2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 3tan60°的值为( )
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】解：3tan60°==．故选D．
2. 若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把要求的式子进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，注意整体代入思想的运用．
3. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ）
A. 70°B. 80°C. 110°D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可．
【详解】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ，
∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90°
∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120°
故选D
【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
4. 如图，直线，直线和被直线、、所截，，，，则的长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数图象经过点
B. 函数图象分布在第一、三象限
C. 当时，y随x的增大而增大
D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵反比例函数经过点，
∴，
∴函数图象分布在第一、三象限，当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴函数图象经过点，
∴选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6. 如图所示，给出下列条件：
①；②；③；④；⑤
其中单独能够判定的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】题中判定，出现相似符号，则对应的边和对应角已经固定好，分别是AB与AC，AC与AD，BC与CD，∠A是公共角，∠ABC与∠ACD，∠ACB与∠ADC.所以找条件时务必找准这些对应边和对应角的关系，利用合适的判定定理去证明. 再就是这种形式，务必化成比例的形式方便证明.
【详解】①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；⑤中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确；故选B．
【点睛】本题解题关键是，注意和与相似的表达方式是不一样的，有相似符号说明边和角已经固定对应好了，只需要运用两组角对应相等的两个三角形相似和两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定定理去判断.
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y=（m≠0）的图象相交于点A（-2，3），B（6，-1），则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】不等式kx+b＞的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
【详解】解：∵函数y=kx+b（k≠0）与y=（m≠0）的图象相交于点A（-2，3），B（6，-1），
∴不等式kx+b＞的解集为：x＜-2或0＜x＜6，
故选D．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
8. 如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA＝α，则拉线AC的长度可以表示为（ ）
A. B. C. mcsαD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角的余角相等得∠ACD＝∠CBD，由cs∠ACD＝，即可求出AC的长度．
【详解】解：∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBD，
在Rt△ACD中，∵cs∠ACD＝，
∴AC＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
9. 如图，已知双曲线与矩形的对角线相交于点D，若，矩形的面积为，则k等于（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】设D的坐标是，则B的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把D的坐标代入函数解析式即可求得k的值．
【详解】解：设D的坐标是，则B的坐标是．
∵矩形的面积为，
∴，
∴．
把D的坐标代入函数解析式得：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键．
10. 如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①正确．证明，即可判断．
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．
③正确．作于，设，，则，，通过计算证明即可解决问题．
④错误．设的面积为，由，推出，，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断．
【详解】∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
，
在与中，
，
，
；故①正确；
∵，
，
∵，
，
，
，
∵，
，
；故②正确；
作于，设，，则，，
由，可得，
由，可得，
，
∵，
，
，
∵，，
，
∵，
；故③正确，
设的面积为，
∵，
，，
的面积为，的面积为，
的面积的面积，
，故④错误，
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是________．
【答案】y=
【解析】
【详解】由题意可设：，
∵当时，，
∴，
∴与间的函数关系式为：.
12. 在中，，，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：在中，，，
∴设，则，
∴，
则．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键．
13. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．
详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
解得OE=60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________．
【答案】
【解析】
【分析】设点，利用即可求出k的值．
【详解】解：设点，
∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出．
15. 如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，利用勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，
由题意得：
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16. 如图，在直角坐标系中，矩形与矩形位似，矩形的边在y轴上，点B的坐标为，矩形的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为，则矩形与的位似中心的坐标是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意得到点P为位似中心，根据相似三角形的性质，然后分两种情况进行分析，进而得到答案．
【详解】解：连接交y轴于点P，
∵B和F是对应点，
∴点P为位似中心，
由题意得，，，，
∵，
∴∽，
∴，即，
解得：，
∴，
∴位似中心的坐标是；
连接，，并延长，交点为点P，如图所示：
则点P为位似中心，
由题意得：，，
∵，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，
∵点C为：，点E为：，
∴点P的坐标为：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】把各特殊角的三角函数值代入算式求解即可 ．
【详解】解：原式=
=
=，
故答案为 ．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的应用，正确记忆特殊角的三角函数值并灵活运用是解题关键．
18. 如图，在中，，，，求AC的长和的值．
【答案】，
【解析】
【分析】由和以及正切函数的定义（直角三角形对边比邻边）可以求得AC的值，再由勾股定理求得AB的值，根据正弦三角函数的定义（对边比斜边）即可求得 的值．
【详解】解：∵△ABC中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查用勾股定理解直角三角形以及三角函数计算的定义，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键．
19. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由四边形是正方形可知，，由，可得，由是的中点，可得，可得，进而结论得证．
【详解】证明：∵四边形正方形
∴，
∵
∴
∵是的中点
∴
∵，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定．解题的关键在于找出相似所需的条件．
20. 如图，已知点O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原图的2倍，画出对应的，并写出点A的对应点的坐标；
（2）直接写出的面积．
【答案】（1）见解析，
（2）10
【解析】
