专题7 等时圆模型(含答案)--2025版动力学中的九类常见模型精讲精练讲义

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【模型解读】
“等时圆”描述了一个物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆（或光滑斜面）由静止下滑，到达圆周的最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间相等，这个时间等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。这个模型在物理计算中有着重要的应用，特别是在研究物体的运动轨迹和时间关系时。
由2R·sin θ＝eq \f(1,2)·gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3。
“等时圆”模型的基本特性在于，它揭示了物体在不同路径上运动时，如果路径都在同一个竖直圆上，那么物体到达圆周最低点的时间是相等的。这一特性不仅适用于光滑细杆，也适用于光滑斜面。此外，如果物体的运动路径的端点在圆外，那么质点运动的时间会长一些；反之，如果端点在圆内，质点运动的时间则会短一些。
这个模型的应用不仅限于物理学科，它也体现了数学和物理之间的紧密联系。通过“等时圆”模型，我们可以更好地理解物体在不同条件下的运动规律，以及这些规律如何影响物体的运动时间和路径。
物体在“两类”光滑斜面上的下滑时间的比较
第一类：等高斜面(如图1所示)
由L＝eq \f(1,2)at2，a＝gsin θ，L＝eq \f(h,sin θ)
可得t＝eq \f(1,sin θ) eq \r(\f(2h,g))，
可知倾角越小，时间越长，图1中t1＞t2＞t3。
第二类：同底斜面(如图2所示)
由L＝eq \f(1,2)at2，a＝gsin θ，L＝eq \f(d,cs θ)
可得t＝ eq \r(\f(4d,gsin 2θ))，
可见θ＝45°时时间最短，图2中t1＝t3＞t2。
【典例精析】
【典例】 (2023年7月浙江宁波期末). 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB、AC、AD和BD，A、B、C、D在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，D为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g，则（ ）

A. 如果小朋友在A点沿滑梯AB、AC由静止滑下，
B. 如果小朋友分别从A点和B点沿滑梯AC，BD由静止滑下
C. 若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是
D. 若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是
【解析】
假设AB、AC与AD的夹角分别为、，则从AB、AC、BD下滑时有
解得
故AB错误；
由AB项分析，画出以P点为最高点的半径为r的等时圆，如图，
当两圆相切时时间最短，有
解得
所以最短时间为
故C正确，D错误。
【模拟题精练】
1. （2024江苏泰州3月调研）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（ ）
A. A处滑块最先到达点B. B处滑块最先到达点
C. C处滑块最先到达点D. 三个滑块同时到达点
【参考答案】D
【名师解析】设半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有：，
滑块沿倾斜下滑，设下滑时间为t，根据位移公式有，，解得 。由可知下滑时间t与滑板的倾角和板的长度均无关，故三个滑块同时到达点，D正确。
2．（2024吉林重点高中质检）如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套一个小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为。下列关系正确的是（ ）
B．
C．D．
【参考答案】．BC
【名师解析】：以OA为直径画圆，如图所示
若设杆与竖直方向的夹角为θ，对小滑环受力分析，由牛顿第二定律可得
解得
由几何关系，小滑环沿弦下滑的位移
据
解得
即从圆上最高点沿任一条光滑弦滑到底所用的时间相同．则沿OA和OC滑到斜面的时间相同，有
OB不是一条完整的弦，时间最短；OD的长度超过一条弦，时间最长；综上
故选BC。
3 . （2024江苏新高考基地学校第三次大联考） 如图所示，为圆的竖直直径，、为两条粗糙轨道，其中过圆心。在A、C两点由静止释放小滑块，使其分别沿、和运动到圆上，小滑块与轨道间的动摩擦因数相同，则（ ）
A. 滑块沿的运动时间最短B. 滑块沿的运动时间最短
C. 滑块沿的运动时间最短D. 滑块沿三个路径运动时间相同
【参考答案】B
【名师解析】
设圆的直径为d，滑块沿CD运动时，有
解得
设AB与竖直方向的夹角为，滑块沿AB运动时，有
解得
可知
设AD与竖直方向的夹角为，滑块沿AD运动时，有
解得
可知
所以滑块沿的运动时间最短。B正确。
