2022-2023学年山东省济南市钢城区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市钢城区九年级上学期数学期末试题及答案，共29页。试卷主要包含了 已知在中，，则的值是等内容，欢迎下载使用。
答题前，请考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将姓名和准考证号填写在试题规定的位置．
答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在 答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效．
本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1. 下列各点，在反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将每个选项中的坐标代入反比例函数解析式中，能够使得等式成立的选项则在函数图象上．
【详解】解：A、将代入中得：，故本选项不符合题意；
B、代入中得：，故本选项符合题意；
C、代入中得：，故本选项不符合题意；
D、代入中得：，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题．
2. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3. 已知在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意画出图形，根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：如图：
在中，，
由锐角的余弦，得．
故选A．
【点睛】本题主要考查求锐角的三角函数值，解题的关键是掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边．
4. 将抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左加右减自变量，上加下减常数项，进行抛物线的平移即可．
【详解】解：根据左加右减自变量，上加下减常数项可知：
将抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为：，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的平移，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
5. 从﹣2，3，4，5中随机选取一个数作为二次函数中a的值，则抛物线开口向下的概率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数开口方向向下时得到，再根据概率计算公式计算即可；
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∴在﹣2，3，4，5中符合条件的是，
∴概率是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了概率公式和二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键．
6. 已知点，在反比例函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将，两点坐标代入函数解析式中，直接比较结果的大小即可．
【详解】解：将代入中得：，
代入中得：，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的解析式，能够根据函数的横坐标求出对应的纵坐标是解决本题的关键．
7. 已知圆锥的三视图及相关数据如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三视图中数据可知该圆锥的底面半径为，高为，再由勾股定理可求得圆锥母线长为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：由三视图中可知，该圆锥的底面半径为，高为，
∴由勾股定理，可得圆锥母线长为，
∴圆锥侧面积．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆锥的三视图、勾股定理、圆锥侧面积的求法等知识，由该三视图中的数据确定圆锥的底面半径和高是解题的关键．
8. 一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据各选项中一次函数图像位置确定a、b的符号，再根据a、b的符号确定双曲线的大致位置进行判断即可．
【详解】解：A. 根据一次函数图像在第一、二、三象限，则，即，则双曲线在第一、三象限，与A选项不符，故A选项不符合题意；
B. 根据一次函数图像在第一、二、三象限，则，即，所以双曲线在第一、三象限，故B选项符合题意；
C. 根据一次函数图像在第一、三、四象限，则，即，所以双曲线在第二、四象限，与C选项不符，故C选项不符合题意；
D. 根据一次函数图像在第二、三、四象限，则，即，所以双曲线在第一、三象限，与D选项不符，故D选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图像与性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
9. 如图，是圆O的直径，C、D是上的两点，连接相交于点E，若，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，利用直径所对的圆周角是直角，可得，易得∠1，利用圆周角定理可得结果．
【详解】解：连接，
∵是圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即
抛物线与直线有两个交点，
，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
第II卷（非选择题110分）
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么的值是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据点A坐标和网格特点，利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形、正切，熟知正切函数的定义是解答的关键．
12. 为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶
一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
所以恰好选中甲和丙的概率为．
故答案为：
【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
13. 如图，点A、B、C均在上，点D在的延长线上，若，则________．
【答案】##62度
【解析】
【分析】首先在优弧上取点E，连接，，由圆周角定理求出，由圆内接四边形的性质，可得，根据邻补角的定义求出的度数．
【详解】解：如图，在优弧上取点E，连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
14. 在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为_____m时，竖直高度达到最大值．

【答案】8
【解析】
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴当x=8时， y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
15. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】用待定系数法求得c，再令二次函数解析式的y=0，求得相应交点坐标．
【详解】解：将代入中，得，
，解得，即，
令，则，解得，，，
∵图象与轴的一个交点坐标是，
∴它与轴的另一个交点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求解二次函数交点坐标，正确理解交点坐标的特征是解题关键，另外，此题还可以运用韦达定理求解．
16. 如图，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，交于，连接、，证明弓形的面积弓形的面积，这样图中阴影部分的面积的面积.
【详解】过点作，交于，连接、，
，
，
是的直径，
，
，
，
是等边三角形，
，
弓形面积弓形的面积，
阴影部分面积.
故答案为.
【点睛】本题考查了折叠问题、扇形的面积.解决本题的关键是把阴影部分的面积转化为的面积.