【分析】（1）直接根据位似图形的定义及性质得出对应点的坐标，进而得出答案；
（2）利用所在矩形面积减去周围三角形面积，进而即可求解．
【小问1详解】
如图所示，即为所求，点A的对应点的坐标为；
【小问2详解】
的面积为．
【点睛】本题考查了位似变换及三角形面积的求法，正确得出对应点位置是解题的关键．
21. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点．点在反比例函数图象上，连接，交轴于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）点A（，1），M（－3，）是反比例函数图象上的点，可＝， 解得或舍去，所以，得到，所以反比例函数解析式为．
（2）由反比例函数的对称性可知，点的坐标为，由点和点的坐标可求得直线的函数关系式为，所以点的坐标为，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，则，由可求得的面积．
【小问1详解】
解：∵ 点A（，1），M（－3，）是反比例函数图象上的点，
＝，解得或舍去，
∴，
∴点的坐标为（4，1），点的坐标为（1，4），
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：∵ 反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，且A（4，1），．
∴点的坐标为，
设直线的函数关系式为，
把点，点分别代入得
，
解得，
∴直线的函数关系式为，
当时，，
∴点的坐标为（0，3），
如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，

则，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，利用反比例函数上点的坐标特征求得反比例函数的解析式是解题的关键．
22. 如图，、是的高，连接．
（1）求证：∽；
（2）若点D是的中点，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可证明结论；
（2）根据垂直平分线的性质可得，由（1）∽，可得，再根据勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
证明：∵、是的高，
∴，
∵，
∴∽；
【小问2详解】
解：∵点D是的中点，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∵∽，
∴，
∴，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明∽．
23. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数中自变量x的取值范围是______；
（2）下表是y与x的几组对应值，请直接写出m的值______；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是_____；
②该函数的图象与直线x＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_____越来越靠近而永不相交．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①（2，2）；② ．
【解析】
【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将x=3代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；
②观察函数图象即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：x-2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2；
（2）当x=3时，m=+3=1+3=4，
故答案为4；
（3）图象如图所示：
（4）观察函数图象发现：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）．
故答案为（2，2）；
②该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=x越来越靠近而永不相交．
故答案为y=x．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
24. 济南黄河大桥位于济南北郊，该桥于1982年7月建成通车，至今已40年整，大桥总长米，是当时亚洲跨径最大的桥梁，在当时世界十大预应力混凝土斜拉桥中排行第8位．某校数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：，垂直高度米．
（1）求的长（保留根号）；
（2）若要在最长的斜拉链条和斜塔上装节能灯带，灯带每米造价200元，求斜拉链条和斜塔上灯带的总造价是多少元？（取，，）
【答案】（1）100米
（2）94000元
【解析】
【分析】（1）根据，米，即可求出的长度，根据三角形的外角定理可得出的读书，最后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出和的总长度，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，米，
∴（米），
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴（米），
∴的长为米；
【小问2详解】
在中，米，，
∴（米），
∴（米），
∴（元）．
答：斜拉链条和斜塔上灯带的总造价约为94000元．
【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个三角函数的定义，根据已知条件求解直角三角形的边．
25. 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，的值为 ；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长 ．
【答案】（1）；（2）；（3）7或1．
【解析】
【分析】（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出，再通过平行线分线段成比例的性质可直接写出的值；
（2）证△BCE∽△ACD，由相似三角形性质可求出的值；
（3）分两种情况讨论，一种是点E在线段BA的延长线上，一种是点E在线段BA上，可分别通过勾股定理求出AE的长，即可写出线段BE的长．
【详解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=45°．
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B=45°，∠CDE=∠A=90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴cs∠C．
∵DE∥AB，
∴．
故答案为：；
（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴．
又∵∠BCE=∠ACD=α，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
即；
（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时．
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE=90°，
∴AE3，
∴BE=BA+AE=4+3=7；
②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，
AE3，
∴BE=BA﹣AE=4﹣3=1．
综上所述：BE的长为7或1．
故答案为：7或1．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
26. 一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于A（﹣2，0），图象过点B（4，n），BC⊥x轴于点C，已知tanB＝2，y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点E（a，2），点P是线段AB边上的动点．
（1）分别求直线AB的解析式和反比例函数的解析式；
（2）连接OD，OE，求的值；
（3）是否存在点P，使得△BCP与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）yx+1，y
（2）
（3）点P的坐标为（1，）或（，）
【解析】
【分析】（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式和反比例函数的解析式；
（2）过点E作EF⊥BD于F，EG⊥OC于G，根据三角形的面积公式分别求出S△BDE、S△ODE，计算即可；
（3）过点P作PH⊥BC于H，分△BDE∽△BCP、△BDE∽△BPC两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【小问1详解】
由题意得，AC＝6，
∵tanB＝2，
∴2，
∴BC＝3，
∴点B的坐标为（4，3），
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为：yx+1，
∵点E（a，2）在直线AB上，
∴a＝2，
∴点E坐标为（2，2），
∴m＝4，
∴反比例函数的解析式为：y；
【小问2详解】
过点E作EF⊥BD于F，EG⊥OC于G，
由题意得：BD＝2，EF＝2，EG＝2，CD＝1，
∴S△BDE2×2＝2，S△ODE2×2（1+2）×24×1＝3，
∴；
【小问3详解】
过点P作PH⊥BC于H，
设点P的坐标为（a，a+1），
则BP，
由题意得：BE，
当△BDE∽△BCP时，，即，
解得：a1＝1，a2＝7（舍去），
此时，点P的坐标为（1，），
当△BDE∽△BPC时，，即，
解得：a1，a2（舍去），
此时，点P的坐标为（，），
综上所述：当△BCP与△BDE相似时，点P的坐标为（1，）或（，）．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、相似三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．…
－2
－1
0
1
3
4
5
6
…
…
0
m
…