素养拓展5 嵌套函数的零点问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展05 嵌套函数的零点问题（精讲+精练）

1.嵌套函数形式：形如

2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤

(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．

(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．

注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．

【典例1】已知函数，则函数的零点个数是 （       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

分析：令→→作函数与图象→两个交点的横坐标为→、判断的零点个数.

【解析】令，则，

作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，

∴.当时，有，即有一解；当时，有三个解

∴综上，共有4个解，即有4个零点，故选A

【题型训练】

一、单选题

1．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数，则函数零点个数最多是（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

2．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．（2023·全国·高三期末）已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A． B． C． D．

6．（2023春·江西吉安·高三吉安一中校考阶段练习）已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．（2023春·安徽滁州·高三校考开学考试）已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

10．（2023秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数，则函数的所有零点之和为___________．

11．（2023·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）已知函数则函数的零点个数为___________．

12．（2023秋·广东深圳·高三深圳市高级中学校考阶段练习）已知，为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是___________.

13．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值集合为______.

14．（2023·浙江·二模）已知函数，则至多有______个实数解.