专题3 临界极值问题(含答案)--2025版动力学中的九类常见模型精讲精练讲义

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【问题解读】
1．题型概述
在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。
2．临界问题的常见类型及临界条件
(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。
(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。
【方法归纳】
求解临界、极值问题的三种常用方法
解题此类题的关键是：正确分析物体的受力情况及运动情况，对临界状态进行判断与分析，挖掘出隐含的临界条件。
【典例精析】
【典例】. （2024河北安平中学自我提升）如图所示，A、B两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知，轻弹簧的劲度系数为100N/m。若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使木块A由静止开始以的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A向上做匀加速运动开始到A、B分离的过程中。弹簧的弹性势能减小了，重力加速度g取。下列判断不正确的是（ ）
A. 木块A向上做匀加速运动的过程中，力F的最大值是12N
B. 木块A向上做匀加速运动的过程中，力F的最小值是4N
C. 从A向上做匀加速运动到A、B分离的过程中，力F对木块做功为
D. 从A向上做匀加速运动到A、B分离的过程中，力F对木块做功为
【模拟题精练】
1．（2024河南安阳林州一中3月质检）货车司机常说的“饿死不拉卷”是因为钢卷的重量很大，如果车速过快，急刹车时，驾驶舱后的钢卷容易发生滚动，从而与驾驶舱相撞造成交通事故。有人在高速路上拍下卡车运载钢卷的情景如图甲所示，半径为R的圆形钢卷没有采用其他的固定方式，只在钢卷的前、后各用一块三角尖楔顶在钢卷下端，三角尖楔与钢卷接触点距离水平车面高度为h，如图乙所示。若尖楔相对车面不滑动，重力加速度为g，钢卷与尖楔的摩擦力不计，在突发情况下，为了保证钢卷不离开车面，则卡车的刹车加速度大小不能超过（ ）
A．B．
C．D．
2. （2024山东济南历城二中质检）一质量为的物块在水平地面上向右运动，物块与地面间的动摩擦因素为 。现对物块施加一个大小为 的外力，在外力保持大小不变逆时针旋转一周的过程中物块一直向右运动。下列说法正确的是（ ）

A. 当外力水平向右时物块向右加速运动
B. 当外力水平向左时物块具有向左的最大加速度
C. 物块具有向左的最大加速度为
D. 当外力水平方向夹角斜向右上时，物块加速度为
3．(2022·江苏卷)高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过( )
A．2.0 m/s2 B．4.0 m/s2
C．6.0 m/s2 D．8.0 m/s2
4．(2022·云南昌宁县第一中学高一期末)如图所示，质量为m＝3 kg的木块放在质量为M＝1 kg的长木板上，开始处于静止状态，已知木块与木板间的动摩擦因数为μ1＝0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1，重力加速度g＝10 m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当木块受到水平向右的拉力F后，下列说法正确的是( )
A．木板受到地面的摩擦力的大小可能是1 N
B．木板受到地面的摩擦力的大小一定是4 N
C．当F>12 N时，木块才会在木板上滑动
D．无论怎样改变F的大小，木板都不可能运动
5.(多选)(2022·德州市高一期末)如图所示，甲、乙二人想让水平地面上静止放置的A、B两小车向右运动，两小车相互接触但并不连接，质量分别为mA＝20 kg、mB＝30 kg。从t＝0时刻开始，甲给A水平向右的推力为FA，乙给B水平向右的拉力为FB，FA、FB随时间的变化规律分别为FA＝(10－2t) N，FB＝(2＋2t) N。(车轮与地面间的摩擦忽略不计)( )
A．A、B两车在2.6 s时分离
B．2 s内B车的位移是1.08 m
C．4 s时A车的加速度大小为0.24 m/s2
D．4 s时B车的加速度大小为eq \f(1,3) m/s2
6．(多选)(2022·泉州市高一期末)如图，两个质量均为m的相同物块A、B叠放在轻弹簧上，处于静止状态。轻弹簧下端固定在地面上，劲度系数为k。现对A物块施加竖直向上的恒力F＝1.6mg(g为重力加速度)，下列说法正确的是( )
A．力F作用瞬间，A、B间的弹力大小为0.2mg
B．A、B刚分离时，A的加速度大小为g
C．A、B刚分离时，弹簧的弹力大小为1.6mg
D．从F开始作用到A、B刚分离，弹簧的形变量减小了eq \f(2mg,5k)
7．如图所示，完全相同的磁铁A、B分别位于铁质车厢竖直面和水平面上，A、B与车厢间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小车静止时，A恰好不下滑，现使小车加速运动，为保证A、B无滑动，则( )
A．加速度可能向右，大小小于μg
