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初中21.3 二次函数与一元二次方程课文配套ppt课件
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这是一份初中21.3 二次函数与一元二次方程课文配套ppt课件，共30页。
1.(2024安徽合肥梦园中学期中)二次函数y=x2-2x+1的图象与 x轴的交点个数是(M9121003)( )A.0 B.1 C.2 D.不确定
解析 ∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,∴二次函数y=x2-2x+1的图 象与x轴有一个交点.故选B.
2.(2023安徽阜阳太和期末)若二次函数y=a(x+1)2+k的图象与 x轴交于A(-3,0),B两点,则点B的坐标是(M9121003)( )A.(1,0) B.(2,0)C.(-1,0) D.(3,0)
解析 由抛物线的表达式可知对称轴为直线x=-1,∵A(-3,0), 点A,B关于直线x=-1对称,∴B(1,0),故选A.
3.(易错题)(2024安徽宣城宁国月考)已知二次函数y=kx2-7x-7 的图象和x轴有交点,则k的取值范围是(M9121003)( )A.k>- B.k≥- C.k≥- 且k≠0 D.k>- 且k≠0
易错警示 二次函数的二次项系数不能为零题中的函数是二次函数,所以隐含二次项系数不为0的条件. 此题容易漏掉k≠0导致错解.
4.(新独家原创)抛物线y=ax2-2x+3a与x轴交于两点,两点坐标 分别为(m,0),(n,0),则mn的值为 .(M9121003)
解析 由题意得,m,n是一元二次方程ax2-2x+3a=0的两个根, 由一元二次方程根与系数的关系,得mn=3.
5.(2024安徽合肥四十五中月考)已知二次函数y=x2-(m+2)x+ 2m-1.(1)求证:不论m取何值,该函数的图象与x轴总有两个交点;(2)若该函数的图象与y轴交于点(0,3),求该函数的图象与x轴 的交点坐标.(M9121003)
解析 (1)证明:令y=0,即x2-(m+2)x+2m-1=0,∵Δ=[-(m+2)]2- 4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4=m2-4m+8=(m-2)2+4≥4,∴Δ>0,∴方 程总有两个不相等的实数根,即函数y=x2-(m+2)x+2m-1的图 象与x轴总有两个交点.(2)∵该函数的图象与y轴交于点(0,3),∴2m-1=3,∴m=2,∴该 函数的表达式为y=x2-4x+3.y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当y=0时,0=(x- 2)2-1,解得x1=3,x2=1,∴该函数的图象与x轴的交点坐标分别 为(3,0),(1,0).
6.(2024安徽蚌埠怀远期中)下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据,判断一元 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之 间(M9121003)( )
A.1与2之间 B.-2与-1之间C.-1与0之间 D.0与1之间
解析 ∵当x=0时,y=1,当x=1时,y=-2,∴当x分别取0和1时,对 应的y值由正到负,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个 解在0与1之间,故选D.
7.(一题多解)(数形结合思想)用图象法求一元二次方程x2-2x- 2=0的近似解(精确到0.1).(M9121003)
解析 解法一:画函数y=x2-2x-2的图象,如图: 可知,图象与x轴两个交点的横坐标近似为-0.7和2.7,所以一 元二次方程x2-2x-2=0的近似根为x1=-0.7,x2=2.7.解法二:在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=x2与y=2x +2的图象,如图:
可知,二次函数y=x2与一次函数y=2x+2的图象的交点横坐标 近似是-0.7和2.7,所以一元二次方程x2-2x-2=0的近似根为x1= -0.7,x2=2.7.
8.(教材变式·P35T9)(2024安徽芜湖月考)如图,二次函数y=ax2 +bx+c的图象与x轴交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自 变量x的取值范围是 ( )A.x<-2 B.x>4 C.-20
解析 ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(-2,0)和(4,0) 两点,图象开口向下,∴函数值y>0时,自变量x的取值范围是- 2
解析 两函数图象相交于A(-1,2)、B(4,1)两点,由题图得不 等式ax2+bx+c>kx+m的解集是x<-1或x>4.
10.(2023湖南衡阳中考,12, )已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1
解析 ∵经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=- x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,∴ =- ,Δ=b2-4× ×(-b2+2c)≥0,∴b=c+1,b2≤4c,∴(c+1)2≤4c,∴(c-1)2≤0,∴c-1=0,解得c=1,∴b=c+1=2,∴AB=|(4b+c- 1)-(2-3b)|=|4b+c-1-2+3b|=|7b+c-3|=|7×2+1-3|=|14+1-3|=12.故 选B.
12.(新考向·新定义试题)(2023四川巴中中考,18, )规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那么称这两个函数互为 “Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函 数y= x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为 .
