2022-2023学年贵州省铜仁市万山区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年贵州省铜仁市万山区八年级下学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2023年3月万山教育“多举措”助推全国文明城市创建工作，在某搜索引擎中约有37000个相关结果，数据37000用科学记数法表示为（ ）
A．37×103B．3.7×104C．0.37×105D．3.7×10﹣4
2．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝（ ）
A．60°B．30°C．50°D．40°
3．（3分）以下四组数据中，不可以作为直角三角形三条边的长的是（ ）
A．3，4，5B．6，8，10C．1，D．4，5，6
4．（3分）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列命题是真命题是（ ）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．菱形的对角线相等
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
6．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．AB∥DED．AD＝CF
7．（3分）已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB：BC＝2：3，则CD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为（ ）
​
A．B．1C．D．3
9．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C，D为圆心，OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C，D两点之间距离为（ ）
​
A．10B．6C．13D．12
10．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，则该菱形的面积为 ．
12．（3分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 边形．
13．（3分）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，则A，B间的距离为 m．
14．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝ ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝3，BC＝4，P为AB边上一点；且PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则DE的最小值为 ．
16．（3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为 cm2．
​
三、解答题（本题共8个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答案卡相应位置上，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22-23题8分.第24题10分，要有解题的主要过程）
17．（5分）已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD＝CE．
求证：OB＝OC．
18．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4m，BC＝3m，AD＝12m，CD＝13m，判断△ACD的形状，并说明理由．
19．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
20．（5分）如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AF＝CE，求证：DF∥BE．
21．（6分）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的周长．
22．（8分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿着EF折叠，使点C与点A重合．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求△AEF的面积．
23．（8分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
24．（10分）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．判断△FBG的形状，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．求证：．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题有且只有一个是正确答案每小题3分，共30分）
1．（3分）2023年3月万山教育“多举措”助推全国文明城市创建工作，在某搜索引擎中约有37000个相关结果，数据37000用科学记数法表示为（ ）
A．37×103B．3.7×104C．0.37×105D．3.7×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：37000＝3.7×104．
故选：B．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝（ ）
A．60°B．30°C．50°D．40°
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝50°，
故选：C．
此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
3．（3分）以下四组数据中，不可以作为直角三角形三条边的长的是（ ）
A．3，4，5B．6，8，10C．1，D．4，5，6
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
B、62+82＝102，可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
D、42+52≠62，不可以组成直角三角形，
故本选项符合题意．
故选：D．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（3分）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
此题考查了中心对称图形的概念．熟记定义是解答本题的关键．
5．（3分）下列命题是真命题是（ ）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．菱形的对角线相等
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【分析】根据几种特殊的平行四边形的定义及性质逐项判定即可．
【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题；
C、矩形的对角线相等，故原命题是假命题；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
故选：D．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握几种特殊的平行四边形的定义及性质是解题的关键．
6．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．AB∥DED．AD＝CF
【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，
∴当添加AC＝DF或AD＝CF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故选：D．
本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．
7．（3分）已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB：BC＝2：3，则CD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】设AB＝2x，则BC＝3x，根据平行四边形的对边相等即可得到CD＝AB＝2x，AD＝BC＝3x，然后根据周长即可列方程，求解即可．
【解答】解：∵AB：BC＝2：3，
∴设AB＝2x，则BC＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2x，AD＝BC＝3x，
根据题意得：3x+3x+2x+2x＝20，
解得：x＝2，
则CD＝2x＝4．
故选：A．
本题考查了平行四边形的性质，理解平行四边形的对边相等是解决本题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为（ ）
​
A．B．1C．D．3
【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AD，得到△CBD为等边三角形，根据三角形的中位线定理计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△CBD为等边三角形，
∴CD＝BC＝2，
∵E，F分别为AC，AD的中点，
∴EF＝CD＝1，
故选：B．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C，D为圆心，OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C，D两点之间距离为（ ）
​
A．10B．6C．13D．12
【分析】连接CD交OE于H点，如图，利用基本作图得到OE平分∠AOB，OC＝OD＝CE＝10，则根据等腰三角形的性质得到CH＝DH，OH⊥CD，则OH＝EH＝8，接着根据勾股定理计算出CH＝6，从而得到CD＝12．
【解答】解：连接CD交OE于H点，如图，
由作法得OE平分∠AOB，OC＝OD＝CE＝10，
∵OC＝OD，OH平分∠COD，
∴CH＝DH，OH⊥CD，
∵CO＝CE，CH⊥OE，
∴OH＝EH＝OE＝×16＝8，
在Rt△OCH中，CH＝＝＝6，
∴CD＝2CH＝12，
即C，D两点之间距离为12．
故选：D．
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质．
10．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③⑤的正确性．
【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP＝∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，
∴NP＝EP，
∴AN＝PF
在△ANP与△FPE中，
