
16．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
三、双空题
17．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】 1
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】根据共线先求出，根据向量的模的坐标公式即可.
【详解】因为，所以，解得.
所以，
.
故选：C.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）设都是单位向量，且，则向量的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等式将移到另一端,两边同时平方,由都是单位向量可求出的夹角.
【详解】由，可知，故，所以.
设的夹角为，即，又，所以.
故选：C.
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量是，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量在向量上的投影向量求出，代入的定义式即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量是，所以,
因此.
故选：A.
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（ ）

A．1B．-2C．2D．
【答案】C
【分析】判断形状可得，然后根据数量积定义直接求解即可.
【详解】由题知，为正三角形，所以，所以.
故选：C
5．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】D
【分析】依题意可得，即可求出的值，在求出的坐标，从而求出其模.
【详解】因为，，且，所以，所以，
所以，，所以.
故选：D.
6．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量与的夹角是，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案
【详解】由可得，
因为平面向量与的夹角是，且
所以
故选：C
7．（2023·人大附中校考三模）已知向量，与共线，则=（ ）
A．6B．20C．D．5
【答案】C
【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.
【详解】由题意知，
又，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知单位向量满足，其中，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.
【详解】因为单位向量满足，
所以，
由投影向量计算公式可知在上的投影向量是，
即
故，而，故.
故选：D
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出两个向量的数量积，再根据公式可求投影向量.
【详解】因为，故，
故，而向量在向量方向上的投影向量为，
故选：B.
10．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．12D．72
【答案】A
【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.
【详解】因为，且与夹角的余弦值为，
所以.
故选：A.
11．（2023·重庆·校联考三模）在△ABC中，，且点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算和题干条件得到，从而得到.
【详解】由题意得，平方得，
故，
因为点D满足，所以，
平方得，
故.
故选：D
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．12D．24
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律即可求解．
【详解】由，
所以．
故选：C．
13．（2023·辽宁·校联考二模）已知向量，，，则实数m的值为（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】先求得的坐标，再由求解.
【详解】解：因为向量，，
所以，
又因为，
所以，
解得，
故选：D
14．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用垂直的向量表示求出的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】因为与垂直，则，即，化简得，
而，则．又，有，
所以与的夹角为.
故选：B
15．（2023·甘肃·模拟预测）平行四边形中，，，，则等于（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】A
【分析】利用转化基底的方法进行平面向量数量积的运算即可求解.
【详解】由题意知平行四边形中，，，
得，
故选：A.
16．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在矩形中，，，为边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量表示，结合数量积的定义求.
【详解】由已知，，
又，，
所以.
所以.
故选：A.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则的最小值为（ ）
A．7B．
C．7＋4D．4
【答案】B
【分析】由数量积的运算公式求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为向量，
若，可得，即，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
二、多选题
18．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
【答案】AD
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识，一一验证即可.
【详解】由题意知，，，
则，因此A正确；
在方向上的投影向量为
，因此B错误；
与垂直的单位向量的坐标为
或，因此C错误；
因为，，
若向量与向量共线，则，
解得，因此D正确.
故选：AD.
19．（2023·广东广州·统考三模）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量是
【答案】AC
【分析】根据与的数量积为可得A正确；根据向量平行的坐标表示可得B错误；根据模长公式可得C正确；求出投影向量可得D错误.
【详解】因为，，
所以，，故A正确；
因为，故B错误；
，，故C正确；
因为在上的投影向量是，故D错误.
故选：AC．
20．（2023·湖南·校联考二模）已知向量，//，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】A选项根据向量的数量积运算判断；
B选项根据模长公式计算；
C选项利用向量共线的关系结合模长公式计算；
D选项根据向量的加法进行判断.
【详解】因为，所以，则A正确；
，则B正确；
因为//，所以设，因为，
所以，解得，所以或，故C错误；
，故D错误．
故选：AB
21．（2023·山东滨州·统考二模）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若∥，则
C．若，则D．若，则向量，的夹角为钝角
【答案】BD
【分析】由向量模的计算公式判断A；由共线向量的坐标运算判断B；由向量垂直时数量积为0判断C；由向量的数量积判断D.
【详解】解：对于A，因为，，所以， ，解得或，故A错误；
对于B，因为∥，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，解得，故C错误；
对于D，当时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确.
故选：BD.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】设的坐标，利用向量模的坐标公式及关系，建立方程组解出来即可.
【详解】设，
因为，，
所以，
解得或，
故或．
故选：AC.
23．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则D．恒成立
【答案】ABC
【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
三、填空题
24．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）已知向量，且，则___________.
【答案】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为，，所以，又，
所以，解得，所以，故.
故答案为：.
25．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.
【答案】
【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】由题意可得，
因为，
则，解得.
故答案为：
26．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）若，，，则______．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答.
【详解】因为，，，则，解得，
所以.