(3,0)或(4,0)
解析 当k=0时,该函数表达式为y=-x-3,它的“Y函数”表达 式为y=x-3,它们的图象与x轴都只有一个交点,∴它的“Y函 数”的图象与x轴的交点坐标为(3,0);当k≠0时,该函数为二 次函数,若二次函数y= x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则(k-1)2-4× ×(k-3)=0,解得k=-1,∴二次函数的解析式为y=- x2-2x-4=- (x+4)2,∴它的图象与x轴的交点坐标为(-4,0),∴它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为(4,0).综上, 该函数的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0).
13.(2024安徽六安皋城中学期中,14, )已知直线y1=kx-4k经过抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)的顶点,且当x<2时,y1>y2.(1)直线y1与抛物线y2都经过同一个定点,这个定点的坐标是 ;(2)当y1>y2时,自变量x的取值范围是 .
解析 (1)∵y1=kx-4k=k(x-4),∴直线y1=kx-4k恒经过点(4,0). ∵y2=ax2-4ax=ax(x-4),∴抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)恒经过点(4, 0),即y2与y1都经过同一个定点(4,0).(2)∵y2=ax2-4ax=a(x-2)2-4a,∴抛物线的顶点坐标为(2,-4a).∵直线y1=kx-4k经过抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)的顶点,∴直线y1与抛物线y2的交点为(2,-4a),(4,0).∵当x<2时,y1>y2,∴a<0,k<0.画出大致图象如下.∴当y1>y2时,自变量x的取值范围是x<2或x>4.
14.(2024安徽蚌埠月考,17, )已知一次函数y1=2x-2,二次函数y2=-x2+mx+n(m,n为常数).
(1)如图,若两函数图象交于点(3,a),(b,-6),求二次函数的表达式,并写出当y1
(1)上述解题过程中,渗透的数学思想有 ;(2)直接写出一元二次不等式x2-5x≤0的解集: ;(3)用类似的方法解一元二次不等式-x2-3x+4>0.
解析 (1)转化思想和数形结合思想.(2)由题图可知,当0≤x≤5时,函数图象位于x轴及x轴下方,此 时y≤0,即x2-5x≤0,∴一元二次不等式x2-5x≤0的解集为0≤ x≤5.(3)设-x2-3x+4=0,解得x1=-4,x2=1,∴抛物线y=-x2-3x+4与x轴的 交点坐标为(-4,0)和(1,0).二次函数y=-x2-3x+4的图象大致如 图,
1.(2024安徽合肥梦园中学期中)二次函数y=x2-2x+1的图象与 x轴的交点个数是(M9121003)( )A.0 B.1 C.2 D.不确定
解析 ∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,∴二次函数y=x2-2x+1的图 象与x轴有一个交点.故选B.
2.(2023安徽阜阳太和期末)若二次函数y=a(x+1)2+k的图象与 x轴交于A(-3,0),B两点,则点B的坐标是(M9121003)( )A.(1,0) B.(2,0)C.(-1,0) D.(3,0)
解析 由抛物线的表达式可知对称轴为直线x=-1,∵A(-3,0), 点A,B关于直线x=-1对称,∴B(1,0),故选A.
3.(易错题)(2024安徽宣城宁国月考)已知二次函数y=kx2-7x-7 的图象和x轴有交点,则k的取值范围是(M9121003)( )A.k>- B.k≥- C.k≥- 且k≠0 D.k>- 且k≠0
易错警示 二次函数的二次项系数不能为零题中的函数是二次函数,所以隐含二次项系数不为0的条件. 此题容易漏掉k≠0导致错解.
4.(新独家原创)抛物线y=ax2-2x+3a与x轴交于两点,两点坐标 分别为(m,0),(n,0),则mn的值为 .(M9121003)
解析 由题意得,m,n是一元二次方程ax2-2x+3a=0的两个根, 由一元二次方程根与系数的关系,得mn=3.
5.(2024安徽合肥四十五中月考)已知二次函数y=x2-(m+2)x+ 2m-1.(1)求证:不论m取何值,该函数的图象与x轴总有两个交点;(2)若该函数的图象与y轴交于点(0,3),求该函数的图象与x轴 的交点坐标.(M9121003)
解析 (1)证明:令y=0,即x2-(m+2)x+2m-1=0,∵Δ=[-(m+2)]2- 4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4=m2-4m+8=(m-2)2+4≥4,∴Δ>0,∴方 程总有两个不相等的实数根,即函数y=x2-(m+2)x+2m-1的图 象与x轴总有两个交点.(2)∵该函数的图象与y轴交于点(0,3),∴2m-1=3,∴m=2,∴该 函数的表达式为y=x2-4x+3.y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当y=0时,0=(x- 2)2-1,解得x1=3,x2=1,∴该函数的图象与x轴的交点坐标分别 为(3,0),(1,0).