4. （2024湖南省华南师范大学附中质检） 如图所示，竖直的圆环置于水平向左的匀强电场中，三个完全相同的带正电的绝缘小球（未画出）分别套在固定于AB、AC、AD的三根光滑细杆上，其中AB与竖直方向夹角为60°，AC经过圆心，AD竖直。现将小球无初速度地从A端释放，小球分别沿AB、AC、AD下滑到B、C、D三点。已知小球所受电场力大小与重力大小之比为，则小球在三根细杆上运动的时间关系为（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
【参考答案】B
【名师解析】
小球所受电场力大小与重力大小之比为，可知小球所受重力与电场力的合力F的方向恰好与平行，且由A指向B。延长，作交于M，以为直径画一个圆（图中虚线），与该圆交于N。
设，则小球沿杆运动的加速度为
位移为
由得
与无关，由等时圆模型知
而，，故
故选B。
5. （2024江苏新高考基地学校第三次大联考） 如图所示，为圆的竖直直径，、为两条粗糙轨道，其中过圆心。在A、C两点由静止释放小滑块，使其分别沿、和运动到圆上，小滑块与轨道间的动摩擦因数相同，则（ ）
A. 滑块沿的运动时间最短B. 滑块沿的运动时间最短
C. 滑块沿的运动时间最短D. 滑块沿三个路径运动时间相同
【参考答案】B
【名师解析】
设圆的直径为d，滑块沿CD运动时，有
解得
设AB与竖直方向的夹角为，滑块沿AB运动时，有
解得
可知
设AD与竖直方向的夹角为，滑块沿AD运动时，有
解得
可知
所以滑块沿的运动时间最短。B正确。
6．（2024吉林重点高中质检）如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套一个小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为。下列关系正确的是（ ）
A. B．
C．D．
【参考答案】．BC
【名师解析】：以OA为直径画圆，如图所示
若设杆与竖直方向的夹角为θ，对小滑环受力分析，由牛顿第二定律可得
解得
由几何关系，小滑环沿弦下滑的位移
据
解得
即从圆上最高点沿任一条光滑弦滑到底所用的时间相同．则沿OA和OC滑到斜面的时间相同，有
OB不是一条完整的弦，时间最短；OD的长度超过一条弦，时间最长；综上
故选BC。
7 .(2004全国理综卷2)如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上， a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a、b、c处释放（初速为0），用t1、、、t2、、t3 依次表示各滑环到达d所用的时间，则
A．t1 t3
C．t3 > t1、>t2、 D．t1=、t2、=t3
【参考答案】D
【名师解析】：设圆的直径为s1，小滑环从a处下落，做自由落体运动，由s1=gt12，解得t1=；
设bd与ad的夹角为θ，小滑环从b处下滑，由牛顿第二定律可知mgcsθ=ma，加速度为a=gcsθ，由s2=gcsθ t22，s2= s1csθ，解得t2=；
同理，小滑环从c处下滑，解得t3=.。
8. （2024重庆一中开学考试）如图所示，ab、ac为竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b两点恰为外接圆的最高点和最低点，两个带孔小球甲、乙分别从a处由静止沿两细杆滑到下端b、c时，动能恰好相等，下列说法正确的是（ ）
A. 两小球的质量相等
B. 两小球下滑的时间不相等
C. 此过程中两小球所受重力的平均功率不相等
D. 两小球在细杆下端bc时重力瞬时功率相等
【参考答案】D
【名师解析】
小球甲、乙分别从a处由静止沿两细杆滑到下端b、c时，动能恰好相等，由动能定理，则有
由于，则有，A错误；
B．如图所示，设C点到ab的垂直距离为x，ac的倾斜角为θ，对甲则有
对乙则有
解得
则有
B错误；
C．重力做功为
两小球的重力做功相等，时间相等，则有
因此两小球所受重力的平均功率相等，C错误；
D．两小球都做匀加速直线运动，对甲则有
因为
则有
可得
在b点甲的瞬时功率
在c点乙的瞬时功率
则有，D正确。
9 为使雨水尽快离开房屋的屋顶面，屋顶的倾角设计必须合理。某房屋示意图如图所示，设屋顶面光滑，倾角为θ，雨水由静止开始沿屋顶面向下流动，则理想的倾角θ为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
[解析] 设屋檐的底边为L，注意底边长度是不变的。屋顶的坡面长度为s，雨滴下滑的加速度为a，对雨滴受力分析，只受重力mg和屋顶对雨滴的支持力FN，垂直于屋顶方向有FN＝mgcs θ，平行于屋顶方向有ma＝mgsin θ，雨滴的加速度a＝gsin θ，根据三角关系判断，屋顶坡面的长度s＝eq \f(L,2cs θ) ，由s＝eq \f(1,2)at2得t＝ eq \r(\f(2s,a))＝ eq \r(\f(2L,gsin 2θ))，当θ＝45°时，t最短，故B正确。
[答案] B
10 如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P。设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为( )
A．2∶1 B．1∶1
C．eq \r(3)∶1 D．1∶eq \r(3)
[解析] 设光滑斜槽轨道与竖直方向的夹角为θ，则重物下滑时的加速度为a＝gcs θ，由几何关系，斜槽轨道的长度s＝2(R＋r)cs θ，由运动学公式s＝eq \f(1,2)at2，得t＝eq \r(\f(2s,a))＝ eq \r(\f(2×2(R＋r)cs θ,gcs θ))＝2eq \r(\f(R＋r,g))，即所用时间t与θ无关，所以t1＝t2，B项正确。
[答案] B