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】先进行算式平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算，再加减运算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及算式平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
18. 我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船在海岛C附近捕鱼作业，正以30海里/时的速度向正北方向航行，渔船在A处时，测得海岛C在该船的北偏东方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时海岛C与该船距离最短．求海岛C到B处的距离．（结果保留根号）
【答案】海岛C到B处距离为海里
【解析】
【分析】过C作于B，根据题意，利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：过C作于B，
由题意，（海里），
在中，，
∴（海里）．
答：海岛C到B处距离为海里．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形，利用正切函数求解是解答的关键．
19. 如图， 是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长是多少．
【答案】
【解析】
【分析】延长交于D，连接，则，根据圆周角定理得到，利用锐角三角函数定义求解即可．
【详解】解：延长交于D，连接，则，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握圆周角定理和特殊角的三角函数值是解答的关键．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式
（2）求的面积．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数求出点坐标，在代入反比例函数即可得到答案；
（2）联立两个函数，求出交点坐标，再求出一次函数与y轴的交点，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，解得： ，
代入反比例函数得，
，解得，
∴ ；
【小问2详解】
解：由题意得，
当 时，，即
联立两个函数可得，
，解得： 或，
∴ ，，
∴ ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数及一次函数反比例函数图像共存交点围成图形面积问题，解题关键是联立两函数求出交点将三角形转换成底边在x轴y轴上的三角形．
21. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有_______名学生参与了本次问卷调查；
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为
【解析】
【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
（2）用“陶艺”人数除以总人数再乘以即可求解；
（3）用画树状图法求得概率即可求解．
【小问1详解】
解：（人）
故答案为：．
【小问2详解】
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：．
【小问3详解】
把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
22. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，）
（1）求点B距水平地面的高度；
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
【答案】（1）点B距水平地面的高度为5米
（2）该公司的广告牌不符合要求，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点B作于点M，根据坡度得到，设米，米，利用勾股定理求得米，进而解方程即可；
（2）作于点N，则四边形矩形．分别在和中解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
解：过点B作于点M，
由题意可知，，
设米，米，
则米
∴，解得，
∴米，米，
即点B距水平地面的高度为5米．
【小问2详解】
解：作于点N，
∵，，
∴四边形是矩形．
∴米，米．
中，，
∴米，米，
在中，，米，
∴米
∴米
∵，
∴该公司的广告牌不符合要求．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，涉及矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，作辅助线构造直角三角形和矩形进行求解是解答的关键．
23. 脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+160；
（2）销售单价定为55元时，该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元
【解析】
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【小问1详解】
解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，
将点（30，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y=-2x+160；
【小问2详解】
解：由题意得：
w=（x-30）（-2x+160）
=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x=55时，w有最大值，此时w=1250．
∴销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查了二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 如图，已知的边是的切线，切点为E，经过圆心O并与圆相交于点F，交于D，连接，，，且．
（1）求证：；
（2）若，，求及的半径长．
【答案】（1）见解析 （2），的半径长为
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，由得到，由得到，这样即可证明，再根据平行线的性质证出，从而得证．
（2）根据正弦的定义求出，设半径为r，在中根据，列方程求出r的值即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵是的切线，切点为E，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：在中，，
∴，
设的半径，
在中，
∴
即的半径长为．
【点睛】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25. 如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交边于点E，作直线．
（1）求反比例函数的解析式和E点坐标；
（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）若点M在反比例函数的图像上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数表达式为，；
（2）；
（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到点D的坐标，再利用待定系数法求函数的解析式．
（2）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，设交y轴于F，易证，根据相似三角形性质求解即可；
（3）若要形成平行四边形，则需要分当为平行四边形一边时点N在x轴上时以及点N在y轴上，当为平行四边形对角线时点N在x轴上时以及点N在y轴上，进行分类讨论即可．
【小问1详解】
解∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴，
∴反比例函数表达式为
当时，，
∴；
【小问2详解】
作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，设交y轴于F，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
【小问3详解】
①当为平行四边形一边时，
且，
当点N在x轴上时，，此时舍去
当点N在y轴上时，，此时舍去
②当为平行四边形对角线时
当点N在x轴上时，设点，，
由中点坐标公式得
得
∴
当点N在y轴上时，设点
由中点坐标公式得
∴
综上所述，或
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，平行四边形的性质及判定，轴对称最短路线的问题，正确的理解题意是解题的关键．
26. 如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，点E在抛物线上，连接并延长交x轴于点F，连接，若是以为底的等腰三角形，求点E坐标．
（3）如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：，
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，化成顶点式即可得D点坐标；
（2）设，根据列方程求解即可；
（3）分两种情况：当在的上方和当在的下方时分别求解即可．
【小问1详解】
把代入得
，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴顶点；
【小问2详解】
设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴；
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，
解得，，
∴；
【小问3详解】
设，
①如图，当交x轴于G时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，
则，
∴，
∴解析式为：，
则，
∴，
解得（舍），，
当时，，
∴；
②如图，当与x轴交于点N时，过B作于P，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，
则，
∴，
∴的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：（舍），
因为点M在抛物线上，所以当时，，
∴，
综上所述，存在点或，使得．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用解析式求交点坐标，方程和分类思想的运用是解题的关键．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70