2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的数学期望值是( )
A. nB. (n−1)MNC. nMND. (n+1)MN
2.在研究线性回归模型时，样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,n)所对应的点均在直线y=−12x+3上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r=( )
A. −1B. 1C. −12D. 2
3.若直线y=kx−1与曲线y= −x2+4x−3恰有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A. (43,+∞)B. [1,43)C. [1,43]D. (0,43)
4.定义区间[a,b]，(a,b)，(a,b]，[a,b)的长度为b−a.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m(其中m∈(0,e]，e为自然对数的底数)，那么称这个函数为“m函数”.下列四个命题：
①函数f(x)=ex+lnx不是“m函数”；
②函数g(x)=lnx−ex是“m函数”，且mem=1；
③函数ℎ(x)=exlnx是“m函数”；
④函数φ(x)=lnxex是“m函数”，且mlnm=1．
其中正确的命题的个数为( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.双曲线x29−y27=1的离心率为______．
6.若一个球的表面积为π，则该球的半径为______．
7.已知函数f(x)=2x2+x，则f(3)= ______．
8.设随机变量X服从二项分布B(9,13)，则D[X]= ______．
9.已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为______．
10.事件A、B互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)，则P(B)= ______．
11.若直线x+y+a=0与曲线y=x−2lnx相切，则实数a的值为______．
12.设随机变量X的分布−101218121814，则E(2X+1)= ______．
13.某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：f(x)=1σ 2πe−(x−85)22σ2，且P(70≤X≤100)=0.7，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为______．
14.已知双曲线T：x2a2−y2=1(a>0)，任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，都有x1x2−y1y2>0成立，则实数a的取值范围是______．
15.正项等比数列{an}中，a1与a4039是f(x)=x−mlnx−9x(m∈R)的两个极值点，则lg 3a2020= ______．
16.椭圆Γ：x22024+y2=1的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AA1=2，D是AB的中点．
(1)求直线CC1与DB1所成的角的大小；
(2)求证：平面CDB1⊥平面ABB1A1，并求点B到平面CDB1的距离．
18.(本小题10分)
某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分.已知这200位顾客所打的分数均在[25,100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
(1)估计这200位顾客所打分数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值为代表)．
(2)若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意.根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？
附；K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
19.(本小题10分)
设常数m>0且m≠1，椭圆Γ：x2m2+y2=1，点P是Γ上的动点．
(1)若点P的坐标为(2,0)，求Γ的焦点坐标；
(2)设m=3，若定点A的坐标为(2,0)，求|PA|的最大值与最小值；
(3)设m=12，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，求证：O到直线PQ的距离是定值．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=alnx−ax+1(a∈R)．
(1)若经过点(0,0)的直线与函数f(x)的图像相切于点(3,f(3))，求实数a的值；
(2)设g(x)=f(x)+32x2−1，若函数g(x)在区间[32,4]为减函数时，求实数a的取值范围；
(3)对于函数g(x)=f(x)+32x2−1，若函数g(x)有两个极值点为x1、x2(x1≠x2)，且不等式g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.B
5.43
6.12
7.21
8.2
9.23
10.15
11.−2
12.2
13.1200
14.[1,+∞)．
15.2
16.24
17.解：(1)∵CC1//BB1，∴∠BB1D是直线CC1与DB1所成的角，
在直角三角形B1BD中，tan∠BB1D=12，
∴直线CC1与DB1所成的角的大小为arctan12；