故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，若，则______
【答案】
【分析】根据平面向量垂直的向量表示以及平面向量的夹角公式可求出结果.
【详解】由可知，即，可得，
又，，
故．
故答案为：
28．（2023·江西·统考模拟预测）已知单位向量，满足，则__________．
【答案】
【分析】将两边平方，根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，为单位向量且满足，
所以，即，
即，解得.
故答案为：
29．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，，则______．
【答案】9
【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由及，夹角为可知，
又，解得，则，
故，
故答案为：9
30．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则在上的投影向量______.
【答案】
【分析】根据在上的投影向量即可求解.
【详解】设与的夹角为，在上的投影向量.
故答案为：.
31．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.
【答案】
【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.
【详解】设与交于，则且是线段的中点，
，由平面向量数量积的几何意义知，
.
故答案为：
32．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若平面四边形满足，，则该四边形一定是______.
【答案】菱形
【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.
【详解】，,
所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，
所以DB垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
故答案为：菱形.
33．（2023·浙江温州·统考三模）在平行四边形中，若，则___________.
【答案】4
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得，然后由数量积的坐标表示可解.
【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，
所以
又
所以
所以
故答案为：4
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.
【详解】由条件可知，所以，
在中，由余弦定理，可得，
，菱形的对角线互相垂直，则向量与向量的夹角为，
则.
故选：D.
2．（2023·河南郑州·三模）若向量、满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】已知式平方得，平方求得，两种方法计算后可得结论．
【详解】，所以，又，所以，
，
，
又，
所以，，
又，所以，
故选：D．
3．（2023·湖北·校联考三模）正的边长为2，，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，表示出向量，再利用向量基本运算法则表示出向量，再利用向量额数量积运算即可.
【详解】设，如图所示：
因为
所以
，
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】D
【分析】由，，用表示，然后利用数量积的运算律和定义求解.
【详解】解：因为，，
所以，
，
，
所以，
，
，
故选：D
5．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，为单位向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意结合数量积的定义分析可得反向，进而可得，运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
因为，则，即，
可得，且，
则，即反向，
可得.
故选：D.
6．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）中，||=2||，则sinA的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由||=2||，两边，整理得到，结合基本不等式进而得到的最小值，再利用平方关系求解.
【详解】解：由||=2||，
两边同时平方得，
展开整理得，
即，
，
当且仅当时等号成立.
又且时，
所以取最大值.
故选：C
7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若，均为单位向量，且，则k的值可能是（ ）
A．-2B．2C．3D．-3
【答案】B
【分析】两边同时平方，得到，余弦值只能在判断即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
由于，均为单位向量，所以，
所以，由于，所以只有B符合.
故选：B.
8．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得，从而可求得，再根据即可得解.
【详解】由，得，
即，所以，
则，
，
则，
又，所以，
即向量与的夹角为.
故选：D.
9．（2023·吉林·统考模拟预测）点是的重心，，则（ ）
A．32B．30C．16D．14
【答案】A
【分析】利用勾股定理和向量垂直数量积为0，列向量方程求解即可.
【详解】记，
因为是的重心，
所以，，
因为
所以
整理得
所以，解得，即
故选：A
10．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知平面向量，满足，则的最小值为（ ）
A．-1B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得，即可得解。
【详解】由可得，
即，
而，当且且，反向时等号成立，
所以，即，等号成立条件为.
故选：A
二、多选题
11．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．在上的投影向量是D．在上的投影向量是
【答案】BC
【分析】根据向量的坐标运算求出，，即可求出数量积以及模，判断A、B项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C、D项.
【详解】由已知可得，，.
对于A项，因为，故A项错误；
对于B项，因为，，所以，故B项正确；
对于C项，因为，， ，
所以在上的投影向量是，故C项正确；
对于D项，，，
所以在上的投影向量是，故D项错误.
故选：BC.
12．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设，非零向量，，则（ ）.
A．若，则B．若，则
C．存在，使D．若，则
【答案】ABD
【分析】A选项，验证即可；
B选项，验证；
C选项，由题可得，，据此可判断选项正误；
D选项，由题可得，据此可判断选项
【详解】A选项，，
则，故A正确；
B选项，，则，
故，故B正确；
C选项，假设存在，使，则，，则可得
，故可得
，则假设不成立，故C错误；
D选项，因，则，又由题可得，则
，故D正确.
故选：ABD
13．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】AD选项，由可得，，
后结合，可判断选项正误；
BC选项，结合AD选项分析可得，据此可判断BC选项正误.
【详解】AD选项，，得，整理得①．
由，得，整理得②．
由①②及，得，所以，.故AD正确；
BC选项，，所以，所以反向共线，
又，所以，.故B正确，C错误.
故选：ABD．
14．（2023春·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点O为△ABC内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若点O为△ABC的外心，BC＝4，则
【答案】AB
【分析】由为中点，结合平行四边形法则判断A；由重心的性质判断B；由三角形法则和平行四边形法则判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D.
