新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量微专题一空间几何体的截面与交线问题课件

这是一份新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量微专题一空间几何体的截面与交线问题课件，共12页。
类型一:多面体中的交线问题多面体中找交线的常用方法:1.利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线,即只需找相交平面的两个公共 点,两点连线就是交线.2.利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行,再利用性质作出交 线.3.对于球与多面体的交线长问题,根据交线的不同有两种计算方法:一是利用弧长公式 计算,只需找出弧所对的圆心角即可;二是转化为截面小圆计算,只需找到小圆半径即可.
例1    (2024山东潍坊学科素养能力测试)正三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=1,AB=AA1=2,点 E,F分别为棱BB1,A1C1的中点,若过点A,E,F作截面,则截面与上底面A1B1C1的交线长为 　　　    .
  解析    如图,将正三棱台ABC-A1B1C1补为正三棱锥D-ABC,连接AF并延长交CD于点M,连接ME交B1C1于点N,连接FN,则FN即为过点A,E,F的截面与上底面A1B1C1的交线, 因为FC1∥AC,所以 = = = ,所以MC1= CC1= ,过点E作BC的平行线交CC1于点H,易知HE= (BC+B1C1)= .(HE为梯形BCC1B1的中位线) = = = ,所以C1N= HE= ,在△C1FN中,由余弦定理得FN= = .
类型二:多面体中的截面问题1.正方体中的基本斜截面  
2.多面体中找截面的几种方法(1)直接法:有两点在多面体的同一个面上,连接这两点即为多面体与截面的交线,找截 面实际就是找交线的过程.(2)延长线法:若直线相交,但在多面体中未体现,可以通过作延长线的方法找到交点,然 后借助交点找到交线.(3)平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可 以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线.(4)空间向量法:建立空间直角坐标系,利用线面平行与垂直,通过计算,确定截面与多面 体各棱的交点,连接各交点即得截面多边形.
例2    (2024山东日照校级联合考试,8)已知正方体每条棱所在直线与平面α所成角相 等,平面α截此正方体所得截面边数最多时,截面的面积为S,周长为l,则 (　    )A.S不为定值,l为定值　    B.S为定值,l不为定值C.S与l均为定值　    D.S与l均不为定值
  解析    正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,如图, 与平面A1BD平行且截面是六边形时满足截面多边形边数最多,设正方体的棱长为1,作 EF∥A1B,FG∥B1C,GH∥BD,HM∥CD1,MN∥A1D,NE∥B1D1,设 =λ,则 =B1E=λ,∴ = =1-λ,∴EF+NE= λ+ (1-λ)= ,同理可得NM+MH= ,FG+HG= ,∴六
边形的周长l为定值3 ,正三角形A1DB的面积为 ×( )2= ,当M,N,E,F,G,H均为各棱中点时,六边形的边长相等,即截面为正六边形时截面面积最大,此时截面面积为 × ×6= ,所以截面从平面A1DB平移到平面B1CD1的过程中,截面面积的变化是由小到大,再由大到小,故可得截面的周长l为定值,面积S不为定值,故选A.
例3　在正三棱锥A-BCD中,底面△BCD的边长为4,E为AD的中点,AB⊥CE,则以D为球 心,AD长为半径的球截该棱锥各面所得交线长为　　　    .
  解析    如图1,取CD的中点F,连接BF,过A作AO⊥平面BCD,垂足为O,(由正三棱锥的性质可知,O为正△BCD的中心),∴点O在BF上,∵CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD.由正三角形的性质可知,BF⊥CD,又AO∩BF=O,∴CD⊥平面ABO,∵AB⊂平面ABO,∴AB⊥CD,又AB⊥CE,CD∩CE=C,∴AB⊥平面ACD,