6.(2024安徽蚌埠怀远期中)下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据,判断一元 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之 间(M9121003)( )
A.1与2之间 B.-2与-1之间C.-1与0之间 D.0与1之间
解析 ∵当x=0时,y=1,当x=1时,y=-2,∴当x分别取0和1时,对 应的y值由正到负,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个 解在0与1之间,故选D.
7.(一题多解)(数形结合思想)用图象法求一元二次方程x2-2x- 2=0的近似解(精确到0.1).(M9121003)
解析 解法一:画函数y=x2-2x-2的图象,如图: 可知,图象与x轴两个交点的横坐标近似为-0.7和2.7,所以一 元二次方程x2-2x-2=0的近似根为x1=-0.7,x2=2.7.解法二:在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=x2与y=2x +2的图象,如图:
可知,二次函数y=x2与一次函数y=2x+2的图象的交点横坐标 近似是-0.7和2.7,所以一元二次方程x2-2x-2=0的近似根为x1= -0.7,x2=2.7.
8.(教材变式·P35T9)(2024安徽芜湖月考)如图,二次函数y=ax2 +bx+c的图象与x轴交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自 变量x的取值范围是 ( )A.x<-2 B.x>4 C.-2
解析 ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(-2,0)和(4,0) 两点,图象开口向下,∴函数值y>0时,自变量x的取值范围是- 2
解析 两函数图象相交于A(-1,2)、B(4,1)两点,由题图得不 等式ax2+bx+c>kx+m的解集是x<-1或x>4.
10.(2023湖南衡阳中考,12, )已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1
解析 ∵经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=- x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,∴ =- ,Δ=b2-4× ×(-b2+2c)≥0,∴b=c+1,b2≤4c,∴(c+1)2≤4c,∴(c-1)2≤0,∴c-1=0,解得c=1,∴b=c+1=2,∴AB=|(4b+c- 1)-(2-3b)|=|4b+c-1-2+3b|=|7b+c-3|=|7×2+1-3|=|14+1-3|=12.故 选B.
12.(新考向·新定义试题)(2023四川巴中中考,18, )规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那么称这两个函数互为 “Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函 数y= x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为 .
(3,0)或(4,0)
解析 当k=0时,该函数表达式为y=-x-3,它的“Y函数”表达 式为y=x-3,它们的图象与x轴都只有一个交点,∴它的“Y函 数”的图象与x轴的交点坐标为(3,0);当k≠0时,该函数为二 次函数,若二次函数y= x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则(k-1)2-4× ×(k-3)=0,解得k=-1,∴二次函数的解析式为y=- x2-2x-4=- (x+4)2,∴它的图象与x轴的交点坐标为(-4,0),∴它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为(4,0).综上, 该函数的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0).
13.(2024安徽六安皋城中学期中,14, )已知直线y1=kx-4k经过抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)的顶点,且当x<2时,y1>y2.(1)直线y1与抛物线y2都经过同一个定点,这个定点的坐标是 ;(2)当y1>y2时,自变量x的取值范围是 .
解析 (1)∵y1=kx-4k=k(x-4),∴直线y1=kx-4k恒经过点(4,0). ∵y2=ax2-4ax=ax(x-4),∴抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)恒经过点(4, 0),即y2与y1都经过同一个定点(4,0).(2)∵y2=ax2-4ax=a(x-2)2-4a,∴抛物线的顶点坐标为(2,-4a).∵直线y1=kx-4k经过抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)的顶点,∴直线y1与抛物线y2的交点为(2,-4a),(4,0).∵当x<2时,y1>y2,∴a<0,k<0.画出大致图象如下.∴当y1>y2时,自变量x的取值范围是x<2或x>4.
14.(2024安徽蚌埠月考,17, )已知一次函数y1=2x-2,二次函数y2=-x2+mx+n(m,n为常数).
(1)如图,若两函数图象交于点(3,a),(b,-6),求二次函数的表达式,并写出当y1
(1)上述解题过程中,渗透的数学思想有 ;(2)直接写出一元二次不等式x2-5x≤0的解集: ;(3)用类似的方法解一元二次不等式-x2-3x+4>0.
解析 (1)转化思想和数形结合思想.(2)由题图可知,当0≤x≤5时,函数图象位于x轴及x轴下方,此 时y≤0,即x2-5x≤0,∴一元二次不等式x2-5x≤0的解集为0≤ x≤5.(3)设-x2-3x+4=0,解得x1=-4,x2=1,∴抛物线y=-x2-3x+4与x轴的 交点坐标为(-4,0)和(1,0).二次函数y=-x2-3x+4的图象大致如 图,
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