(2)∵BB1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴BB1⊥CD，
又∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，
∵BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1，
又CD⊂平面CDB1，∴平面CDB1⊥平面ABB1A1，
过B作BH⊥DB1于H，∵平面CDB1⊥平面ABB1A1，
且平面CDB1∩平面ABB1A1=DB1，BH⊂平面ABB1A1，
∴BH⊥平面CDB1，∴线段BH的长就是点B到平面CDB1的距离，
BH=2×1 5=2 55，∴点B到平面CDB1的距离为2 55．
18.解：(1)由题意知，计算x−=1200×(10×65216×952+34×1252+70×1552+70×1852)=75.55，
所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55．
(2)根据题意，填写列联表如下：
根据表中数据，计算K2=200×(80×40−20×60)2100×100×140×60=20021≈9.524，
因为9.524>6.635，
所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
19.(1)解：椭圆Γ：x2m2+y2=1，点P(2,0)是椭圆上的点，所以m=2，
则c= m2−1= 4−1= 3，
所以Γ的焦点坐标为(− 3,0),( 3,0)；
(2)解：设P(x,y)，其中−3≤x≤3，且A(2,0)，
则x29+y2=1，即y2=1−x29，
所以|PA|2=(x−2)2+y2=(x−2)2+1−x29=89(x−94)2+12，
因为−3≤x≤3，
所以当x=−3时，|PA|2取得最大值为25，
当x=94时，|PA|2取得最小值为12，
所以|PA|的最大值为5，最小值为 22；
(3)证明：当m=12时，椭圆的方程为4x2+y2=1，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，
联立方程组y=kx+t4x2+y2=1，
可得(4+k2)x2+2ktx+t2−1=0，
所以x1+x2=−2kt4+k2,x1x2=t2−14+k2，
则Δ=(2kt)2−4(t2−1)(4+k2)>0，
因为OP⊥OQ，
所以OP⋅OQ=x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0，
即(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，
所以(1+k2)⋅t2−14+k2+kt⋅−2kt4+k2+t2=0，
化简可得1+k2=5t2，满足Δ>0，
故点O到直线PQ的距离d=|t| 1+k2=|t| 5t2= 55为定值；
当直线PQ的斜率不存在时，因为OP⊥OQ，
则直线PQ的方程为x=± 55，
所以点O到直线PQ的距离d= 55为定值．
综上所述，O到直线PQ的距离是定值．
20.解：(1)因为f(x)=alnx−ax+1(a∈R)，其中x>0，则f′(x)=a(1x−1)，
所以f(3)=aln3−3a+1，f′(3)=−23a，
所以函数f(x)的图象在点(3,f(3))处的切线方程为y−(aln3−3a+1)=−23a(x−3)，
将原点的坐标代入切线方程可得3a−aln3−1=2a，解得a=11−ln3．
(2)g(x)=f(x)+32x2−1=32x2−ax+alnx，则g′(x)=3x−a+ax，
因为函数g(x)在区间[32,4]上为减函数，
故对任意的x∈[32,4]，g′(x)=3x−a+ax≤0恒成立，可得a≥3x2x−1，
令p(x)=3x2x−1，其中x∈[32,4]，则p′(x)=3x(x−2)(x−1)2，
当32≤x<2时，p′(x)<0，此时函数p(x)单调递减，
当20，此时函数p(x)单调递增，
因为p(32)=3×(32)212=272，p(4)=3×423=16，则p(x)max=16，故a≥16．
故实数a的取值范围是[16,+∞)．
(3)因为g′(x)=3x−a+ax=3x2−ax+ax，
由题意可知，方程g′(x)=0在(0,+∞)上有两个不等的实根，
即方程3x2−ax+a=0在(0,+∞)上有两个不等的实根，
则Δ=a2−12a>0x1+x2=a3>0x1x2=a3>0，可得a>12，
由g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)可得λ>g(x1)+g(x2)x1+x2=g(x1)+g(x2)a，
又因为g(x1)+g(x2)=32(x12+x22)−a(x1+x2)+aln(x1x2)
=32[(x1+x2)2−2x1x2]−a23+alna3=32(a29−2a3)−a23+alna3=−16a2−a+alna3，
所以λ>g(x1)+g(x2)a=lna3−a6−1，
令t=a3>4，令k(t)=lnt−12t−1，其中t>4，k′(t)=1t−12=2−t2t<0，
所以函数k(t)在(4,+∞)上为减函数，
故当t>4时，k(t)>k(4)=ln4−3=2ln2−3，所以λ≥2ln2−3，
因此，实数λ的取值范围是[2ln2−3,+∞)． 顾客所打分数
[25,40)
[40,55)
[55,70)
[70,85)
[85,100]
男性顾客人数
4
6
10
30
50
女性顾客人数
6
10
24
40
20
满意
不满意
男性顾客
女性顾客
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男性顾客
80
20
100
女性顾客
60
40
100
合计
140
60
200