2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练5二次函数与一元二次不等式

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练5二次函数与一元二次不等式，共5页。

一、选择题
1．如果函数f(x)＝ eq \f(1,2)(2－m)x2＋(n－8)x＋1(m>2)在区间[－2，－1]上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B．18
C．25 D．30
答案：B
解析：因为m>2，所以函数f(x)的图象开口向下，所以 eq \f(8－n,2－m)≤－2，即8－n≥－2(2－m)，所以n≤12－2m，故nm≤(12－2m)m＝－2m2＋12m＝－2(m－3)2＋18≤18，当且仅当m＝3，n＝6时等号成立，故选B.
2．不等式x2＋3x－4>0的解集是( )
A．{x|x>1或x<－4}
B．{x|x>－1或x<－4}
C．{x|－4D．{x|x<－1或x>4}
答案：A
解析：由x2＋3x－4>0得(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故选A.
3．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(1，2)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案：C
解析：由题意知－ eq \f(b,a)＝1，即b＝－a且a>0.
则不等式(ax＋b)(x－2)<0.
化为a(x－1)(x－2)<0.
故解集为(1，2).
4．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－4≤a≤4}
B．{a|－4C．{a|a≤－4或a≥4}
D．{a|a<－4或a>4}
答案：A
解析：因为函数y＝x2＋ax＋4的图象开口向上，要使不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，所以Δ＝a2－16≤0.
∴－4≤a≤4.
5．已知函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值是5，最小值是1，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[2，4]
C．(－∞，2] D．[0，2]
答案：B
解析：f(x)＝x2－4x＋5可转化为f(x)＝(x－2)2＋1.
因为函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，f(2)＝1，f(0)＝f(4)＝5，
且函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，
所以实数m的取值范围为[2，4]，故选B.
6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
答案：C
解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).
7．(多选)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的值可以为( )
A．－6 B．－5 C．－4 D．0
答案：CD
解析：方法一 ∵x∈[1，5]，
∴不等式x2＋ax－2>0化为a> eq \f(2,x)－x，
令f(x)＝ eq \f(2,x)－x，则f′(x)＝－ eq \f(2,x2)－1<0，
∴f(x)在[1，5]上单调递减，
∴f(x)min＝f(5)＝ eq \f(2,5)－5＝－ eq \f(23,5)，
∴a>－ eq \f(23,5).
方法二 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根，于是不等式在[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得：a>－ eq \f(23,5).
8．当x∈[0，1]时，下列关于函数y＝(mx－1)2的图象与y＝ eq \r(x＋m)的图象交点个数说法正确的是( )
A．当m∈[0，1]时，有两个交点
B．当m∈(1，2]时，没有交点
C．当m∈(2，3]时，有且只有一个交点
D．当m∈(3，＋∞)时，有两个交点
答案：B
解析：设f(x)＝(mx－1)2，g(x)＝ eq \r(x＋m)，其中x∈[0，1]．
A．若m＝0，则f(x)＝1与g(x)＝ eq \r(x)在[0，1]上只有一个交点(1，1)，故A错误．
B．当m∈(1，2]时，∵ eq \f(1,2)≤ eq \f(1,m)＜1，∴f(x)≤f(0)＝1，g(x)≥g(0)＝ eq \r(m)＞1，∴f(x)＜g(x)，即当m∈(1，2]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝ eq \r(x＋m)的图象在x∈[0，1]时无交点，故B正确．
C．当m∈(2，3]时，∵ eq \f(1,3)≤ eq \f(1,m)＜ eq \f(1,2)，∴f(x)≤f(1)＝(m－1)2，g(x)≥g(0)＝ eq \r(m)，不妨令m＝2.1，则f(x)≤1.21，g(x)≥ eq \r(2.1)≈1.45，∴f(x)＜g(x)，此时无交点，即C不一定正确．
D．当m∈(3，＋∞)时，g(0)＝ eq \r(m)＞1＝f(0)，此时f(1)＞g(1)，此时两个函数图象只有一个交点，∴D错误．
9．(多选)下列四个解不等式，正确的有( )
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(2,3)))或x≥ eq \f(1,2)}
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
答案：BCD
解析：A中，不等式2x2－x－1>0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>1或x<－\f(1,2)))))，A不正确；B正确；C中，a>0，且 eq \f(21,a)＝7，所以a＝3，C正确；D中，－2＝q，－p＝q＋1＝－2＋1＝－1，∴p＝1，∴p＋q＝1－2＝－1，D正确．故选BCD.