∵，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP（故①④正确）；
△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM
∴∠PMF＝∠ANP＝90°
∴AP⊥EF，（故②正确）；
P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD＝2EC不一定成立，（故③⑤错误）；
故正确的是：①②④．
故选：B．
本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，则该菱形的面积为 24 ．
【分析】根据菱形的面积公式：菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）可得到答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，
∴菱形的面积：＝24，
故答案为：24．
此题主要考查了菱形的面积公式，关键是熟练掌握面积公式．
12．（3分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 七 边形．
【分析】根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：七．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
13．（3分）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，则A，B间的距离为 100 m．
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵AM＝AC，BN＝BC，
∴AB是△CMN的中位线，
∴AB＝MN＝100m，
故答案为：100．
本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝ 4 ．
【分析】由矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，由直角三角形的性质得出AC＝BD＝2AB＝8，得出OC＝AC＝4即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴AC＝BD＝2AB＝8，
∴OC＝AC＝4；
故答案为：4
此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝3，BC＝4，P为AB边上一点；且PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则DE的最小值为 ．
【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．且PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，易得四边形CDPE是矩形，然后连接PC，可得PC＝DE，即可得当PC⊥AB时，PC最短，即DE最小，继而求得答案．
【解答】解：连接PC，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴PC＝DE，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵当PC⊥AB时，PC最短，即DE最小，
∴DE＝PC＝＝．
故答案为：．
此题考查了矩形的判定与性质以及垂线段最短的知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
16．（3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为 cm2．
​
【分析】根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
∴S△ADC＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10（cm2），
∴S△AOB＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5（cm2），
∴＝S△AOB＝×5＝（cm2），
∴＝＝（cm2），
＝＝（cm2），
＝＝（cm2），
……
∴平行四边形AOnCn+1B的面积为，
∴平行四边形AO2022C2023B的面积为（cm2），
故答案为：．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
三、解答题（本题共8个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答案卡相应位置上，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22-23题8分.第24题10分，要有解题的主要过程）
17．（5分）已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD＝CE．
求证：OB＝OC．
【分析】欲证OB＝OC，可证∠1＝∠2，只要证明△BEC≌△CDB即可；由已知可得∠BEC＝∠CDB＝90°，BD＝CE，BC是公共边，即可证得．
【解答】证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴△EBC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△EBC与Rt△DCB中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△DCB（HL），
∴∠1＝∠2，
∴OB＝OC．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4m，BC＝3m，AD＝12m，CD＝13m，判断△ACD的形状，并说明理由．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4m，BC＝3m，
∴AC＝＝＝5（cm），
∵AD＝12m，CD＝13m，52+122＝132，
∴△ACD是直角三角形．
本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
19．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
【分析】根据直角三角形的性质得到DA＝DB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠E＝35°，ED⊥BC，
∴∠B＝55°
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝55°，
∴∠BDA＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
20．（5分）如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AF＝CE，求证：DF∥BE．
【分析】证△ADF≌△CBE（ SAS），得∠AFD＝∠CEB，则∠DFC＝∠BEA，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴DF∥BE．
本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及平行线的性质与判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（6分）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的周长．
【分析】（1）由题意可证四边形OCED是平行四边形，由矩形的性质可得OC＝OD，可得结论；
（2）由勾股定理可求AC的长，即可求解．
【解答】解：（1）四边形OCED是菱形，理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴OC＝AC＝5．
∴菱形OCED的周长＝4×5＝20．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形和菱形的性质．
22．（8分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿着EF折叠，使点C与点A重合．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求△AEF的面积．
【分析】（1）通过证明∠AFE和∠AEF相等，即可证明出AE＝AF；
（2）利用勾股定理求出AE，由（1）可得AF＝AE，再根据三角形面积公式即可解答．
【解答】（1）证明：由折叠得，AE＝CE，∠AEF＝∠CFE，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
（2）解：设AE＝CE＝x，
∵BC＝8，
∴BE＝8﹣x，
∵AB＝4，∠B＝90°，
∴AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴AF＝5，
∴S△AEF＝AF•AB＝×5×4＝10．
本题考查了矩形的性质的应用，三角形全等及勾股定理的计算是解题关键．
23．（8分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12米，
∴DM＝8米，
∴BM＝＝＝17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
24．（10分）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．判断△FBG的形状，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．求证：．
【分析】（1）先判断出AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，进而判断出△ABE≌△ADE，即可得出结论；
（2）先判断出∠AGD＝∠FBG，进而判断出∠FBG＝∠FGB，即可得出结论；
（3）先判断出EF＝BE，由（1）知，BE＝DE，由（2）知，FG＝BF，即可判断出结论．
【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：△FBG为等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，
∴∠AGD+∠ADG＝90°，
由（1）知，△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG＝90°，
∵FB⊥BE，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB，
∴△FBG是等腰三角形；
（3）证明：∵FB⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，
∴EF＝BE，
由（1）知，BE＝DE，
由（2）知，FG＝BF，
∴GE＝EF﹣FG＝BE﹣BF＝DE﹣DE＝（﹣1）DE．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、勾股定理是解题的关键．