【详解】选项A：因为，所以为中点，由题易知，故A正确．
选项B：若，则点O为△ABC的重心，（三角形重心的性质）则，故B正确．
选项C：若，则，故C错误．
选项D：若点O为△ABC的外心，BC＝4，则，（三角形外心的性质）
故，故D错误．
故选：AB
三、填空题
15．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．
【答案】
【分析】由可得，，后由向量夹角的坐标表示可得答案.
【详解】，则，则，又，则
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）在边长为6的正中，若点满足，则__________.
【答案】
【分析】以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，所以，
，
所以
.
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内非零向量，满足，则__________.
【答案】
【分析】由已知条件可求得，，将平方展开代入求值即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
又因为，两边平方得：，
解得，
所以,
所以.
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
【答案】
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故答案为：.
19．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量满足且，当向量与向量的夹角最大时，向量的模为______．
【答案】
【分析】由可平方求得，利用向量夹角公式可化简得到，采用换元法，令，结合基本不等式可求得，根据取等条件可确定.
【详解】，，，即；
设向量与向量的夹角为，
，
令，则，（当且仅当，即时取等号）；
当最大时，最小，此时，解得：.
故答案为：.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，，则的最小值为_________
【答案】3
【分析】由题意不妨设,,，根据向量数量积的坐标表示可得，，从而由向量模的坐标公式表示出，即可得答案.
【详解】不妨设,,，
则，，则，
故，
，，当且仅当时取等号，
则的最小值为3，
故答案为：3
21．（2023·安徽宣城·统考二模）已知向量满足，对任意的的最小值为，则与的夹角为________．
【答案】
【分析】利用模的计算得到恒成立，判断出取等号的条件，即可求出与的夹角.
【详解】因为向量满足，
所以向量满足.
设与的夹角为
所以
因为任意的的最小值为，所以恒成立，
配方后可得：恒成立，
所以当时，取得最小值3，此时，解得：.
又因为，所以.
因为，所以.
故答案为：.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】C
【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.
【详解】设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.
2．（2023·北京·高三专题练习）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：B
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
3．（2023·全国·高三专题练习）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把转化为，由余弦定理、数量积的定义得，讨论的位置得，结合锐角三角形恒成立，即可得范围.
【详解】由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又，而，若外接圆半径为r，
则，故，且，即，
由，
对于且在圆上，当为直径时，当重合时，
所以，
综上，，
锐角三角形中，则，即恒成立，
所以，则恒成立，
综上，.
故选: C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.
【详解】由可知,，故，
如图建立坐标系，，，
设，由可得：
，
所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，
所以，几何意义为到距离的2倍，
由儿何意义可知，
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【详解】根据题意，设，，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，
则，，设，则，
若，则有，
则在以为圆心，半径为2的圆上，
设为点，则，则有，
即，
则的取值范围为；
故选：D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则为的中点
D．若在线段上，且，则的取值范围为
【答案】BD
【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.
【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，
则，整理得到，
，
，，设，
对选项A：，，，错误；
对选项B：，，
，即投影向量为，正确；
对选项C：，
，
，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：，，，
，，
整理得到，，故，正确.
故选：CD
【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.
三、填空题
8．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量，，满足，，，则的最大值为___________．
【答案】
【分析】根据题意，设出，，的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】设，，，，
由已知可得：，
当且仅当时，取等号，
当时，有，得，
当时，有，得，
所以当时，.
所以的最大值为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，点为边的中点，，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据数量积的运算化简可得，再设，结合三角形中的余弦定理，根据基本不等式求解即可
【详解】，因为为边的中点，，故，故求的最大值.设，，则由余弦定理，，，因为，故，即，又，故，即，此时，故，当且仅当时取等号.即的最小值为
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）已知为单位向量，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题设以为x、y轴构建平面直角坐标系，，令结合已知有，又，将问题转化为求点到上点距离的范围，即可得结果.
【详解】由为单位向量，且，故，
以为x、y轴构建平面直角坐标系，如下图示，则，
令，则，又，
所以，即，
故的终点在圆心为，半径为1的圆上，
而，故，
所以，只需确定点到上点距离的范围即可，而到的距离为，
故，则.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：构建平面直角坐标系，将问题化为求定点到圆上点距离的范围，进而求目标式的范围.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________.
【答案】
【分析】由题意可知，O为外接圆的圆心，过O作，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值．
【详解】由题意可知，为的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,
因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，
则 得②，
①②联立解得，，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将两边分别乘以，结合数量积定义化简得到关于的方程，求得答案.
12．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______．
【答案】-1
【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案.
【详解】，故，
因为，所以，又，
所以，解得：，
不妨设，，夹角为，则，
两边平方得：，
即，解得：，
因为，所以，
故，夹角的余弦的最小值为-1.
故答案为：-1