二、填空题
10．若00的解集是________．
答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x\f(1,a)))))
解析：∵00的解集是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x\f(1,a))))).
11．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤0，,－x＋2，x>0，))则不等式f(x)≥x2的解集为________．
答案：[－1，1]
解析：当x≤0时，由x＋2≥x2，解得－1≤x≤2.
∴－1≤x≤0，
当x>0时，由－x＋2≥x2解得－2≤x≤1，
∴0综上，不等式f(x)≥x2的解集为[－1，1].
12．已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，则实数m的取值范围是________．
答案：(2，6)
解析：由题意知m－2≠0
∴m≠2
∵不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2>0，,Δ<0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>2，,4（m－2）2－16（m－2）<0，))解得2[能力提升]
13．(多选)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为( )
A．∅
B．(－1，a)
C．(a，－1)
D．(－∞，－1)∪(a，＋∞)
答案：ABCD
解析：对于a(x－a)(x＋1)>0，
当a>0时，y＝a(x－a)(x＋1)开口向上，与x轴的交点为a，－1，
故不等式的解集为x∈(－∞，－1)∪(a，＋∞)；
当a<0时，y＝a(x－a)(x＋1)开口向下，
若a＝－1，不等式解集为∅；
若－1若a<－1，不等式的解集为(a，－1)，
综上，ABCD都成立．
14．(多选)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是( )
A．若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－ eq \f(2,5)
B．若不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠\f(1,k)))))，则k＝ eq \f(\r(6),6)
C．若不等式的解集为R，则k<－ eq \f(\r(6),6)
D．若不等式的解集为∅，则k≥ eq \f(\r(6),6)
答案：ACD
解析：A中，∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，
∴k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
∴(－3)＋(－2)＝ eq \f(2,k)，解得k＝－ eq \f(2,5)，A正确；
B中，∵不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠\f(1,k)))))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k<0，,Δ＝4－24k2＝0，))解得k＝－ eq \f(\r(6),6)，B错；
C中，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))解得k<－ eq \f(\r(6),6)，C正确；
D中，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k>0，,Δ＝4－24k2≤0，))解得k≥ eq \f(\r(6),6)，D正确．
15．已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0，则( )
A．a<0 B．a>0
C．b<0 D．b>0
答案：C
解析：方法一 若a，b，2a＋b互不相等，则当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≤0，,b≤0，,2a＋b≤0))时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b<0；
若a＝b，则当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≤0，,a＝b，,2a＋b≤0))时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b<0；
若a＝2a＋b，则当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥0，,a＝2a＋b，,b≤0))时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b<0；
若b＝2a＋b，则a＝0，与已知矛盾；
若a＝b＝2a＋b，则a＝b＝0，与已知矛盾．
综上，b<0，故选C.
方法二 特殊值法：当b＝－1，a＝1时，(x－1)(x＋1)(x－1)≥0在x≥0时恒成立；当b＝－1，a＝－1时，(x＋1)(x＋1)(x＋3)≥0在x≥0时恒成立；当b＝1，a＝－1时，(x＋1)(x－1)(x＋1)≥0在x≥0时不一定成立．故选C.
16．[2024·山东省实验中学模拟]某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－k＋\f(4 500,x)))L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为________．
答案：100 [60，100]
解析：由题意，当x＝120时，
eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(120－k＋\f(4 500,120)))＝11.5，
解得k＝100.
由 eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－100＋\f(4 500,x)))≤9，
得x2－145x＋4 500≤0，
解得45≤x≤100，
又∵60≤x≤120.
∴60≤x≤100.