B．加速度一定向右，大小不能超过(1＋μ)g
C．加速度一定向左，大小不能超过μg
D．加速度一定向左，大小不能超过(1＋μ)g
8．如图所示，A、B两物块叠放在一起静止在水平地面上，A物块的质量mA＝2 kg，B物块的质量mB＝3 kg，A与B接触面间的动摩擦因数μ1＝0．4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0．1，现对A或对B施加一水平外力F，使A、B相对静止一起沿水平地面运动，重力加速度g取10 m/s2，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是( )
A．若外力F作用到物块A上，则其最小值为8 N
B．若外力F作用到物块A上，则其最大值为10 N
C．若外力F作用到物块B上，则其最小值为13 N
D．若外力F作用到物块B上，则其最大值为25 N
9．如图所示，木块A的质量为1 kg，木块B的质量为2 kg，叠放在水平地面上，A、B间最大静摩擦力为1 N，B与地面间动摩擦因数为0．1，g取10 m/s2。用水平力F推B，要想让A、B保持相对静止，F的大小可能是( )
A．1 N B．4 N
C．9 N D．12 N
10 如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)。
(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？
(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？
(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？
11. （2024黑龙江六校联盟2月联考）无人机已广泛应用于各行各业。如图甲所示是物流公司使用无人机运输货物，无人机下方通过4根对称的绳索悬挂货物，每根绳与竖直中轴线的夹角均为53°。已知货物的质量为30kg，绳索质量不计（g取10m/s2，cs53°=0.6，sin53°=0.8）。求：
（1）当无人机悬停在空中时，每根绳索承受的拉力大小；
（2）当无人机到达目的地正上方后，可以选择竖直向下先匀加速直线运动后匀减速直线运动安全着陆，图乙是降落全过程的图像（速度时间图像）。为了保证货物安全，每根绳索至少要能够承受多大拉力。
12. （2024浙江金华期末）如图为某公司研发的智能搬运型机器人。在某次搬运过程中，机器人将质量为的货物沿直线搬运至远的包装台处，机器人从静止开始做匀加速直线运动，时速度达到最大速度，然后做匀速直线运动，最后在离包装台处开始做匀减速直线运动，到达包装台处恰好停止。求：
（1）机器人加速和减速阶段的加速度大小；
（2）机器人搬运货物的总时间；
（3）机器人匀加速阶段受到货物的作用力；
（4）其他条件不变，只改变机器人变速运动阶段的加速度大小，最多可节省的时间。已知货物与机器人置物平台问的动摩擦因数为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
13. . (2024江西赣州3月质检)热气球下面用绳子吊着一个质量的物体，从地面由静止一起沿竖直方向匀加速上升，经过时间速度达到，此时吊着物体的绳子断开，物体落回地面，在物体落地前的整个过程中，不计物体受到的空气阻力，重力加速度取，求：
（1）加速阶段绳子对物体的拉力T的大小；
（2）物体落地前的整个过程，上升的最大高度h；
（3）从绳子断开到落地整个运动过程中物体的平均速度。
14 如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)。
(1)当滑块A以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力刚好等于零？
(2)当滑块以2g的加速度向左运动时，细线上的拉力为多大？(不计空气阻力)
答案 (1)g (2)eq \r(5)mg
15 如图，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略，两物体的质量分别为mA＝4 kg，mB＝6 kg。从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB随时间的变化规律为FA＝(8－2t)N，FB＝(2＋2t)N。
(1)两物体何时分离？
(2)求物体B在1 s时和5 s时运动的加速度大小？
16 .(2024·山东潍坊模拟)如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一幼儿用与水平面成30°角的恒力拉着它沿水平面运动，已知拉力F＝6.5 N，玩具的质量m＝1 kg。经过时间t＝2.0 s，玩具移动了距离s＝2eq \r(3) m，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下(取g＝10 m/s2)。求：
(1)玩具与地面间的动摩擦因数；
(2)松开手后玩具还能滑行多远？
(3)幼儿要拉动玩具，拉力F与水平面间的夹角为多大时最省力？
极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学方法
将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件