沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程同步练习题

课时训练（四）

【21.4  第四课时 二次函数与一元二次方程】

基础闯关                                                  务实基础  达标检测

一、选择题

1．抛物线与x轴的交点个数为 (    )

A．0      B．1      C．2      D．以上答案都不对

解析：∵  一元二次方程的根的判别式为

     △＝，

     ∵  ，∴  △＝．故抛物线与x轴有两个交点．故选C

2．若关于x的二次函数y＝2mx2＋(8m＋1)x＋8m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是(　　)

A．m<－          B．m≥－且m≠0

C．m＝－          D．m>－且m≠0

解析：∵二次函数y＝2mx2＋(8m＋1)x＋8m的图象与x轴有交点，∴(8m＋1)2－4×2m×8m≥0，且2m≠0.由(8m＋1)2－4×2m×8m≥0，得16m＋1≥0，解得m≥－.由2m≠0，得m≠0，

∴m≥－且m≠0.故选B

3．若一元二次方程x2＋px－q＝0无实数根，则抛物线y＝－x2－px＋q位于(　　)

A．x轴的下方       B．x轴的上方

C．第二、三、四象限     D．第一、二、三象限

解析： ∵a＝－1＜0，∴抛物线开口向下．

∵一元二次方程x2＋px－q＝0无实数根，∴函数y＝－x2－px＋q的图象与x轴无交点，

∴抛物线y＝－x2－px＋q位于x轴的下方．故选A.

4．如图所示，二次函数(a≠0)的图象经过点(-1，2)，且与x轴交点的横坐标分别

为、，其中，，下列结论：

  ①；②；③；④．其中正确的有(    )

    A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

解析：由图象可知，当时，y＜0．所以，即①成立；因为，，所以，又因为抛物线开口向下，所以a＜0，所以，即②成立；

因为图象经过点(-1，2)，所以，所以，即④亦成立(注意a＜0，

两边乘以4a时不等号要反向)；由图象经过点(-1，2)，所以，即，又∵  ，∴  ．∴  ，

即，∴  ，所以③成立．故选D

5．已知一元二次方程(a＞0)的两个实数根、满足和．那么二次函数(a＞0)的图象有可能是（   ）

解析：由方程(a＞0)的两个实数根，满足，

得，，对称轴为x＝2，故选C．

6．根据表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（   ）

A.只有一个交点

B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C．有两个交点，且它们在y轴同侧

D．无交点

解析：由题意可知抛物线过(0，0.5)，(1，－2)，(－1，4)，代入抛物线表达式可得解得∴抛物线的表达式为y＝0.5x2－3x＋0.5.当y＝0时，则0.5x2－3x＋0.5＝0，解得x＝3＋2或x＝3－2，这两个根都大于0，∴抛物线与x轴有两个交点，且它们都在y轴的右侧．故选C.

7．已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（   ）

A．k＜0    B．k≤4    C．k＜4且k≠3    D．k≤4且k≠3

解析：当时是一次函数，即k=3函数图象与x轴有一个交点；

当k-3≠0时此函数为二次函数，当△＝≥0，即k≤4且k≠3时，函数图象与x轴有交点．

综上所述，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B．

二、填空题

8．若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．

解析：∵抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，∴Δ＝b2－4ac＜0，即(－6)2－4m＜0，解得m＞9，

∴m的取值范围是m＞9.

9．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线

y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为________．

解析：关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，即抛物线

y＝a(x＋m)2－3与x轴的两个交点坐标是(－1，0)，(3，0)．抛物线y＝a(x＋m－2)2－3是将抛物线

y＝a(x＋m)2－3向右平移2个单位得到，故抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标是(1，0)，(5，0)．

10．已知二次函数的图象关于y轴对称，则此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B、C构成的△ABC的面积是________．

解析：依题意有2(m-1)＝0，即m＝1，所以二次函数为，令y＝0，得x＝±1．

所以B(-1，0)，C(1，0)，BC＝2，A(0，1)，．

11．如图所示，二次函数(a≠0)．图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1和3，与y轴负半轴交于点C．下面四个结论：①；②；③只有当时，△ABD是等腰直角三角形；④使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．

那么其中正确的结论是___     ．(填正确结论的序号)

解析：抛物线的对称轴为，∴  ，，①正确；

②当时，即，②错；③当时，顶点D的坐标为（1，-2），

△ABD为等腰直角三角形，又∵  抛物线的开口向上，加之∠DAB，∠DBA不可能为直角，所以只有时，△ABD是等腰直角三角形，∴  ③正确；△ACB为等腰三角形，有三种可能性：ⅰ)AC＝AB；ⅱ)BC＝AB；ⅲ)AC＝BC．∵  OA≠OB，∴ⅲ)不可能成立，故以△ABC为等腰三角形的点C的位置只有两个，因此a的值也只能是两个，∴④错。故选①③

三、解答题

12．已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点坐标为(m，0)．若2＜m＜3，求a的取值范围．

解析：∵y＝ax2＋(a2－1)x－a＝(ax－1)(x＋a)，

∴当y＝0时，x1＝，x2＝－a，

∴抛物线与x轴的交点为(，0)和(－a，0)．

∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(m，0)且2＜m＜3，

∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；

当a＜0时，2＜－a＜3，解得－3＜a＜－2.

综上所述：＜a＜或－3＜a＜－2.

13．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．

  （1）求k的取值范围；

  （2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABC是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．

解析：（1）由题意，得，

              ∴  ，即k的取值范围是．

      （2）设，，则，．

              ∴  ．

              ∵  ，又△ABD是等腰直角三角形，

∴  ，即．

解得，．

又∵  ，∴  舍去．

∴  抛物线的解析式是．

14．已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

解析： （1）∵由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2)
　　　      ∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3，由抛物线的对称性可知，
　　　      当抛物线在x轴上截得的线段长为4时，则点A、点B到直线x=3的距离均为2
　　　      ∴A(1，0)，B(5，0)，∴a(1-3)2-2=0，解得
　　 　      .
　　  （2）假定存在点Q(m，n)，使S△QAB=12，
　　       　， 
　　        　又
　　 　       ∴当n=6时，，解得m1=-1，m2=7
　　 　      当n=-6时，，无实根
　　　      ∴Q(-1，6)或(7，6)为所求.
 

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1．如图所示，已知直线与抛物线交于A、B两点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

解析：（1）依题意得  解之    所以，．

（2）存在．因为AB所在直线的方程，若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上．设该直线分别与x轴、y轴交于G、H两点，

如图，联立 得，因为抛物线与直线只有一个交点，

所以，，所以

解得  所以．

2．阅读下面的材料：

上课时徐老师提出一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2－2x－1－a＞0恒成立，求a的取值范围．

小张的思路是原不等式等价于x2－2x－1＞a，设函数y1＝x2－2x－1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为求函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．

（1）请结合小张的思路回答：

对于任意实数x，关于x的不等式x2－2x－1－a＞0恒成立，则a的取值范围是________；

（2）参考小张思考问题的方法，解决问题：

关于x的方程x－4＝在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．

解析：（1）a＜－2

（2）将原方程转化为x2－4x＋3＝a，设y1＝x2－4x＋3，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G图象，于是原问题转化为求y2＝a与G的图象有两个交点时a的取值范围．结合图象可知a的取值范围是

－1＜a＜3.