初中沪科版21.3 二次函数与一元二次方程优秀教案设计

21．3　二次函数与一元二次方程

教学目标

【知识与技能】

掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的情况之间的关系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集．

【过程与方法】

经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程，体会函数、方程、不等式之间的联系．

【情感、态度与价值观】

进一步培养学生的综合解题能力，掌握解决问题的方法，培养探究精神．

重点难点

【重点】

用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集．

【难点】

用数形结合的思想解方程及不等式．

教学过程

一、创设情境，导入新知

师：任意一次函数的图象与x轴有几个交点？

生甲：一个．

生乙：不对，当直线与x轴平行时，没有交点．

生丙：还有一种情况，当直线与x轴重合时，有无数个交点．

师：同学们考虑得很周到！当一次函数的图象与x轴有1个交点时，你能求出它与x轴交点的坐标吗？比如一次函数y＝2x－3，它的图象与x轴交点的坐标是多少？

学生计算后回答．

二、共同探究，获取新知

师：你猜想一下，二次函数的图象与x轴可能会有几个交点？我们可以借助什么来研究？

学生思考．

生：借助二次函数的图象．

师：对．

教师多媒体课件出示：

二次函数y＝x2＋3x＋2的图象如图所示，根据图象回答问题：

1．它与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？

2．当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？

3．由此你能求出方程x2＋3x＋2＝0的根吗？

4．方程x2＋3x＋2＝0的解与交点的横坐标有什么关系？

学生观察图象后回答．

生：这个函数的图象与x轴有公共点，公共点的横坐标分别是－2和－1.这时函数值都为0，所以方程x2＋3x＋2＝0的根为－2和－1.方程x2＋3x＋2＝0的解与交点的横坐标是一样的．

师：同学们回答得很好！你能归纳出函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点个数的其他情况吗？交点的个数与方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数有何关系呢？

学生思考，交流讨论．

生：函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数与方程ax2＋bx＋c＝0根的个数一样，所以也有三种情况：令Δ＝b2－4ac，当Δ>0时，函数图象与x轴有两个交点，方程有两个根；当Δ＝0时，函数图象与x轴有一个交点，方程有两个相等的根；当Δ<0时，函数图象与x轴没有交点，方程无解．

师：同学们回答得很好！所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法，画出二次函数的图象，然后怎么确定方程的解呢？

生：二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解．

三、例题讲解

【例】　用图象法求一元二次方程x2＋2x－1＝0的近似解(精确到0.1)．

解：画出函数y＝x2＋2x－1的图象，如图．

由图象可知，方程有两个实数根，一个在－3和－2之间，另一个在0和1之间．

先求位于－3和－2之间的根．由图象可估计这个根是－2.5或－2.4，利用计算器进行探索，见下表：

观察上表可以发现，当x分别取－2.5和－2.4时，对应的y由正变负，可见在－2.5与－2.4之间肯定有一个x使y＝0，即有方程x2＋2x－1＝0的一个根．题目只要求精确到0.1，这时取x＝－2.5或x＝－2.4作为根都符合要求．但当x＝－2.4时，y＝－0.04比y＝0.25(x＝－2.5)更接近0，故选x＝－2.4.

同理，可求出方程x2＋2x－1＝0在0和1之间精确到0.1的另一个根．

方程x2＋2x－1＝0的近似解还可以这样求：分别画出函数y＝x2和y＝－2x＋1的图象，如图，它们的交点A、B的横坐标就是方程x2＋2x－1＝0的根．

如有条件，可以在计算机上用《几何画板》处理．

四、练习新知

师：我这有几个习题，现在让我们一起来解决它们．

1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标分别为(1，0)、(－5，0)，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是________．

【答案】x1＝1，x2＝－5

2．判断下列二次函数的图象与x轴有无交点．若有，求出交点的坐标；若没有，请说明理由．

(1)y＝2x2－5x＋3；　　 (2)y＝x2＋3x＋5；

(3)y＝3x2－7x＋8;    (4)y＝x2＋x－12.

【答案】(1)有交点，交点坐标为(1，0)、(，0)；

(2)无交点，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×5＝－11<0；

(3)无交点，Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝－47<0；

(4)有交点，交点坐标为(4，0)、(－6，0)．

3．已知二次函数y＝kx2－3x－2的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围．

【答案】根据题意，得

解得k>－且k≠0.

五、继续探究，层层推进

师：我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系，下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系．请同学们看课本第30页的图21～20.

学生看图．

师：我们可以清楚地看到二次函数y＝x2＋3x＋2的图象被x轴分成三部分：一部分与x轴相交，一部分在x轴上方，一部分在x轴下方．在x轴上方或下方的意义是什么？

生1：在x轴上方时，y>0，也就是x2＋3x＋2>0，所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2＋3x＋2>0的解集．

生2：在x轴下方时，y<0，也就是x2＋3x＋2<0，所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2＋3x＋2<0的解集．

师：同学们很聪明！你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.

学生做题，教师巡视指导，完成后集体订正．

六、课堂小结

师：本节课你学习了什么内容？有什么收获？

学生回答．

师：你还有什么不明白的地方吗？

学生提问，教师解答．